Puntos de conocimiento sobre la imagen y las propiedades de funciones proporcionales inversas

La imagen de la función proporcional inversa pertenece a dos curvas centralmente simétricas con el origen como centro de simetría. Cada curva en cada cuadrante de la imagen de la función proporcional inversa estará infinitamente cerca del eje X y. Eje Y pero no será consistente con los ejes de coordenadas Intersección (y≠0). Información ampliada

Fórmula de la función proporcional inversa

La hipérbola de la función proporcional inversa requiere que solo se determine un punto, k positivo cae en el primer y tercer límite, x aumenta y En la resta, en cualquier punto de la imagen, el área del rectángulo permanece sin cambios, el eje de simetría es la bisectriz del ángulo y el orden de xey se puede intercambiar.

Gráfica de la función proporcional inversa

Cuando k>0, las dos curvas se ubican en el primer y tercer cuadrante respectivamente; cuando k<0, las dos curvas se ubican en el; segundo y tercer cuadrantes respectivamente. Dentro de los cuatro cuadrantes, las dos ramas están infinitamente cerca de los ejes xey, pero nunca se cruzarán con los ejes xey.

Método de dibujo de imágenes

x...-3 -2 -1 1 2 3 4 ...

y...-4 -6 -12 12 6 4 3 ...

2) Marcar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas del plano (generalmente marca 5 puntos, llamado método de dibujo de 5 puntos).

3) Conecta los puntos con curvas suaves.

Cuando K>0, en cada cuadrante de la imagen, Y disminuye a medida que X aumenta.

Cuando K<0, en cada cuadrante de la imagen, Y aumenta con el aumento de X.

Cuando los dos números son iguales, la curva tiene forma de menisco.

　El significado y aplicación de k

A través de la función proporcional inversa y=k/x (k≠0) en cualquier punto P (x, y) de la imagen, dibuje el eje vertical de los dos ejes de coordenadas La línea, dos catetos verticales, el origen y el punto P forman un rectángulo, y el área del rectángulo es |k|. A través de un punto en la gráfica de la función proporcional inversa, traza una línea perpendicular a cualquier eje de coordenadas y conéctala al origen. El área del triángulo encerrado es |k|/2.

Para estudiar problemas de funciones, debemos fijarnos en las características esenciales de las funciones. En la función proporcional inversa, el coeficiente proporcional k tiene un significado geométrico muy importante, es decir: a través de cualquier punto P en la gráfica de la función proporcional inversa, dibuje las líneas verticales PM y PN a lo largo de los ejes x e y. los pies verticales son M y N, entonces el área del rectángulo PMON es |k|.

Por lo tanto, si trazamos perpendiculares al eje x y al eje y en cualquier punto de la hipérbola, el área del rectángulo encerrado por ellas y el eje x y el eje y es constante . Esta constante es el valor absoluto de k. Al resolver problemas relacionados con funciones proporcionales inversas, si el significado geométrico de k en la función proporcional inversa se puede utilizar de manera flexible, será muy conveniente para la resolución de problemas.

Propiedades de las funciones proporcionales inversas

Monotonicidad

Cuando k>0, las imágenes se ubican en el primer y tercer cuadrante respectivamente. En cada cuadrante, desde la izquierda. a la derecha, y disminuye a medida que x aumenta;

Cuando k<0, las imágenes se ubican en el segundo y cuarto cuadrante respectivamente. En cada cuadrante, de izquierda a derecha, y aumenta con x. y ampliada.

Cuando k>0, la función es una función decreciente en x<0 y una función decreciente en x>0 cuando k<0, la función es creciente en x<0 y en x>; Por encima de 0 es una función creciente.

Intersección

Debido a que en y=k/x(k≠0), x no puede ser 0 e y no puede ser 0, entonces la gráfica de la función proporcional inversa no puede ser la misma como El eje x se cruza y es imposible cruzar el eje y. Solo puede estar infinitamente cerca del eje x y del eje y.

Área

Toma dos puntos cualesquiera en una imagen de función proporcional inversa, dibuja líneas paralelas que pasen por los puntos del eje x y el eje y, y el área del El rectángulo encerrado por los ejes de coordenadas es |k| ,

Dibuja líneas verticales desde un punto en la función inversamente proporcional a los ejes xey respectivamente, y intersecta con los ejes yeyx respectivamente. de QOWM es |k|, y la línea diagonal que conecta el rectángulo está conectada OM, entonces el área de RT△OMQ =?|k|.

Expresión de la imagen

La asíntota de la imagen de la función proporcional inversa que no intersecta el eje x y el eje y es: eje x y eje y.

Las gráficas de funciones proporcionales inversas con valores k iguales se superponen, mientras que las gráficas de funciones proporcionales inversas con valores k desiguales nunca se cruzan.

Cuanto mayor es |k|, más alejada está la gráfica de la función proporcional inversa del eje de coordenadas.

Simetría

La gráfica de la función inversamente proporcional es una gráfica centralmente simétrica, y el centro de simetría es el origen la gráfica de la función inversamente proporcional también es una gráfica axialmente simétrica; , y su eje de simetría es y=x o y= -x; Los puntos en la gráfica de la función proporcional inversa son simétricos con respecto al origen de las coordenadas.

La imagen es simétrica respecto al origen. Si la función proporcional directa y=mx y la función proporcional inversa se cruzan en dos puntos A y B (m y n tienen el mismo signo), entonces los dos puntos A y B son simétricos con respecto al origen.

La función proporcional inversa es simétrica con respecto al eje y=±x de la función proporcional directa, y es simétrica con respecto al centro del origen.