Problemas de matemáticas de segundo grado, ¡date prisa! ! ! ! !

En China, la propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa se llama teorema de Pitágoras o teorema de Pitágoras. Es un teorema geométrico básico que tradicionalmente se cree que fue demostrado por Pitágoras de la antigua Grecia. Se dice que después de que Pitágoras demostró este teorema, decapitó cien vacas para celebrarlo, por lo que también se le llama el "Teorema de las cien vacas". En China, "Zhou Kuai Shu Jing" registra un caso especial del teorema de Pitágoras, que se dice que fue descubierto por Shang Gao en la dinastía Shang, por lo que también se le llama teorema de Shang Gao. Zhao Shuang durante el período de los Tres Reinos hizo anotaciones detalladas sobre el Teorema de Pitágoras como prueba en "Zhou Bi Suan Jing". Francia y Bélgica lo llaman Teorema del Puente del Burro, y Egipto lo llama Triángulo Egipcio. En la antigua China, el lado rectángulo más corto de un triángulo rectángulo se llamaba gancho, el lado rectángulo más largo se llamaba cuerda y la hipotenusa se llamaba cuerda.

Teorema:

Si los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son A y B, y la hipotenusa es C, entonces A^2+B^2 = C^2; es decir, la suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Si los tres lados A, B y C de un triángulo satisfacen A^2+B^2 = C^2, entonces el triángulo es rectángulo. (llamado teorema inverso del teorema de Pitágoras)

[Editar este párrafo] El primer teorema de Pitágoras

Según muchos registros de tablillas de arcilla, los babilonios fueron los primeros en descubrir a Pitágoras en el mundo. El teorema de Rath. Este es sólo un ejemplo. Por ejemplo, en 1700 a. C., la novena pregunta de una tablilla de arcilla (numerada BM85196) significa aproximadamente "Hay una viga de madera (AB) de 5 metros de largo apoyada verticalmente contra la pared, y el extremo superior (A) se desliza hacia abajo una metro a D. ¿A qué distancia está el extremo inferior (C) de la raíz de la pared (B)? "Resolvieron este problema usando el teorema de Pitágoras, como se muestra en la figura.

Supongamos AB = CD = L = 5m, BC=a, AD = H = 1m, BD = L-H = 5-1m = 4m.

a = √[ l-(l-h)]= √[ 5-(5-1)]= 3m, ∴ el triángulo BDC es una forma retorcida con 3 lados, 4 lados y 5 lados.

[Editar este párrafo] Introducción a Zhou Kuai Shu Jing

"Pythagoras Zhou Kuai Jing" es uno de los diez libros sobre cálculo. Escrito en el siglo II a. C., originalmente se llamaba Zhou Jie. Es el trabajo astronómico más antiguo de China. Desarrolla principalmente la teoría de cubrir el cielo y el método del calendario de cuatro estaciones de esa época. A principios de la dinastía Tang, se prescribió como uno de los materiales didácticos del Imperial College, por lo que pasó a llamarse "Zhou Kuai". El principal logro matemático de "Zhouyi Suanjing" es la introducción del teorema de Pitágoras y su aplicación en la medición. El libro original no demostró el teorema de Pitágoras, pero la prueba fue dada por Zhao Shuang en "Zhou Zhuan·Pythagorean Fang Notes". El "Libro de los cambios Suan Jing" utiliza un algoritmo de fracción y un método de raíz cuadrada bastante complejos.

[Editar este párrafo] La historia de la demostración del teorema de Pitágoras por parte de Garfield

Una tarde de fin de semana de 1876, en los suburbios de Washington, D.C., un hombre de mediana edad estaba tomando un Caminata, disfrutando del paisaje nocturno. Entonces era un * * * de Ohio y miembro del partido Garfield. Mientras caminaba, de repente descubrió que en un pequeño banco de piedra cercano, dos niños estaban concentrados hablando de algo, discutiendo en voz alta y discutiendo en voz baja. Impulsado por la curiosidad, Garfield siguió el sonido y se acercó a los dos niños, tratando de descubrir qué estaban haciendo. Vi a un niño pequeño inclinándose y dibujando un triángulo rectángulo en el suelo con una rama. Entonces Garfield preguntó qué estaban haciendo. El pequeño dijo sin levantar la cabeza: "Disculpe señor, si los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 respectivamente, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?". Garfield respondió: "Es cinco". El niño volvió a preguntar: " Si los dos lados rectángulos son 5 y 7, entonces ¿cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo? "Garfield respondió sin pensar: "El cuadrado de la hipotenusa debe ser igual al cuadrado de 5 más el cuadrado de 7." El niño añadió. Dijo: "Señor, ¿puede decir la verdad?" Garfield se quedó sin habla por un momento, incapaz de explicar y muy infeliz.

Así que Garfield dejó de caminar e inmediatamente se fue a su casa para discutir el problema que le había planteado el pequeño. Después de pensar y calcular repetidamente, finalmente descubrió el motivo y dio un método de prueba conciso.

Como se muestra a continuación:

Solución: En la cuadrícula, el área de un triángulo pequeño con dos lados rectángulos es igual al área de un triángulo con un hipotenusa.

Contenido del Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos A y B de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa C,

a^2 ; +b^2; =c ^2;

Explicación: Los antiguos eruditos chinos llamaban al lado rectángulo más corto de un triángulo rectángulo "gancho", al lado rectángulo más largo "cuerda" hipotenusa "cuerda", por eso llamaron a este teorema "Teorema de Pitágoras". El teorema de Pitágoras revela la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Por ejemplo, los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 respectivamente, entonces la hipotenusa c= a+b=9+16=25.

Entonces la hipotenusa es 5.

[Editar este párrafo] Algunos ejercicios sobre el Teorema de Pitágoras

Capítulo 1 Teorema de Pitágoras 1. ¿Cuál es el contenido del teorema de Pitágoras? ¿Cómo se obtuvo el teorema de Pitágoras? ¿Qué inspiración obtuviste de la demostración del teorema?

Ejercicio:

1. En △ABC, ∞∠C = 90.

(1+0) Si A = 2, B = 3, ¿cuál es el área del cuadrado con C como lado? (2) Si A = 5, C = 13, ¿qué es B? (3) Si c = 61, b = 11, ¿qué es A? (4) Si a∶c =3∶5, c =20, entonces ¿qué es B? (5) Si ∠ A = 60 y AC =7cm, AB = _cm, BC = _cm.

2. Un lado rectángulo y la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 8cm y 10cm respectivamente, por lo que la altura de la hipotenusa es mayor que _ cm.

3. El perímetro de un triángulo isósceles es de 20 cm, la altura de la base es de 6 cm y la longitud de la base es de _ cm.

4. En △ABC, si AD = _cm, ∠ BAC = 120, AB = 12 cm, entonces la altura de BC es _cm.

5. Se sabe que en △ABC, ∠ ACB = 90, CD⊥AB está en d, BC=, DB=2cm, entonces BC = _ BC=_ cm, AB= _cm, AC. =_cm_cm.

6. Como se muestra en la imagen, alguien quiere cruzar el río. Debido a la influencia de las corrientes oceánicas, el punto de aterrizaje real C se desvió del punto de llegada B previsto en 200 m. Como resultado, en realidad nadó 520 m en el agua y el ancho del río era _ _ _ _ _ _.

7. Hay dos monos a una altura de 10 metros en un árbol. Un mono bajó del árbol y caminó hasta el estanque a 20 metros de distancia del árbol. El otro sube a la copa del árbol D y salta directamente a A. La distancia se calcula como una línea recta. Si los dos monos viajaran la misma distancia, el árbol tendría _ _ _ _ _ _ _ _ _ metros de altura.

8. Dado un Rt△ cuyos dos lados son 3 y 4 respectivamente, el cuadrado del tercer lado es ().

a, 25 B, 14 C, 7 D, 7 o 25

9. La madre de Xiaofeng compró un televisor de 29 pulgadas (74 cm). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre 29 pulgadas es correcta?

A. Xiaofeng cree que se refiere a la longitud de la pantalla; b. la madre de Xiaofeng cree que se refiere al ancho de la pantalla;

C. circunferencia de la pantalla; d. Los miembros de ventas creen que se refiere a la longitud de la diagonal de la pantalla

2. ¿De cuántas maneras puedes demostrar que un triángulo es un triángulo rectángulo?

Ejercicio:

(×Ejercicios clásicos×)

Según los antiguos registros chinos "Zhou Kuai Shu Jing", Shang Gao le dijo al duque Zhou en 1120 a.C. , Si doblas una regla en ángulo recto y conectas los dos extremos, se forma un triángulo rectángulo. Si hay tres ganchos y cuatro hilos, la cuerda equivale a cinco. Las generaciones posteriores lo resumieron como "tres ganchos, cuatro hilos y cinco cuerdas".

(1) Observación: 3, 4, 5, 5, 12, 13, 7, 24, 25,... encontró que el número de ticks en estos grupos son todos números impares, y hay sin discontinuidad a partir de 3 pases. Calcula 0,5 (9+1) y 0,5 (25-1) y 0,5 (25+1) según las reglas que descubriste, escribe las fórmulas de acordes de hebras que pueden representar los tres números 7, 24 y 25 respectivamente.

(2) De acuerdo con la ley de (1), si se usa n (n es un número impar, n≥3) para representar todas estas cadenas pitagóricas, use directamente expresiones algebraicas que contengan n para representar sus cuerdas.

Respuesta:

(1) 0.5(9+1)∧2+0.5(25-1)∧2=169=0.5(25+1)∧2 0.5(13 +1)∧2+0.5(49-1)∧2=0.5(49+1)∧2

(2) Cadena: 0.5 (n 2-1) Cadena: 0.5 (n 2+1 )

Si las longitudes de los tres lados de un triángulo son (a+b)2=c2+2ab, entonces el triángulo es ().

A. Triángulo equilátero; b. Triángulo obtuso; c Triángulo rectángulo

1. = 0.

2. Como se muestra en la figura, si la longitud del lado del cuadrado pequeño es 1, entonces △ABC en la cuadrícula del cuadrado es ().

(a) Triángulo rectángulo (b) Triángulo agudo

(c) Triángulo obtuso (d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

Dados los tres lados del triángulo Las longitudes son 2n+1, 2n+2n, 2n+2n+1 (n es un entero positivo), entonces el ángulo máximo es igual a _ _ _ _ _ _ _ _ _.

La razón de los grados de los tres ángulos interiores de un triángulo es 1:2:3. Su lado mayor es m, por lo que su lado menor es _ _ _ _.

El área de un triángulo rectángulo isósceles con altura de hipotenusa m es igual a _ _ _ _.

3. Como se muestra en la figura, en el cuadrilátero ABCD, AB=3cm, AD=4cm, BC=13cm, CD=12cm, ∠A = 90°, encuentra el área del cuadrilátero. A B C D.

Existe un teorema muy importante en trigonometría, que se llama teorema de Pitágoras y teorema de Shang en China. Porque en "Zhou Pingxing Suanjing" se menciona que Shang Gao dijo "enganche tres hilos, cuatro hilos y cinco". Aquí hay algunas pruebas.

El certificado original era inconsistente. Sean A y B los lados de un triángulo rectángulo y C la hipotenusa. Considere los cuadrados A y B en la siguiente figura con a+b en ambos lados.

Divida A en seis partes y B en cinco partes. Como ocho triángulos rectángulos pequeños son congruentes, restando los iguales a los iguales, se deduce que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos derechos. Aquí, el cuadrilátero en B es un cuadrado con longitud de lado c, porque la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a dos ángulos rectos. El método de prueba anterior se llama método de prueba de congruencia por resta. El gráfico B es el "gráfico de acordes" del clásico semanal de informática paralela.

La siguiente figura es la prueba dada por H. Perigal en 1873, que es un método de prueba de congruencia aditiva. De hecho, esta prueba fue redescubierta porque Labitibn Qorra (826 ~ 901) ya conocía este método de división. (Por ejemplo, la imagen de la derecha) ¿Una de las siguientes pruebas es H? ¿mi? Fue otorgado por Dewdney en 1917. También es un método de prueba para agregar congruencia.

Como se muestra en la figura de la derecha, el área del cuadrado con longitud de lado b más el área del cuadrado con longitud de lado a es igual al área del cuadrado con longitud de lado C.

Se dice que el método de prueba en la imagen siguiente es L? ¿Papá? Diseñado por Vinci (1452 ~ 1519), utiliza el método de prueba de congruencia de resta.

Euclides dio una demostración extremadamente inteligente del Teorema de Pitágoras en la Proposición 47 del Volumen 1 de "Elementos de Geometría", como la imagen de la página siguiente. Debido a los hermosos gráficos, algunas personas lo llaman "el turbante del monje", mientras que otros lo llaman "la silla de manos de la novia". El profesor Hua sugirió una vez enviar esta fotografía al universo para comunicarse con los "extraterrestres". El resumen de la prueba es:

(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL .

Del mismo modo, (BC)2=KEBL

Por lo tanto

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

El matemático y astrónomo indio Bhaskara (activo alrededor de 1150) da Esta es una prueba maravillosa. del teorema de Pitágoras y también una prueba dividida. Divide el cuadrado de la hipotenusa en cinco partes como se muestra a continuación. Cuatro de ellos son triángulos que son congruentes con el triángulo rectángulo dado; algunos son cuadrados pequeños con la diferencia entre los dos lados rectángulos como la longitud del lado. Es fácil volver a juntar estas cinco partes para obtener la suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos. De hecho,

Poshgaro también dio una prueba en la siguiente figura. Dibuja la altura de la hipotenusa del triángulo rectángulo para obtener dos pares de triángulos semejantes, de modo que tengamos

c/b=b/m,

c/a=a/ n,

cm=b2

cn=a2

Suma ambos lados

a2+b2=c(m+n)= c2

Esta prueba fue redescubierta por el matemático británico J. Wallis (Wallis, 1616 ~ 1703) en el siglo XVII.

Varios presidentes estadounidenses tienen conexiones sutiles con las matemáticas. ¿gramo? Washington fue una vez un famoso topógrafo. t? Jefferson promovió vigorosamente la educación matemática superior en los Estados Unidos. Lincoln estudió lógica estudiando los Elementos de Euclides. Aún más creativo fue el decimoséptimo director, J.A. Garfield (1831 ~ 1888), quien tenía un gran interés y un talento extraordinario en las matemáticas elementales cuando era estudiante. En 1876, (entonces miembro de la Cámara de Representantes y presidente electo de los Estados Unidos cinco años después) dio una hermosa demostración del teorema de Pitágoras, que se publicó en el New England Journal of Education. La idea de la prueba es utilizar las fórmulas de áreas de trapecios y triángulos rectángulos. Como se muestra en la página siguiente, es un trapecio rectángulo que consta de tres triángulos rectángulos. Usa diferentes fórmulas para encontrar la misma área

Es decir,

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

Este tipo de prueba suele ser de interés para los estudiantes de secundaria cuando aprenden geometría.

Este teorema tiene muchas demostraciones ingeniosas (se dice que hay cerca de 400). Aquí hay algunos ejemplos para estudiantes, todos probados usando rompecabezas.

La prueba 1 se muestra en la Figura 26-2. En el exterior del triángulo rectángulo ABC, haz los cuadrados ABDE, ACFG y BCHK. Sus áreas son c2, b2 y a2 respectivamente. Sólo nos falta demostrar que el área de un cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados pequeños.

Saque CM‖BD por C, cruce AB por L y conecte BC y CE. Porque

AB=AE, AC=AG ∠CAE=∠BAG,

Entonces △ACE≔△AGB

SAEML=SACFG (1)

También se puede demostrar el mismo método.

SBLMD=SBKHC (2)

(1)+(2)

SABDE=SACFG+SBKHC,

es decir, c2= a2+b2

La prueba 2 se muestra en la Figura 26-3 (Figura Zhao). Se utilizan ocho triángulos rectángulos ABC para formar un cuadrado grande CFGH con una longitud de lado a+b. En su interior hay un cuadrado inscrito ABED con una longitud de lado C, como se muestra en la figura.

SCFGH=SABED+4×SABC,

Entonces a2+b2=c2

La prueba 3 se muestra en la Figura 26-4 (Mapa de Mei Wending).

Dibuja un cuadrado ABDE hacia afuera sobre la hipotenusa AB del ángulo recto △ABC, y dibuja un cuadrado ACGF sobre el ángulo recto AC. Se puede demostrar (ligeramente) que expandir GF debe pasar E; extender CG a k, hacer GK=BC=a, conectar KD, hacer DH⊥CF en h, entonces DHCK es un cuadrado con longitud de lado a. >

El área del pentágono

Por un lado,

S=área ABDE del cuadrado + 2 veces △área ABC

=c2 +ab (1)

Por otro lado,

S=área cuadrada ACGF + área cuadrada DHGK

+2 veces △área ABC

=b2+ a2+ab. (2)

De (1) y (2)

c2=a2+b2

Demuestre 4 como se muestra en la Figura 26-5 (diagrama de Xianmingda) , se forma un cuadrado ABDE sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, y se completa un cuadrado BFGJ con longitud de lado B a partir de los dos ángulos rectos CA y CB del triángulo rectángulo ABC (Figura 26-5). Se puede probar (omitir) que la línea de extensión de GF debe pasar d. Extender AG hasta k, de modo que GK=a, y sea EH⊥GF h, entonces EKGH debe ser un cuadrado con una longitud de lado igual a a

Conjunto cinco El área del polígono EKJBD es s. Por un lado

S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

Por el otro. mano,

S=SBEFG +2? S△ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

Dirige un argumento a través de (1), (2)

Todos están verificados por área: un área grande es igual a la suma de varias áreas pequeñas. Usa diferentes representaciones de la misma área para obtener la ecuación y luego simplifícala para obtener el teorema de Pitágoras. ) ver /21010000/VCM/0720 gdl. doctor.

El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más probados en matemáticas, ¡con más de 400 demostraciones! Pero la primera prueba registrada, el método pitagórico, se ha perdido. La prueba más antigua disponible actualmente pertenece al antiguo matemático griego Euclides. Su demostración fue en forma de razonamiento deductivo y quedó registrada en la obra maestra de las matemáticas, Elementos. Entre los antiguos matemáticos chinos, la primera persona en demostrar el teorema de Pitágoras fue Zhao Shuang, un matemático del estado de Wu durante el período de los Tres Reinos. Zhao Shuang creó el diagrama de Pitágoras y dio una demostración detallada del teorema de Pitágoras combinando números y formas. En este "cuadrado pitagórico", el cuadrado ABDE con la cuerda como longitud del lado se compone de cuatro triángulos rectángulos iguales más un pequeño cuadrado en el medio. El área de cada triángulo rectángulo es AB/2; si la longitud del lado del cuadrado pequeño en el medio es b-a, el área es (b-a) 2. Entonces podemos obtener la siguiente fórmula: 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2. Después de la simplificación, podemos obtener: a 2 +b 2 =c 2, es decir, c=(a 2 +b 2) (1/2). La prueba de Zhao Shuang es única e innovadora. Usó el corte, corte, ortografía y complementación de figuras geométricas para demostrar la relación de identidad entre expresiones algebraicas, que era a la vez rigurosa e intuitiva. Fue una figura única en la antigua China que usó formas para probar números, usó formas para contar números, y la estrecha integración del álgebra y la geometría. El estilo segmentado da el ejemplo. La siguiente URL es el diagrama pitagórico de Zhao Shuang:/catch pic/0/01/01f9d 756 be 31e 31e 71a 75 cacc 1410C. La mayoría de los matemáticos posteriores al GIF heredaron esto. Por ejemplo, Liu Hui utilizó más tarde una prueba formal para demostrar el teorema de Pitágoras. Liu Hui utilizó el "método complementario de entrada y salida", es decir, el método de prueba de cortar y pegar. Cortó áreas del cuadrado delimitadas por Pitágoras y las movió a áreas vacías del cuadrado delimitadas por cuerdas. Como resultado, simplemente lo completé y el problema se resolvió por completo utilizando el método del diagrama. La siguiente URL es la "Imagen de entrada y salida bermellón verde" de Liu Hui:/catch pic/A/A7/A 7070d 771214459 d67a 75e 8675 A a4dcb

El teorema de Pitágoras se utiliza ampliamente. Otro libro antiguo del Período de los Reinos Combatientes en mi país, "Doce notas a la posdata de la historia del camino", contiene este registro: "Yu controlaba las inundaciones y cortaba los ríos. Observaba las formas de las montañas y Ríos y juzgó las altas y bajas. Excepto por desastres particularmente graves, el Mar de China Oriental se inundó. No hay peligro de ahogamiento ". Este pasaje significa que para controlar la inundación, Dayu decidió la dirección del flujo de agua. la altura del terreno, y aprovechó la situación para hacer que la inundación fluyera hacia el mar, para que no hubiera más desastres por inundaciones. Esta es la aplicación del teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras es muy utilizado en nuestra vida.

Método de verificación del 16 teorema de Pitágoras (con imágenes):/upload files/2007/11-25/1125862269. Archivo

Ejercicio: Un triángulo isósceles, la proporción de los tres ángulos interiores es 1:1:10, y la longitud de la cintura es 10 cm, entonces el área de este triángulo es _ _ _ _.

Solución: Los ángulos del triángulo miden 15 grados y 150 grados respectivamente.

Supongamos que la altura de la base es h y la longitud de la base es 2t.

Es fácil obtener sen 15 = sen 60 cos 45-cos 60 sen 45 = h/10.

La solución es h=5(√6-√2)/2.

tan 15 =(tan 60-tan 45)/(1-tan 60 tan 45)= 5(√6-√2)/2t.

T=5(√6+√2)

Por lo tanto, área s = th = 50

[Editar este párrafo] Alias ​​del Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es una perla deslumbrante en geometría y es conocido como la "piedra angular de la geometría". También se usa ampliamente en materias como matemáticas avanzadas. Debido a esto, se han descubierto y estudiado ampliamente varias civilizaciones antiguas en el mundo, por lo que tienen muchos nombres.

China es el primer país en descubrir y estudiar el Teorema de Pitágoras. Los antiguos matemáticos chinos llamaban pitagórico al triángulo rectángulo, el lado derecho más corto se llamaba gancho, el otro lado derecho se llamaba cuerda y la hipotenusa se llamaba cuerda, por lo que el teorema de Pitágoras también se llama teorema de Pitágoras. Más de 1000 a. C., se registra que Shang Gao (alrededor de 1120 a. C.) respondió a Zhou Gong. En el triángulo rectángulo hay "tres ganchos, cuatro hilos y cinco hilos". Por lo tanto, el teorema de Pitágoras también se llama "teorema de Shang-Gao" en mi país. En los siglos VII y VI a. C., el erudito chino Chen Zi dio una vez la relación de los tres lados de cualquier triángulo rectángulo, es decir, "el sol es el gancho, el sol es la parte, el gancho y la parte se multiplican y dividen". , y el mal regresa al sol.

En Francia y Bélgica, el teorema de Pitágoras también se llama teorema del Puente del Burro.

Ciento veinte años después de la muerte de Chen Zi, el. El famoso matemático griego Pitágoras descubrió este teorema, por lo que muchos países del mundo lo llaman el teorema de Pitágoras. Para celebrar el descubrimiento de este teorema, los pitagóricos mataron cien vacas como recompensa por sacrificar a los dioses, así que este es el teorema. Se llama "Teorema de las cien vacas".