Gráficos y propiedades de funciones inversas

Las principales propiedades de la función inversa incluyen: el dominio de definición y el rango de valores de la función se asignan uno a uno; una función y su función inversa son monótonas en el intervalo correspondiente, etc. A continuación, lo guiaré a través de un inventario detallado para su referencia.

La definición de función inversa

En términos generales, suponiendo que el rango de valores de la función y=f(x)(x∈A) es C, si una función g(y ) se puede encontrar En todos los lugares donde g(y) es igual a x, dicha función x= g(y)(y∈C) se llama función inversa de la función y=f(x)(x∈A), denotada como y=f-1(x). El dominio y el dominio de la función inversa y=f-1(x) son respectivamente el dominio y el dominio de la función y=f(x). Las funciones inversas más representativas son las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales.

Propiedades de las funciones inversas

Las gráficas de la función f(x) y su función inversa f-1(x) son simétricas respecto de la recta y=x; y sus funciones inversas Es simétrica con respecto a la línea recta y=x la condición necesaria y suficiente para la existencia de una función inversa de una función es que el dominio de definición y el dominio de valor de la función sean mapeos uno a uno, etc. . Propiedades de las funciones inversas: Las gráficas de la función f(x) y su función inversa f-1(x) son simétricas con respecto a la recta y=x; x; las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una función inversa de una función. La condición es que el dominio de definición y el dominio de valor de la función estén mapeados uno a uno.

La relación entre la función inversa y la función original

1. El dominio de la función inversa es el dominio de la función original y el dominio de la función inversa es el dominio. de la función original.

2. Las gráficas de dos funciones que son funciones inversas entre sí son simétricas respecto de la recta y=x.

3. Si la función original es una función impar, su función inversa es una función impar.

4. Si la función es monótona, debe haber una función inversa, y la monotonicidad de la función inversa es consistente con la de la función original.

5. Si hay una intersección entre las gráficas de la función original y la función inversa, la intersección debe ser en la recta y=x o aparecer simétricamente respecto de la recta y=x.

Calidad:

(1) La gráfica de la función f(x) y su función inversa f-1(x) es simétrica con respecto a la recta y=x;

(2) La condición necesaria y suficiente para la existencia de una función inversa de una función es que el dominio de definición y el rango de valores de la función sean mapeos uno a uno;

( 3) Una función y su función inversa son monótonas en el intervalo correspondiente;

(4) La mayoría de las funciones pares no tienen funciones inversas (cuando la función y=f(x), el dominio es {0. } y f(x)=C (donde C es una constante), entonces la función f(x) es una función par y tiene una función inversa. El dominio de su función inversa es {C} y el rango de valores es {0. }).

Una función impar no necesariamente tiene una función inversa. Cuando es interceptada por una línea recta perpendicular al eje y, puede pasar por 2 o más puntos, lo que significa que no existe una función inversa. Si una función impar tiene una función inversa, entonces su función inversa también es una función impar.

(5) La monotonicidad de una función continua es consistente dentro del intervalo correspondiente.

(6) Una función que estrictamente aumenta (disminuye) debe tener una función que estrictamente aumenta (disminuye); ) Función inversa;

(7) Las funciones inversas son mutuas y únicas;

(8) El dominio de definición y el dominio de valor son opuestos y las reglas correspondientes son mutuamente inversas (tres inversiones) ;

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(9) Relación derivada de la función inversa: Si x=f(y) es estrictamente monótona y diferenciable en el intervalo abierto I, y f'(y)≠0, entonces su función inversa y=f- 1(x) también es diferenciable en el intervalo S={x|x=f(y), y∈I}, y:

(10) La función inversa de y=x es él mismo. ?

Información ampliada:

Definición de función inversa:

Supongamos que el dominio de la función y=f(x) es D y el dominio del valor es f( D) . Si para cada y en el rango f(D), hay y solo hay una x en D tal que f(x)=y, entonces, de acuerdo con esta regla de correspondencia, se obtiene una función definida en f(D).

Y esta función se llama función inversa de la función y=f(x). De esta definición, se puede concluir rápidamente que el dominio D y el rango de valores f(D) de la función f son exactamente los mismos. inversa. El rango de valores y el dominio de definición de la función f-1, y la función inversa de f-1 es f, es decir, las funciones f y f-1 son funciones inversas entre sí, es decir:

Función inversa y función original La función compuesta de es igual a x, es decir:

Convencionalmente, usamos x para representar la variable independiente e y para representar la variable dependiente, por lo que la función inversa de la función y=f(x) generalmente se escribe como.

Por ejemplo, la función inversa de la función ?

es ?.

En relación con la función inversa y=f-1(x), la función original y=f(x) se llama función directa. Las gráficas de funciones inversas y directas son simétricas con respecto a la línea recta y=x.

Esto se debe a que si (a, b) es cualquier punto de la imagen de y=f(x), es decir, b=f(a). Según la definición de función inversa, existe a=f-1(b), es decir, el punto (b, a) está en la imagen de la función inversa y=f-1(x). Los puntos (a, b) y (b, a) son simétricos con respecto a la línea recta y=x. De la arbitrariedad de (a, b), podemos saber que f y f-1 son simétricos con respecto a y=x.

Entonces podemos saber que si las imágenes de dos funciones son simétricas con respecto a y=x, entonces las dos funciones son funciones inversas entre sí. Esto también puede verse como una definición geométrica de la función inversa.

En cálculo, f?(n)(x) se utiliza para referirse a la enésima derivada de f.

Si una función tiene inversa, la función se llama invertible.