¿Cuáles son las 6 formas de demostrar el Teorema de Pitágoras (Detalles)
Prueba 1 (prueba de libro de texto)
Haz 8 triángulos rectángulos congruentes. Sean a y b las longitudes de sus dos lados rectángulos, y la longitud de la hipotenusa sea c. , y luego haz tres cuadrados con longitudes de lado a, b y c, y colócalos en dos cuadrados como se muestra en la imagen de arriba.
Como puedes ver en la imagen, las longitudes de los lados de estos. dos cuadrados Son todos a + b, por lo que las áreas son iguales, es decir,
, ordenadas.
Prueba 2 (probada por Zou Yuanzhi)
Supongamos que a y b son ángulos rectos. Si hacemos cuatro triángulos rectángulos congruentes con c como hipotenusa, entonces el área de cada triángulo rectángulo es igual a Arriba, los tres puntos B, F y C están en una línea recta, y los tres puntos C, G y D están en línea recta.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠ BEF.
∵ ∠ AEH + ∠AHE = 90?,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90?.
∴ ∠HEF = 180?― 90?= 90?.
∴ El cuadrilátero EFGH es un cuadrado de longitud de lado c
Su área es igual a c2
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD. = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90?,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90?.
También ∵ ∠GHE = 90?,
∴ ∠DHA = 90?+ 90?= 180?.
∴ ABCD es un lado con longitud de lado a + b El área de un cuadrado es igual a .
∴ .
Prueba 3 (Zhao Shuang demostró)
Sean a y b los lados rectángulos (b >a), usa c como lado pendiente
para construir cuatro triángulos rectángulos congruentes, entonces el área de cada ángulo recto
triángulo es igual a Divide estos cuatro triángulos rectángulos
.Los ángulos se ensamblan en la forma que se muestra en la figura
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵. ∠HAD + ∠HAD = 90?,
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90?,
∴ ABCD es un cuadrado de lado c y su área es igual a c2 .
∵ EF = FG =GH =HE = b―a,
∠HEF = 90?.
∴ EFGH es un cuadrado de lado b ―a, Su área es igual a .
∴ .
∴ .
Prueba 4 (probada por el presidente estadounidense Garfield en 1876)
Con a, b es el lado rectángulo y c es la hipotenusa para construir dos triángulos rectángulos congruentes, entonces el área de cada triángulo rectángulo es igual a Coloque estos dos triángulos rectángulos en. la forma como se muestra en la figura, de modo que A, E y B Los puntos están en una línea recta
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90?,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90?
∴ ∠DEC = 180?―90?. = 90?.
∴ ΔDEC es un Triángulo isósceles de ángulo recto,
Su área es igual a.
Y ∵ ∠DAE = 90?, ∠EBC = 90?,
∴ AD‖BC.
∴ ABCD es un trapecio rectángulo y su área es igual a.
∴ .
∴ .
Prueba 5 (Prueba de Mei Wending)
Haz cuatro triángulos rectángulos congruentes. Sean a y b las longitudes de sus dos lados rectángulos. respectivamente, y la longitud de la hipotenusa sea c. Póngalos juntos en un polígono como se muestra en la figura, de modo que D.
, E y F están en una línea recta. Trace una línea de extensión de AC que pase por C y corte a DF en el punto P.
∵ D, E y F están en una línea recta y RtΔGEF ≌ RtΔEBD. ,
∴ ∠EGF = ∠BED,
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BEG =180?―90?= 90?.
Y ∵ AB = BE = EG = GA = c,
∴ ABEG es un cuadrado con longitud de lado c
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90?.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90?
Es decir, ∠CBD= 90?.
Y ∵ ∠BDE = 90?, ∠BCP = 90 ?,
BC = BD = a.
∴ BDPC es un cuadrado con una longitud de lado a.
Del mismo modo, HPFG es un cuadrado con una longitud de lado b.
Supongamos que el área del polígono GHCBE es S, entonces
,
∴ .
Prueba 6 (Prueba de Xiang Mingda )
Haz dos triángulos rectángulos congruentes, sean sus dos lados rectángulos a y b (b>a), y la longitud de la hipotenusa sea c. Luego haz un cuadrado con una longitud de lado c. Júntelos así Para el polígono que se muestra en la figura, deje que los tres puntos E, A y C se encuentren en una línea recta.
A través del punto Q, dibuje QP‖BC y cruce a AC en el punto. P.
A través del punto B Como BM⊥PQ, el pie vertical es M después de pasar el punto
F es FN⊥PQ y el pie vertical es N.
∵ ∠BCA = 90?, QP‖BC,
∴ ∠MPC = 90?,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠ BMP = 90?,
∴ BCPM es un Rectángulo, es decir, ∠MBC = 90?.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90?,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90?,
p>
∴ ∠QBM = ∠ABC,
Y ∵ ∠BMP = 90?, ∠BCA = 90?, BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA .
De manera similar, se puede demostrar que RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
Así , el problema se transforma en la Prueba 4 (prueba de Mei Wending).
Prueba 7 (Europea (prueba de Gelide)
Haz tres cuadrados con longitudes de lado a, byc respectivamente, y júntelos en la forma que se muestra en la figura, de modo que los tres puntos H, C y B estén en línea recta. Conecte
BF, CD y pase C para formar CL⊥DE.
interseca a AB en el punto M, intersecta a DE en el punto
L
∵ AF = AC, AB = AD,
∠. FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
El área de ∵ ΔFAB es igual a,
El área de ΔGAD es igual a la mitad del área del rectángulo ADLM
,
∴ El área del rectángulo ADLM = .
De manera similar, se puede demostrar que, El área del rectangular MLEB = .
∵ El área del cuadrado ADEB
= El área del rectangular ADLM + el área del rectangular MLEB
∴, es decir.
Método de prueba 8 (Demostración usando las propiedades de triángulos similares)
Como se muestra en la figura, en RtΔABC, sea las longitudes de los lados rectángulos AC y BC son a y b respectivamente, y la longitud de la hipotenusa AB es c, por el punto C es CD⊥AB, y el pie vertical es D.
En ΔADC y ΔACB,
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90?,
∠ C
AD = ∠BAC,
∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB,
Es decir.
De manera similar Se puede demostrar que ΔCDB ∽ ΔACB, por lo que lo hay.
∴, es decir.
Método de prueba 9 (Prueba de Yang Zuomei)
Construcción dos triángulos rectángulos congruentes, sean sus dos lados rectángulos a y b (b>a), y la longitud de la hipotenusa sea c. Haz otro cuadrado con longitud de lado c. Júntalos en un polígono como se muestra en la figura. Trazamos a través de A AF⊥AC, AF cruza a GT en F, AF cruza a DT en R. A través de B, dibujamos BP⊥AF, y el pie vertical es P. A través de D, dibujamos DE y la línea de extensión de CB es perpendicular, y el pie vertical es E, y DE intersecta a AF en H.
∵ ∠BAD = 90?, ∠PAC = 90?,
∴ ∠DAH = ∠BAC.
Y ∵ ∠DHA = 90?, ∠ BCA = 90?,
AD = AB = c,
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a, AH = AC = b
Se puede ver en la práctica que PBCA es un rectángulo,
Entonces RtΔAPB ≌ RtΔBCA Es decir, PB. =
CA = b, AP= a, entonces PH = b ―a
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a, ∠GDT = ∠HDA
Y ∵ ∠DGT = 90?, ∠DHF = 90?, <. /p>
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90?,
∴ DGFH es un cuadrado de longitud de lado a
∴ GF =. FH = a . TF⊥AF, TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB es un trapecio rectángulo, con la base superior TF=b-a, la base inferior BP= b, y la altura FP=a + (b-a).
Usa números para expresar el área (como se muestra en la figura), luego el área del cuadrado con c como longitud del lado es
①
∵ = ,
∴ = ②
Sustituyendo ② en ①, obtenemos
= =. .
∴ .
Prueba 10 (Prueba de Li Rui)
Sean a y b las longitudes de los dos lados rectángulos del triángulo rectángulo (b>a), y la longitud de la hipotenusa sea c. Haz tres cuadrados con longitudes de lado a, b y c, y júntalos en la forma que se muestra en la figura, de modo que los tres puntos A, E. , y G están en línea recta. Usa números para indicar el número del área (como se muestra en la figura).
∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90?,
∴ ∠TBH = ∠ABE.
Y ∵ ∠BTH = ∠BEA = 90?,
BT = BE = b,
∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.
∴ HT = AE = a.
∴ GH = GT―HT = b―a.
Y ∵ ∠GHF + ∠BHT = 90?,
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90?,
∴ ∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB―ED = b ―a,
∠HGF = ∠BDC = 90?,
∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC
Usando Q para construir QM⊥AG, el pie vertical es M. De ∠BAQ = ∠BEA = 90?, se puede ver que ∠ABE
= ∠QAM, y AB = AQ =
c, entonces RtΔABE ≌ RtΔQAM ≌
RtΔABE Entonces RtΔHBT ≌ RtΔQAM
De RtΔABE ≌ RtΔQAM, obtenemos QM = AE = a, ∠AQM =. ∠BAE
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90?, ∠BAE + ∠CAR = 90?, ∠AQM = ∠BAE,
∴ ∠FQM = ∠CAR.
p>También ∵ ∠QMF = ∠ARC = 90?, QM = AR = a,
∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC Es decir.
∵ , . ,
También ∵ , , ,
∴
=
= ,
Eso es.
Método de prueba 11 (use el teorema de la línea de corte para demostrar)
En RtΔABC, sean los lados rectángulos BC = a, AC = b y la hipotenusa AB = c. en la figura, dibuje un círculo con B como centro y a como radio, intersectando a AB y las líneas de extensión de AB en D y E respectivamente, entonces BD = BE = BC = a. C está en ⊙B, por lo que AC es la recta tangente de ⊙B. Según el teorema de la línea de corte, obtenga
=
=
=, <. /p>
es decir,
∴ .
Método de demostración 12 (use el teorema del polilema para demostrar)
En RtΔABC, sea la derecha- lados en ángulo BC = a, AC = b, y la hipotenusa AB = c (como se muestra en la figura. Dibuja AD‖ a través del punto A‖ CB, pasando el punto B para dibujar BD‖CA, entonces ACBD es un rectángulo y el El rectángulo ACBD está inscrito en un círculo. Según el teorema del polinomio, el producto de las diagonales de un círculo inscrito en un cuadrilátero es igual a la suma de los productos de los dos lados opuestos, tenemos
∵. AB = DC = c, AD = BC = a,
AC = BD = b,
∴, es decir,
∴.
Prueba 13 (Prueba del círculo inscrito de un triángulo rectángulo)
En RtΔABC, suponga que los lados rectángulos BC = a, AC = b y la hipotenusa AB = c. El círculo inscrito ⊙O de /p>
∴
= = r + r = 2r,
Es decir,
∴ .
∴ ,
Es decir,
∵ ,
∴ ,
Y ∵ = =
= = ,
∴ ,
∴ ,
∴ , ∴ .
Prueba 14 (Prueba por contradicción)
Como se muestra en la figura, en RtΔABC, supongamos que las longitudes de los lados rectángulos AC y BC son a y b respectivamente, la longitud de la hipotenusa AB es c, que pasa por el punto C es CD⊥ AB, y el pie vertical es D.
Suposición, es decir Suponiendo, se puede conocer a partir de
= =
, o AD. : AC≠AC: AB, o BD: BC≠BC: AB.
Entre ΔADC y ΔACB,
∵ ∠A = ∠A,
∴ Si AD: AC≠AC: AB, entonces
∠ADC≠∠ACB
En ΔCDB y ΔACB,
∵ ∠B = ∠B,
∴ Si BD: BC≠BC: AB, entonces
∠CDB≠∠ACB.
Y ∵ ∠ACB = 90?,
∴ ∠ADC≠90?, ∠CDB≠90?.
Esto contradice el enfoque CD⊥AB Por lo tanto, no se puede establecer el supuesto de.
∴ .
Prueba 15 (Prueba de Simpson)
Supongamos un triángulo rectángulo Las longitudes de los dos lados del ángulo recto
son a y b, y la longitud de la hipotenusa es c. Construye un cuadrado ABCD con longitud de lado a+b Divide el cuadrado ABCD en varias partes como se muestra en la figura de arriba a la izquierda, luego el área del cuadrado. ABCD es; divide el cuadrado ABCD en las distintas partes que se muestran en la figura de arriba a la derecha, entonces el área del cuadrado ABCD es = .
∴ ,
∴ .
Prueba 16 (Chen Jie demostró)
Supongamos que las longitudes de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son a y b (b>a), y la longitud de la hipotenusa es c. Construya dos cuadrados con longitudes de lados a y b (b>a), júntelos en la forma que se muestra en la imagen, de modo que los tres puntos E, H y M estén en línea recta. indique el número del área (como se muestra en la imagen).
Intercepta ED en EH = b = a, conectando DA y DC,
luego AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a, ED = a,
∴ DM = EM―ED = ―a = b.
Y ∵ ∠CMD = 90?, CM = a,
∠AED = 90?, AE = b,
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC, DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180?,
p>∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90?,
∴ ∠ADC = 90?.
∴ es AB‖DC, CB‖DA, entonces ABCD es un cuadrado con longitud de lado c.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90?,
∴ ∠BAF=∠DAE.
Conectar FB, en ΔABF y ΔADE,
∵ AB =AD = c, AE = AF = b, ∠BAF=∠DAE,
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90?, BF = DE = a.
∴ Los puntos B, F, G, H están en línea recta.
En RtΔABF y RtΔBCG,
∵ AB = BC = c , BF = CG = a,
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.
∵ , , ,
,
∴
=
=
=
∴ .