El método de prueba del teorema de Pitágoras

Varios presidentes estadounidenses tienen conexiones sutiles con las matemáticas. G. Washington fue una vez un famoso topógrafo. T. Jefferson había promovido vigorosamente la educación matemática superior en los Estados Unidos. A. Lincoln aprendió lógica estudiando los Elementos de Euclides. Aún más creativo fue el decimoséptimo presidente J. A. Garfield (1831～1888) tenía un gran interés y un talento extraordinario en las matemáticas elementales cuando era estudiante. En 1876 (cuando era miembro de la Cámara de Representantes y cinco años más tarde elegido Presidente de los Estados Unidos) dio una hermosa demostración del Teorema de Pitágoras, que se publicó en el New England Journal of Education. La idea de la prueba es utilizar las fórmulas de áreas de trapecios y triángulos rectángulos. Como se muestra en la imagen de la página siguiente, es un trapecio rectángulo compuesto por tres triángulos rectángulos. Usa diferentes fórmulas para encontrar la misma área

Es decir,

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

Este tipo de prueba suele ser de interés para los estudiantes de secundaria cuando aprenden geometría.

Con respecto a este teorema, hay muchas formas ingeniosas de demostrarlo (se dice que hay casi 400 tipos). Aquí se presentan algunas a los estudiantes. Todas se prueban mediante el método del rompecabezas.

Prueba 1 Como se muestra en la Figura 26-2, dibuja los cuadrados ABDE, ACFG y BCHK fuera del triángulo rectángulo ABC. Sus áreas son c2, b2 y a2 respectivamente. Sólo nos falta demostrar que el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.

Pase C a CM‖BD, cruce AB a L y conecte BC y CE. Porque

AB=AE, AC=AG ∠CAE=∠BAG,

Entonces △ACE≌△AGB

SAEML=SACFG (1)

Se puede probar el mismo método

SBLMD=SBKHC (2)

(1)+(2) conduce a

SABDE=SACFG+ SBKHC,

Es decir, c2=a2+b2

Prueba 2 Como se muestra en la Figura 26-3 (diagrama de Zhao Junqing), use ocho triángulos rectángulos ABC para formar un cuadrado grande CFGH . Su longitud de lado es a+b, hay un cuadrado inscrito ABED dentro de él, su longitud de lado es c, como se puede ver en la figura.

SCFGH=SABED+4×SABC,

Entonces a2+b2=c2

La prueba 3 se muestra en la Figura 26-4 (diagrama de Mei Wending).

Sobre la hipotenusa AB del ángulo recto △ABC, dibuja un cuadrado ABDE hacia afuera, y sobre el ángulo recto AC un cuadrado ACGF. Se puede probar (omitir) que extender GF debe pasar E; extender CG a K de modo que GK=BC=a, conectar KD y construir DH⊥CF en H, entonces DHCK es un cuadrado con una longitud de lado a. Sea

El área del pentágono ACKDE=S

Por un lado,

S=el área del cuadrado ABDE + 2 veces el área de △ABC

=c2+ab (1)

Por otro lado,

S=área del cuadrado ACGF+área del cuadrado DHGK

+2 por el área de △ABC

=b2+a2+ab (2)

De (1. ), (2) obtenemos

c2=a2+b2

Prueba 4 Como se muestra en la Figura 26-5 (diagrama de Xianmingda), dibuja un cuadrado ABDE en la hipotenusa de la derecha triángulo ABC, y luego use los dos lados rectángulos CA y CB del triángulo rectángulo ABC como base para completar un cuadrado con longitud de lado b BFGJ (Figura 26-5). Se puede probar (omitir) que la línea de extensión de GF debe pasar por D. Extienda AG a K de modo que GK=a, y deje EH⊥GF en H, entonces EKGH debe ser un cuadrado con una longitud de lado igual a a.

Sea S el área del pentágono EKJBD. Por un lado

S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

Por otro lado,

S=SBEFG+2?S△ ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

Dibujar argumentos de (1) y (2)

Todos usan área Verificar: Un área grande es igual a la suma de varias áreas pequeñas. Utilice diferentes representaciones de la misma área para obtener la ecuación y luego simplifíquela para obtener el teorema de Pitágoras (Ver /21010000/vcm/0720ggdl.doc

El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas con más). Métodos de demostración en matemáticas. Uno: ¡hay más de cuatrocientas formas de demostrarlo! Pero la primera prueba registrada, el método de Pitágoras, se ha perdido. El método de prueba más antiguo disponible actualmente pertenece al antiguo matemático griego Euclides. Su demostración fue en forma de razonamiento deductivo y quedó registrada en la obra maestra de matemáticas "Elementos de geometría". Entre los antiguos matemáticos chinos, la primera persona en demostrar el teorema de Pitágoras fue Zhao Shuang, un matemático del estado de Wu durante el período de los Tres Reinos.

Zhao Shuang creó un "Diagrama de círculo y cuadrado de Pitágoras" y dio una prueba detallada del teorema de Pitágoras combinando números y formas. En este "Diagrama del cuadrado pitagórico", el cuadrado ABDE obtenido con la cuerda como longitud del lado se compone de 4 triángulos rectángulos iguales más el cuadrado pequeño en el medio. El área de cada triángulo rectángulo es ab/2; la longitud del lado del cuadrado pequeño en el medio es b-a, por lo que el área es (b-a) 2. Entonces podemos obtener la siguiente fórmula: 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2 Después de la simplificación, podemos obtener: a 2 +b 2 =c 2 Es decir: c= (a 2 +b 2 ) (1/2) La prueba de Zhao Shuang es única y muy innovadora. Utilizó el truncamiento, el corte, la ortografía y el complemento de figuras geométricas para demostrar la relación de identidad entre expresiones algebraicas, que es a la vez rigurosa e intuitiva. Proporcionó la base para que la antigua China demostrara números, unificara formas y números, y combinara estrechamente el álgebra y el álgebra. La geometría es un estilo único e inseparable del otro. La siguiente URL es el "Diagrama cuadrado pitagórico" de Zhao Shuang: /catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif La mayoría de los matemáticos posteriores heredaron este estilo y lo desarrollaron, pero la división, unión, desplazamiento y complemento de los gráficos específicos son ligeramente diferentes. . Por ejemplo, cuando Liu Hui demostró el teorema de Pitágoras más tarde, también utilizó el método de prueba formal de números. Liu Hui utilizó el "método complementario de entrada y salida", es decir, el método de prueba de cortar y pegar. Ciertas áreas del cuadrado con Pitágoras como lado lo recortan (fuera) y lo mueven al área en blanco del cuadrado con la cuerda como lado (hacia adentro). El resultado es que simplemente se llena. se resuelve completamente utilizando el método del diagrama. La siguiente URL es la "Imagen de entrada de Green y Zhu" de Liu Hui: /catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif

El teorema de Pitágoras se utiliza ampliamente. Otro libro antiguo del Período de los Reinos Combatientes en mi país, "Doce notas a la posdata de Lu Shi", contiene este registro: "Yu controló las inundaciones y cortó los ríos. Observó las formas de las montañas y los ríos, determinó la Tendencias altas y bajas, eliminó desastres monstruosos y dirigió las aguas hacia el Mar de China Oriental. No hay peligro de ahogamiento. De aquí proviene el río Pitagórico. El significado de este pasaje es que para controlar las inundaciones, Dayu. Hizo que los ríos fluyeran libremente. Él determinó la dirección del flujo del agua de acuerdo con la altura del terreno, y aprovechó la situación para hacer que la inundación fluyera hacia el mar, ya no habrá desastres por inundaciones, que es el resultado de. aplicando el teorema de Pitágoras.