Acertijos matemáticos mundiales
¡Dame algunos puntos! 1) El problema de cardinalidad del continuo de Cantor.
En 1874, Cantor conjeturó que no existe otra cardinalidad entre la cardinalidad del conjunto contable y la cardinalidad del conjunto de números reales, lo que es la famosa hipótesis del continuo. En 1938, Gödel, un lógico matemático austriaco que vivía en Estados Unidos, demostró que no existe contradicción entre la hipótesis del continuo y el sistema de axiomas de la teoría de conjuntos ZF. En 1963, el matemático estadounidense P. Choen demostró que la hipótesis del continuo y el axioma ZF son independientes entre sí. Por tanto, la hipótesis del continuo no puede demostrarse mediante axiomas de ZF. En este sentido el problema está solucionado.
(2) La no contradicción del sistema de axiomas aritméticos.
La no contradicción de la geometría euclidiana se puede atribuir a la no contradicción de los axiomas aritméticos. Hilbert propuso una vez utilizar el método de la teoría de prueba del plan formalista para demostrarlo, y Gödel publicó el teorema de incompletitud en 1931 para negarlo. G. Gentaen (1909-1945) utilizó la inducción transfinita en 1936 para demostrar la no contradicción del sistema de axiomas aritméticos.
(3) Es imposible demostrar que dos tetraedros con bases iguales y alturas iguales tienen volúmenes iguales basándose únicamente en el axioma del contrato.
El significado del problema es: hay dos tetraedros con bases iguales, y es imposible descomponerlos en un número finito de tetraedros pequeños, de modo que estos dos conjuntos de tetraedros sean congruentes entre sí. M. Dehn 1900 año ha sido resuelto.
(4) El problema de tomar una línea recta como la distancia más corta entre dos puntos.
Esta pregunta es general. Hay muchas geometrías que satisfacen esta propiedad, por lo que es necesario imponer ciertas restricciones. En 1973, el matemático soviético Pogleov anunció que el problema estaba resuelto en el caso de distancias simétricas.
(5) Las condiciones para que la topología se convierta en un grupo de Lie (grupo topológico).
Esta pregunta se conoce como analiticidad de grupos continuos, es decir, si cada grupo euclidiano local debe ser un grupo de Lie. En 1952, fue resuelto conjuntamente por Gleason, Montgomery y Zippin. En 1953, el japonés Hidehiko Yamamai obtuvo un resultado completamente positivo.
(6) Axiomatización de la física que juega un papel importante en las matemáticas.
En 1933, el matemático soviético Kolmogorov axiomatizó la teoría de la probabilidad. Posteriormente, logró el éxito en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. Sin embargo, mucha gente tiene dudas sobre si todas las ramas de la física pueden ser completamente axiomáticas.
(7) Prueba de la trascendencia de determinados números.
Prueba requerida: Si α es un número algebraico y β es un número algebraico de números irracionales, entonces αβ debe ser un número trascendental o al menos un número irracional (por ejemplo, 2√2 y eπ). Gelfond de la Unión Soviética demostró independientemente su exactitud en 1929, y Schneider y Siegel de Alemania en 1935. Pero la teoría trascendental está lejos de ser completa. Actualmente, no existe un método unificado para determinar si un número determinado es trascendental.
(8) Problemas de distribución de números primos, especialmente la Hipótesis de Riemann, la Hipótesis de Goldbach y los problemas de primos gemelos ***.
Los números primos son un campo de investigación muy antiguo. Hilbert mencionó aquí la conjetura de Riemann, la conjetura de Goldbach y el problema de los primos gemelos. La hipótesis de Riemann aún no ha sido resuelta. La conjetura de Goldbach y el problema de los primos gemelos aún no se han resuelto definitivamente, y los mejores resultados pertenecen al matemático chino Chen Jingrun.
(9) Prueba de la ley general de reciprocidad en cualquier campo numérico.
Takagi Sadaharu de Japón en 1921 y E. Artin de Alemania en 1927 respectivamente proporcionaron soluciones básicas. La teoría del dominio aún está en desarrollo.
(10) ¿Podemos determinar si existe una solución entera racional a una ecuación indefinida mediante pasos finitos?
Encontrar las raíces enteras de una ecuación con coeficientes enteros se llama ecuación diofántica (aproximadamente 210-290, matemático griego antiguo) que se puede resolver. Alrededor de 1950, los matemáticos estadounidenses Davis, Putnan, Robinson y otros lograron avances clave. En 1970, Baker y Philos obtuvieron una conclusión positiva para una ecuación que contenía dos incógnitas. 1970. El matemático soviético Matisevich finalmente demostró que, en general, la respuesta es no. Aunque se obtuvieron resultados negativos, se produjeron una serie de subproductos valiosos, muchos de los cuales estaban estrechamente relacionados con la informática.
(11) Teoría de la forma cuadrática en campos numéricos algebraicos generales.
Los matemáticos alemanes Hasse y Siegel obtuvieron importantes resultados en la década de 1920. En los años 60, el matemático francés A. Weil logró nuevos avances.
(12) La composición del dominio de clase.
Es decir, el teorema de Kronecker sobre campos abelianos se extiende a cualquier campo racional algebraico. Sólo hay algunos resultados esporádicos sobre esta cuestión y está lejos de ser una solución completa.
(13) Es imposible resolver ecuaciones algebraicas generales de séptimo grado mediante la combinación de funciones continuas de dos variables.
La raíz de la ecuación de séptimo grado x7+ax3+bx2+cx+1=0 depende de 3 parámetros a, b, c; ¿Se puede expresar esta función como función de dos variables? Este problema está cerca de resolverse. En 1957, el matemático soviético Arnold demostró que cualquier función real continua f(x1, x2, x3) en [0, 1] puede escribirse en la forma ξhi(ξi(x1,x2),x3) (i=1-- 9), donde hi y ξi son funciones reales continuas. Kolmogorov demostró que f(x1, x2, x3) se puede escribir en la forma ξhi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7) donde hi y ξi son continuas. funciones, la selección de ξij puede ser completamente independiente de f. En 1964, Vituskin lo amplió al caso continuamente diferenciable, pero no resolvió el caso de las funciones analíticas.
(14) Prueba limitada de algunos sistemas funcionales completos.
Es decir, el polinomio fi (i=1,...,m) en el dominio K con x1, x2,...,xn como variables independientes, y R es la función racional en K [X1,...,Xm] Un anillo compuesto por F(X1,…,Xm) y F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]. ¿Se puede generar R mediante un polinomio con a? número finito de elementos F1,…,FN? El matemático japonés Masaki Nagata dio una solución negativa a este problema relacionado con el problema del invariante algebraico en 1959 con un hermoso contraejemplo.
(15) Establecer las bases de la geometría algebraica.
El matemático holandés Van der Walden trabajó desde 1938 hasta 1940 y Wei Yi lo resolvió en 1950.
(15) Nota 1. La base estricta del cálculo de conteo de Schubert.
Una pregunta típica es: Hay cuatro rectas en un espacio tridimensional ¿Cuántas rectas pueden cruzarse con las cuatro rectas? Schubert dio una solución intuitiva. Hilbert exigió que el problema se generalizara y se le diera una base estricta. En la actualidad existen algunos métodos computables que están estrechamente relacionados con la geometría algebraica. Pero aún no se ha establecido una base estricta.
(16) Investigación topológica sobre curvas y superficies algebraicas.
La primera mitad de este problema se refiere al número máximo de curvas de rama cerrada en una curva algebraica. La segunda mitad requiere una discusión del número máximo N (n) y las posiciones relativas de los ciclos límite con dx/dy=Y/X, donde X e Y son polinomios de grado n de x e y. Para el caso de n=2 (es decir, sistema cuadrático), en 1934 Froxianer obtuvo N(2)≥1; en 1952, Botting obtuvo N(2)≥3, en 1955, Podlovsky de la Unión Soviética anunció N (2) ≤; 3, este resultado que alguna vez conmocionó por un tiempo se ha vuelto cuestionable porque varios de sus lemas han sido desmentidos. En cuanto a las posiciones relativas, los matemáticos chinos Dong Jinzhu y Ye Yanqian demostraron en 1957 que (E2) no supera las dos cuerdas. En 1957, los matemáticos chinos Qin Yuanxun y Pu Fujin dieron ejemplos específicos de n=2 ecuaciones con al menos tres ciclos límite de cuerdas. En 1978, Shi Songling de China, bajo la dirección de Qin Yuanxun y Hua Luogeng, y Wang Mingshu, respectivamente, citaron al menos cuatro ejemplos específicos de ciclos límite. En 1983, Qin Yuanxun demostró además que el sistema cuadrático tiene como máximo 4 ciclos límite y es una estructura (1, 3), resolviendo así finalmente el problema estructural de la solución de la ecuación diferencial cuadrática y sentando las bases para el estudio de la ecuación de Hilbert. El primer (16) problema ofrece nuevas vías.
(17) Expresión de suma de cuadrados en forma semidefinida positiva.
La función racional de coeficiente real f(x1,...,xn) es siempre mayor o igual a 0 para cualquier matriz (x1,...,xn). Determine si f se puede escribir como. ¿La suma de los cuadrados de la función racional? En 1927 Artin estaba definitivamente establecido.
(18) Utilizar poliedros congruentes para construir el espacio.
Los matemáticos alemanes Bieberbach en 1910 y Reinhart en 1928 aportaron soluciones parciales.
(19) ¿La solución a un problema de variación regular es siempre una función analítica?
El matemático alemán Bernstein (1929) y el matemático soviético Petrovsky (1939) lo han resuelto.
(20) Estudiar problemas generales de valores en la frontera.
Este problema está progresando rápidamente y se ha convertido en una gran rama de las matemáticas. Todavía sigo estudiando y desarrollándome.
(21) Prueba de la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales lineales de la clase de Fuchs con singularidades dadas y grupos de un solo valor.
Este problema pertenece a la teoría a gran escala de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. El propio Hilbert obtuvo importantes resultados en 1905 y H. Rohrl en 1957. En 1970, el matemático francés Deligne hizo una contribución destacada.
(22) Utilice funciones automórficas para funciones analíticas de un solo valor.
Este problema involucra la difícil teoría de superficies de Riemann. En 1907, P. Koebe resolvió una situación variable y logró un avance importante en la investigación del problema. Otros aspectos aún no se han resuelto.
(23) Investigación sobre el desarrollo de métodos de cálculo variacional.
Esta no es una pregunta explícitamente matemática. El cálculo de variaciones se ha desarrollado mucho en el siglo XX.
Respuesta: manami - El Gran Mago Nivel 8 4-12 22:42
Los 23 problemas de Hilbert y sus soluciones
1900 Albert fue invitado a asistir al Congreso Internacional Congreso de Matemáticos en París y pronunció una importante conferencia titulada "Problemas matemáticos" en la reunión. En este discurso histórico, presentó por primera vez muchas ideas importantes:
Así como todo esfuerzo humano persigue un objetivo definido, la investigación matemática también necesita sus propios problemas. Es a través de la resolución de estos problemas que los investigadores pueden ejercer su voluntad de hierro, descubrir nuevas perspectivas y alcanzar un ámbito más amplio de libertad.
Hilbert destacó especialmente el papel de los grandes problemas en el desarrollo de las matemáticas y señaló: "Si queremos tener una idea del posible desarrollo del conocimiento matemático en un futuro próximo, debemos mirar. Volviendo a los problemas actuales del progreso científico que esperamos resolver en el futuro". Al mismo tiempo, señaló: "La profunda importancia de ciertos tipos de problemas para el proceso matemático general y el importante papel que desempeñan en el trabajo de Los investigadores individuales son innegables mientras exista una sola rama de la ciencia. Si se pueden plantear un gran número de preguntas, estará llena de vitalidad, mientras que la falta de preguntas indicará el declive o la suspensión del desarrollo independiente. p>
Explicó las características de las preguntas principales. Las buenas preguntas deben tener las siguientes tres características:
Claridad y facilidad de comprensión
Difíciles pero esperanzadoras. /p>
Importancia de gran alcance.
Al mismo tiempo, analizó las dificultades que suelen encontrarse a la hora de estudiar problemas matemáticos y algunos métodos para superarlas. Fue en esta reunión donde propuso 23 problemas que los matemáticos deberían esforzarse por resolver en el nuevo siglo, los famosos "23 problemas de Hilbert".
El problema de la numeración promueve la solución del campo del desarrollo
1 Teoría axiomática de conjuntos de la hipótesis del continuo En 1963, Paul J.Cohen demostró que el primer problema es irresoluble en el siguiente sentido de . Es decir, la verdad o falsedad de la hipótesis del continuo no se puede determinar dentro del sistema de axiomas de Zermelo_Fraenkel.
2 El fundamento matemático de la compatibilidad de los axiomas aritméticos La idea de Hilbert de demostrar la compatibilidad de los axiomas aritméticos se desarrolló más tarde en el plan sistemático de Hilbert ("metamatemática" o "teoría de la prueba"), pero en 1931 Gödel El "Teorema incompleto" señaló la imposibilidad de utilizar la "metamatemática" para demostrar la compatibilidad de los axiomas aritméticos. El problema de la compatibilidad matemática sigue sin resolverse.
3 La igualdad de los volúmenes de tetraedros de dos alturas iguales y bases iguales. Este problema recibió rápidamente (1900) una respuesta positiva por parte del alumno de Hilbert, M. Dehn.
4 El problema de la línea recta como distancia más corta entre dos puntos. Conceptos básicos de geometría. Esta pregunta es demasiado general. Después de Hilbert, muchos matemáticos se dedicaron a construir y explorar varias geometrías métricas especiales y lograron grandes avances en el estudio del cuarto problema, pero el problema no se resolvió por completo.
5 No definir el concepto de grupo de Lie del supuesto de diferenciabilidad de la función del grupo Después de un largo período de esfuerzos en la teoría de grupos topológicos, este problema fue finalmente resuelto por Gleason, Montqomery, Zipping y otros. en 1952. La respuesta es sí.
6 Tratamiento matemático de los axiomas físicos En la física matemática, en los campos de la mecánica cuántica, la termodinámica y otros campos, los métodos axiomáticos han logrado un gran éxito, pero en términos generales, aún es necesario discutir qué significa la física axiomática. pregunta. La axiomatización de la teoría de la probabilidad ha sido establecida por AH Konmoropob et al.
7 La irracionalidad y la trascendencia de ciertos números Teoría de números trascendental En 1934, A.O Temohm y Schneieder resolvieron de forma independiente la segunda mitad de este problema.
8 Problema de los números primos Teoría de números La conjetura de Riemann en general sigue siendo una conjetura hoy en día. El problema de Goldbach incluido en el octavo problema aún no ha sido resuelto. Los matemáticos chinos han realizado una serie de trabajos destacados en esta área.
9 La prueba de la ley de reciprocidad más general en cualquier campo numérico ha sido resuelta por Takagi Sadaharu (1921) y E. Artin (1927).
10 Ecuación de Diofantius Discriminante. Análisis de solubilidad En 1970, matemáticos soviéticos y estadounidenses demostraron que el algoritmo general esperado por Hilbert no existe.
11 Forma cuadrática cuyos coeficientes son números algebraicos arbitrarios Teoría de la forma cuadrática H. Hasse (1929) y C. L. Siegel (1936, 1951) obtuvieron importantes resultados sobre esta cuestión.
12 El teorema de Kroneker sobre los campos de Abel se extiende a cualquier campo racional algebraico. La teoría de la multiplicación compleja aún no está resuelta.
13 Es imposible resolver una ecuación general de séptimo grado con una función de sólo dos variables. Teoría de ecuaciones y teoría de funciones reales La situación de las funciones continuas fue resuelta negativamente por los matemáticos soviéticos en 1957. Si se requiere una función analítica, el problema queda sin resolver.
14 Demostrar la finitud de un determinado tipo de sistema funcional completo Teoría algebraica invariante En 1958, Masaki Nagata dio una solución negativa.
15 Los fundamentos estrictos de la geometría algebraica del cálculo de Schubert Gracias a los esfuerzos de muchos matemáticos, es posible tratar la base del cálculo de Schubert de forma puramente algebraica, pero la racionalidad del cálculo de Schubert aún debe resolverse. En cuanto a los fundamentos de la geometría algebraica, han sido establecidos por B.L. Vander Waerden (1938-40) y A. Weil (1950).
16 Topología de curvas y superficies algebraicas Topología de curvas y superficies, teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias En la primera mitad del problema, se han producido continuamente resultados importantes en los últimos años.
17 La teoría de campos (campo real) de expresiones cuadradas en forma definida positiva fue resuelta por Artin en 1926.
18 El espacio construido por poliedros congruentes se resuelve parcialmente mediante la teoría de grupos cristalinos.
19 ¿La solución del problema de variación canónica debe ser analítica? La teoría de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas Este problema ha sido resuelto en cierto sentido.
20 Problemas generales de valores en la frontera Teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas La investigación sobre problemas de valores en la frontera de ecuaciones diferenciales parciales está en auge.
21 La existencia de ecuaciones diferenciales parciales lineales con un solo grupo de valores dado La teoría a gran escala de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales ha sido resuelta por el propio Hilbert (1905) y H.Rohrl (Alemania, 1957). .
22 Unificación de relaciones analíticas Superficie sólida de Riemann El caso de una variable ha sido resuelto por P.Koebe (Alemania, 1907).
23 Mayor desarrollo del cálculo de variaciones El propio Hilbert y muchos matemáticos hicieron importantes contribuciones al desarrollo del cálculo de variaciones.
El Congreso de Matemáticos Hace Cien Años y el Problema de Hilbert
Xiong Weimin
Próximamente se celebrará en Beijing el primer Congreso Internacional de Matemáticos del siglo XXI ¿Qué aportará al desarrollo de las matemáticas en este siglo? ¿Puede influir en la dirección del desarrollo de las matemáticas como el primer Congreso Internacional de Matemáticos del siglo XX? La razón por la que la conferencia de matemáticos de hace un siglo será recordada para siempre en la historia se debe exclusivamente a una persona y uno de sus informes: David Hilbert y sus "Problemas matemáticos".
En 1900, Hilbert propuso sus famosos 23 problemas matemáticos en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París. Durante el siguiente medio siglo, muchas de las principales mentes matemáticas del mundo giraron en torno a ellos. La situación es tal como dijo otro matemático muy famoso, H. Weyl: "Hilbert tocó su flauta mágica y un enjambre de ratas lo siguió y saltó al río. No es de extrañar, los problemas que planteó son tan claros". y fáciles de entender, y algunos de ellos son tan interesantes que muchos profanos están ansiosos por probarlos. Si resuelve alguno de ellos o logra un gran avance en cualquier problema, inmediatamente se hará famoso en todo el mundo: nuestro país. Chen Jingrun ha atraído la atención del mundo debido a su importante contribución a la resolución del octavo problema de Hilbert (es decir, el problema de los números primos, incluida la conjetura de Riemann, la conjetura de Goldbach, etc.). Cuando la gente resume el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX, especialmente el desarrollo de las matemáticas en la primera mitad del siglo XX, normalmente utiliza las preguntas planteadas por Hilbert como marcas de navegación.
De hecho, la mayoría de estos problemas ya existen, y Hilbert no fue el primero en plantearlos. Pero se situó en un nivel superior, volvió a plantear estos problemas de una manera más clara y sencilla y señaló la dirección a seguir para resolver muchos de ellos.
Hay muchos problemas en el campo de las matemáticas. ¿Cuáles son más importantes y básicos? Tomar esa decisión requiere una visión profunda. ¿Por qué Hilbert tiene los ojos tan penetrantes? Sr. Yuan Xiangdong (cotraducido con el Sr. Li Wenlin), historiador de las matemáticas, investigador del Instituto de Matemáticas y Ciencias de Sistemas de la Academia de Ciencias de China y traductor del libro "Hilbert - Alexander in the Kingdom de Matemáticas", cree que esto se debe a que Hilbert es Alejandro en el Reino de las Matemáticas. Los matemáticos se pueden dividir en dos categorías, uno es bueno para resolver problemas difíciles en matemáticas y el otro es bueno para hacer resúmenes teóricos de situaciones existentes. Ambas categorías se pueden subdividir en primera, segunda y tercera categoría. Hilbert era bueno en ambos. Viajó a casi todas las fronteras de las matemáticas modernas. Dejó su ilustre nombre en muchas ramas muy diferentes de las matemáticas. Conocía bien los antecedentes del desarrollo de las matemáticas y estaba familiarizado con los temas mencionados. Ha realizado investigaciones en profundidad sobre muchos problemas y es el "rey" en el campo de las matemáticas.
¿Por qué Hilbert resumió los problemas básicos de las matemáticas en la conferencia en lugar de anunciar uno de sus resultados como la gente corriente? Yuan Xiangdong dijo a los periodistas que esto está relacionado con otro gigante de las matemáticas, Henri Poincaré, quien presentó un informe sobre matemáticas aplicadas en el Primer Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en 1897. Los dos eran Géminis en la comunidad matemática internacional en ese momento. Por supuesto, también había un cierto grado de competencia, ya que Poincaré hablaba de sus puntos de vista generales sobre la relación entre la física y las matemáticas. hacer alguna defensa de las matemáticas puras.
Poincaré es francés y Hilbert es alemán. Francia y Alemania tienen una disputa, por lo que la competencia entre ellos también tiene el sabor de una competencia entre países. Si bien no es obvio que los dos se tengan un profundo respeto mutuo, sus estudiantes y maestros a menudo lo ven así.
El maestro de Hilbert, Felix Klein, era una persona con un fuerte sentido nacional. Enfatizó el desarrollo de las matemáticas alemanas y quería convertir la comunidad matemática internacional en una elipse, lo que antes era un círculo. el círculo es París; ahora quiere que su ciudad de Göttingen se convierta en el centro de las matemáticas mundiales, convirtiendo el mundo matemático en una elipse con dos centros.
Con la ayuda de Hilbert y su amigo cercano Hermann Minkowski, Klein logró su objetivo: en 1900, Hilbert ya había competido con los más grandes de Francia. Tan famosos como el matemático Poincaré, el propio Klein y Minkowski, que estaba a punto de vinieron a Gotinga, también fueron matemáticos muy influyentes. De hecho, en Alemania se les conoce como los "Tres Profesores Invencibles".
Puedes imaginar su encanto con un ejemplo.
Un día, mientras hablaba del famoso teorema de la topología, el teorema de los cuatro colores, Minkowski de repente tuvo una idea y dijo a la clase llena de estudiantes: "Este teorema aún no ha sido demostrado, porque así Hasta ahora, sólo algunos matemáticos de tercera categoría lo han estudiado. Ahora me toca a mí demostrarlo." Luego tomó la tiza y demostró el teorema en el acto. Después de que terminó esta clase, aún no había completado su certificación. Continuó testificando en la siguiente clase, y así continuó durante varias semanas. Finalmente, una mañana lluviosa, apenas subió al escenario, un rayo apareció en el cielo. "Dios también está enojado por mi arrogancia", dijo, "mi demostración también está incompleta". (El teorema no fue demostrado por computadora hasta 1994).
En 1912, Poinga Rai falleció. El centro de las matemáticas del mundo se ha desplazado aún más hacia Göttingen, y el mundo matemático parece haber vuelto a ser un círculo, pero el centro del círculo ha sido reemplazado por Göttingen. En ese momento, la reputación de la Escuela de Göttingen estaba en su apogeo, y un eslogan popular entre los jóvenes matemáticos era "¡Empaca tu equipo y vete a Göttingen!". Ha pasado un siglo, y Hilbert aproximadamente la mitad. de los 23 problemas enumerados se han resuelto y la mayor parte de la otra mitad ha logrado avances significativos. Pero el propio Hilbert no resolvió ninguno de ellos. Alguien le preguntó por qué no resolvía los problemas que planteaba, como el último teorema de Fermat.
Fermat escribió el teorema en el margen de una página. También afirmó que se le había ocurrido una demostración maravillosa, pero desafortunadamente el margen no era lo suficientemente grande para escribirla. La respuesta de Hilbert fue igualmente divertida: "No quiero matar a esta gallina que sólo puede poner huevos de oro". - Un empresario alemán creó una fundación para recompensar a la primera persona que resolvió la ley de Fermat, Hilbert. El entonces presidente de la fundación utilizó la interés del fondo para invitar a académicos destacados a dar conferencias en Gotinga cada año. Por lo tanto, para él la Ley de Fermat era una gallina que sólo podía poner huevos de oro. (La Gran Ley de Fermat no se resolvió hasta 1997.)
Antes de enumerar los 23 problemas, Hilbert ya era un líder reconocido en la comunidad matemática internacional y había logrado muchos logros en muchos campos de las matemáticas. Sus otras contribuciones, como sus ideas axiomáticas, su concepción formalista, su "Fundamento de Geometría", etc., tuvieron un profundo impacto en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX.
1 Siete grandes problemas matemáticos del siglo XXI
Siete grandes problemas matemáticos del siglo XXI
Recientemente, en el año 2000, el Instituto Clay de Matemáticas de Massachusetts , EE.UU. El 24 de mayo se anunció en el Collège de France de París un gran acontecimiento muy publicitado por los medios: una recompensa de un millón de dólares estadounidenses por cada uno de los siete "problemas matemáticos milenarios". A continuación se muestra una breve introducción a estos siete acertijos.
Uno de los "Problemas de los Mil Xi": problema P (algoritmo polinómico) versus problema NP (algoritmo no polinómico)
Un sábado por la noche, asististe a una gran fiesta. Sintiéndose incómodo, te preguntas si hay alguien en este salón que ya conoces. Tu anfitrión te propone que debes conocer a Rose, la señora que está en la esquina cerca del plato de postre. No te lleva ni un segundo echar un vistazo y comprobar que tu maestro tiene razón. Sin embargo, si no hay tal pista, debes mirar alrededor del pasillo y examinar a todos uno por uno para ver si hay alguien que reconozcas. Generar una solución a un problema suele llevar mucho más tiempo que verificar una solución determinada. Este es un ejemplo de este fenómeno general. De manera similar, si alguien te dice que el número 13,717,421 se puede escribir como el producto de dos números más pequeños, es posible que no sepas si creerle o no, pero si te dice que se puede factorizar en 3607 sobre 3803, entonces puedes Verifique fácilmente que esto sea correcto usando una calculadora de bolsillo. Independientemente de lo hábilmente que escribamos programas, determinar si una respuesta puede verificarse rápidamente utilizando el conocimiento interno, o si no existe tal pista y llevará mucho tiempo resolverla, se considera uno de los problemas más destacados en lógica e informática. ciencia. Así lo afirmó Stephen Cook en 1971.
"Problema de los Mil Xi" Parte 2: Conjetura de Hodge
Los matemáticos del siglo XX descubrieron métodos poderosos para estudiar las formas de objetos complejos. La idea básica es preguntar hasta qué punto podemos formar la forma de un objeto dado pegando bloques de construcción geométricos simples de dimensiones crecientes.
Esta técnica se volvió tan útil que podía generalizarse de muchas maneras diferentes; eventualmente condujo a algunas herramientas poderosas que dieron a los matemáticos un gran éxito en la clasificación de la amplia variedad de objetos que encontraron en su progreso. Desafortunadamente, en esta generalización, el punto de partida geométrico del programa se vuelve borroso. En cierto sentido hay que añadir ciertos componentes que no tienen ninguna interpretación geométrica. La conjetura de Hodge afirma que para un tipo de espacio particularmente perfecto llamado variedades algebraicas proyectivas, los componentes llamados cierres de Hodge son en realidad combinaciones (lineales racionales) de componentes geométricos llamados cierres algebraicos.
Parte 3 del "Problema de los Mil Xi": la conjetura de Poincaré
Si estiramos una goma elástica alrededor de la superficie de una manzana, entonces podremos hacerlo sin romperla. Dejándolo salir de la superficie, déjelo moverse lentamente y encogerse hasta un punto. Por otro lado, si imaginamos la misma banda de goma estirándose y contrayéndose sobre la banda de rodadura de un neumático en la dirección apropiada, no hay manera de encogerla hasta cierto punto sin romper la banda de goma o la banda de rodadura del neumático. Decimos que la superficie de una manzana está "simplemente conectada", pero la superficie de un neumático no. Hace unos cien años, Poincaré ya sabía que la esfera bidimensional podía caracterizarse esencialmente por una conectividad simple, y propuso el problema de correspondencia de la esfera tridimensional (el conjunto de puntos a una distancia unitaria del origen en un espacio de cuatro dimensiones). ). El problema se volvió inmediatamente increíblemente difícil y los matemáticos han luchado con él desde entonces.
"Dilema de los mil Xi" nº 4: Hipótesis de Riemann
Algunos números tienen propiedades especiales que no pueden expresarse como el producto de dos números más pequeños, por ejemplo, 2, 3, 5,7,etc Estos números se denominan números primos; desempeñan un papel importante tanto en las matemáticas puras como en sus aplicaciones. Entre todos los números naturales, esta distribución de números primos no sigue ningún patrón regular; sin embargo, el matemático alemán Riemann (1826-1866) observó que la frecuencia de los números primos está estrechamente relacionada con la llamada función Zeitah de Riemann, cuidadosamente construida. comportamiento de z(s$. La famosa hipótesis de Riemann afirma que todas las soluciones significativas de la ecuación z(s)=0 están en línea recta. Esto se ha verificado para las primeras 1.500.000.000 soluciones. Demuestre que es cierto para todas las El establecimiento de una solución significativa arrojará luz sobre muchos misterios que rodean la distribución de números primos
"Problema de los Mil Xi" Parte 5: Existencia de Yang-Mills y brecha de masa
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Las leyes de la física cuántica se aplican al mundo de las partículas elementales de la misma manera que las leyes de la mecánica clásica de Newton se aplican al mundo macroscópico Hace aproximadamente medio siglo, Yang Zhenning y Mills descubrieron que la física cuántica revelaba la relación entre las partículas elementales. Física y geometría Se han confirmado relaciones notables entre las matemáticas de los objetos en experimentos de alta energía realizados en laboratorios de todo el mundo: Brockhaven, Stanford, Europa Institute for Particle Physics y Tsukuba. , sus ecuaciones matemáticamente rigurosas que describen partículas pesadas no tienen ninguna solución conocida, y son confirmadas por la mayoría de los físicos en sus trabajos sobre los "quarks". La hipótesis de la "brecha de masa" utilizada en la explicación de la invisibilidad nunca ha sido matemáticamente satisfactoria. en este problema se requiere la introducción de ideas fundamentalmente nuevas, tanto física como matemáticamente
"Problema de los Mil Xi" nº 6: La existencia y suavidad de la ecuación de Navier-Stokes
Las olas ondulantes nos siguen. Los barcos serpentean por el lago y el aire turbulento sigue el vuelo de nuestros aviones modernos. Los matemáticos y físicos están convencidos de que tanto la brisa como las turbulencias se pueden resolver mediante la comprensión de la ecuación de Navier-Stokes. en el siglo XIX, nuestra comprensión de ellos es todavía muy escasa: el misterio en la ecuación de Stokes
"Problema de los mil Xi" nº 7: conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Los matemáticos siempre han estado fascinados por el problema de caracterizar todas las soluciones enteras de ecuaciones algebraicas como x^2+y^2=z^2. Euclides una vez dio una solución completa a esta ecuación, pero para ecuaciones más complejas, esta. De hecho, como señaló Yu.V Matiyasevich, el décimo problema de Hilbert no tiene solución, es decir, no existe un método general para determinar tal método. Variedad abeliana, las conjeturas de Behe y Sweineton-Dyer sostienen que el tamaño del grupo de puntos racionales está relacionado con una función de Zeita z(s) en el punto s= Comportamiento cercano a 1. En particular, esta interesante conjetura sostiene que si z(1) es igual a 0, entonces hay infinitos puntos racionales (soluciones) y, a la inversa, si z(1) no es igual a 0, entonces solo hay un número finito. de tales puntos.