¿Cuáles son las tres grandes crisis de la historia de las matemáticas?
La historia del desarrollo de las matemáticas no ha sido fácil. Se han producido tres crisis importantes en la historia. La aparición de crisis ha promovido el desarrollo de las matemáticas mismas. Por lo tanto, debemos ver estas tres crisis principales de manera dialéctica. .
La primera crisis se produjo en la antigua Grecia entre el 580 y el 568 a.C. El matemático Pitágoras estableció la Escuela Pitagórica. Esta escuela combina religión, ciencia y filosofía. El número de personas en la escuela es fijo, el conocimiento se mantiene en secreto y todos los inventos y creaciones se atribuyen al líder de la escuela. En ese momento, la comprensión de la gente sobre los números racionales todavía era muy limitada y no sabían nada sobre el concepto de números irracionales. Los números mencionados por los pitagóricos originalmente se referían a números enteros. No consideraban las fracciones como un tipo de número. La proporción de dos números enteros, creen erróneamente que todos los fenómenos del universo se reducen a números enteros o la proporción de números enteros. Hibersus, miembro de esta escuela de pensamiento, descubrió mediante un razonamiento lógico basado en el teorema de Pitágoras (llamado teorema de Pitágoras en Occidente) que la longitud diagonal de un cuadrado con longitud de lado 1 no es un número entero ni es una razón expresa de números enteros. . El descubrimiento de Hibersos fue considerado "absurdo" y contrario al sentido común. No sólo violó gravemente el credo de los pitagóricos, sino que también afectó las opiniones tradicionales de los griegos de la época. Esto perturbó profundamente a los matemáticos griegos de la época. Según la leyenda, Hibersos fue arrojado al mar y se ahogó a causa de este descubrimiento. Esta fue la primera crisis matemática.
Finalmente la crisis se resolvió introduciendo el concepto de cantidades irreductibles en la geometría. Dos segmentos geométricos se dicen conmensurables si hay un tercer segmento que pueda medirlos simultáneamente, en caso contrario se dice que son inconmensurables. No existe un tercer segmento de recta que pueda medir simultáneamente un lado y una diagonal de un cuadrado, por lo que son inconmensurables. Obviamente, mientras se reconozca la existencia de cantidades irreducibles, de modo que las cantidades geométricas ya no estén restringidas por números enteros, la llamada crisis matemática ya no existirá.
Creo que la mayor importancia de la primera crisis es que condujo a la aparición de números irracionales. Por ejemplo, lo que estamos hablando ahora no se puede utilizar para representarlo, por lo que debemos introducir nuevos números. Describe este problema, de modo que nacieron los números irracionales. Fue precisamente con esta idea que cuando sacamos la raíz cuadrada de un número negativo, se introdujo el número imaginario i (la generación de números imaginarios dio lugar al surgimiento de temas como los complejos). funciones variables, y fue ampliamente utilizado en la tecnología de ingeniería moderna). Esto tengo que admirar la sabiduría humana. Pero personalmente creo que la verdadera solución a la primera crisis fue la definición estricta de números irracionales por parte de los matemáticos alemanes en 1872, porque las matemáticas enfatizan su lógica y deducción estrictas.
La segunda crisis matemática se produjo en el siglo XVII. Tras el nacimiento del cálculo en el siglo XVII, debido a la elaboración de las bases teóricas del cálculo, surgió el caos en el mundo matemático, es decir, la segunda crisis matemática. De hecho, revisé la información sobre la historia de las matemáticas. El prototipo del cálculo se formó ya en el período griego antiguo. El método de aproximación de Arquímedes realmente dominó los elementos básicos del análisis infinitesimal. No fue hasta 2100 que Newton y Leibniz abrieron. crear un mundo nuevo: el cálculo. En algunos procesos de derivación típicos, Newton, el principal fundador del cálculo, usó infinitesimales como denominador para la división en el primer paso. Por supuesto, los infinitesimales no pueden ser cero en el segundo paso, Newton consideró los infinitesimales como cero y eliminó aquellos que los contenían; . términos, obteniendo así las fórmulas deseadas. La aplicación en mecánica y geometría ha demostrado que estas fórmulas son correctas, pero su proceso de derivación matemática es lógicamente contradictorio. El tema central es: ¿La cantidad infinitesimal es cero o distinta de cero? Si es cero, ¿cómo se puede utilizar como divisor? Si no es cero, ¿cómo podemos eliminar aquellos términos que contienen cantidades infinitesimales?
Hasta el siglo XIX, Cauchy desarrolló detallada y sistemáticamente la teoría del límite. Cauchy creía que tratar cantidades infinitesimales como cantidades definidas, incluso cero, era injustificable porque entraría en conflicto con la definición de límite. Una cantidad infinitesimal debe ser tan pequeña como sea necesario, por lo que es esencialmente una variable y es una cantidad con cero como límite. Hasta ahora, Cauchy ha aclarado el concepto infinitesimal de los predecesores y Weistrass creó la teoría del límite. , más El establecimiento de la teoría de los números reales y la teoría de conjuntos liberó las cantidades infinitesimales de las limitaciones de la metafísica y la segunda crisis matemática se resolvió básicamente.
Mi propio entendimiento es que es una cantidad infinitesimal. Si es cero depende de si está en movimiento o estacionario. Si es estacionario, por supuesto que podemos considerarlo como cero; en movimiento, como Cuando decimos 1/n, decimos, pero n 1/n multiplicado es 1, que no es una cantidad infinitesimal. Cuando nos encontramos con situaciones como esta, podemos usar la regla de Lobida para diferenciar repetidamente para examinar la. límite, y después de usar la expansión de Taylor, las razones de primer orden y de primer orden siempre se compararán en un orden finito.
La tercera crisis matemática ocurrió en 1902. La aparición de la paradoja de Russell conmocionó a toda la comunidad matemática, que se decía que era perfecta y absolutamente correcta, se contradecía.
Hace mucho tiempo leí la "Paradoja del barbero", que es un barbero cortando el pelo a personas que no le cortan el pelo. Entonces, ¿deberían los barberos cortarse el pelo ellos mismos? También existe la conocida "paradoja del mentiroso", cuyo contenido general es: Un cretense dijo: "Cada palabra dicha por todos los cretenses es una mentira". ¿Es esta afirmación verdadera o falsa? Desde el punto de vista matemático, este es un ejemplo concreto de la paradoja de Russell. .
El conjunto R definido por Russell en esta paradoja es considerado por casi todos los investigadores de la teoría de conjuntos como un conjunto que puede existir legalmente en la teoría de conjuntos ingenua. Si bien este es el caso, ¿cuál es el motivo? Esto se debe a que R es un conjunto. Si R se contiene a sí mismo como un elemento, existe R R, entonces, desde la perspectiva del conjunto, existe R R. Un conjunto que verdaderamente se contiene a sí mismo obviamente no existe. Porque obviamente es imposible que R tenga elementos diferentes de R y que R sea igual a R. Por tanto, cualquier conjunto debe seguir los principios básicos de R R, de lo contrario será un conjunto ilegal. Desde este punto de vista, el conjunto de todos los R R definidos en la paradoja de Russell debería ser el conjunto de todos los conjuntos legales, es decir, el conjunto de todos los conjuntos. Esto significa que cosas similares incluyen todas las cosas similares e inevitablemente conducirán a las más grandes. tal cosa. En última instancia, R es el "conjunto más grande" que contiene todos los conjuntos. Por tanto, está claro que, en esencia, la paradoja de Russell es una paradoja del conjunto máximo expresada en forma negativa.
Desde entonces, los matemáticos han comenzado a encontrar soluciones a esta crisis. Una de ellas es basar la teoría de conjuntos en un conjunto de axiomas para evitar paradojas. El primero en realizar este trabajo fue el matemático alemán Zermelo. Propuso siete axiomas y estableció una teoría de conjuntos que no produciría paradojas. Después, otro matemático alemán, Fozziker, la mejoró y formó una teoría de conjuntos con el axioma de la teoría de conjuntos. sistema sin contradicción (el llamado sistema de axiomas ZF), esta crisis matemática se ha aliviado.
Ahora, a través del estudio de las matemáticas discretas, sabemos que la teoría de conjuntos se divide principalmente en teoría de conjuntos de Cantor y teoría de conjuntos axiomática. Un conjunto primero define el conjunto completo I, el conjunto vacío, y luego pasa por un. serie de operaciones unarias y binarias y viene. El sistema de teoría de conjuntos establecido sobre los siete axiomas evitó la paradoja de Russell y permitió el desarrollo de las matemáticas modernas.