La hipérbola y su ecuación estándar

(1) Elipse y su ecuación estándar

1. Definición de elipse: En la definición de elipse, es la suma de las distancias entre el punto móvil en el plano y los dos fijos. los puntos F1 y F2 son mayores que |F1F2 |Esta condición no se puede ignorar. Si la suma de las distancias es menor que F1F2|, entonces dicho punto no existe si la suma de las distancias es igual a

| F1F2|, entonces la trayectoria del punto en movimiento es el segmento de recta F1F2

2 Ecuación estándar de la elipse: x?0?5/a?0?5+y?0?5. /b?0?5=1 (a>b>0), y?0?5/ a?0?5+x?0?5/b?0?5=1 (a>b>0).

3. Cómo identificar la ecuación estándar de la elipse: Para determinar en qué eje está el foco, basta con mirar El tamaño del denominador: Si el denominador del término x?0?5 es mayor que el denominador del término y?0?5, entonces el foco de la elipse está en el eje x; de lo contrario, el foco está en el eje y.

4. elipse: ⑴ Determine correctamente la posición del foco; ⑵ Después de configurar la ecuación estándar, use el método del coeficiente indeterminado para resolverla.

(2) Propiedades geométricas simples de la elipse

1 Propiedades geométricas de la elipse: Sea la ecuación de la elipse x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1 (a>b>0).

⑴ Rango: -a≤x≤a, -b≤x≤b, por lo que la elipse se ubica en el rectángulo encerrado por las rectas x=±a y y=±b ⑵ Simetría: sobre x-. eje y el eje y respectivamente Simétrico, simétrico con respecto al centro del origen El centro de simetría de la elipse se llama centro de la elipse.

⑶ Vértices: hay cuatro A1 (-a, 0), A2 (a, 0) y B1 (0, -b) , B2 (0, b).

Los segmentos de línea A1A2 y B1B2 se denominan eje mayor y eje menor de la elipse respectivamente. Sus longitudes son iguales a 2a y 2b respectivamente, y a y b se denominan longitud de los semiejes mayores de la elipse respectivamente. Por lo tanto, la elipse tiene cuatro puntos de intersección con su. eje de simetría, que se llaman vértices de la elipse.

⑷ Excentricidad: la relación entre la longitud focal de la elipse y la longitud del eje mayor e=c/a se llama elipse. La excentricidad de . Su valor representa la planitud de la elipse. 0 < e < 1. Cuanto más cerca esté e de 1, más plana será la elipse; por el contrario, cuanto más cerca esté e de 0, más cerca estará la elipse de un círculo. p>

2. La segunda definición de elipse

⑴ Definición: La relación entre la distancia entre un punto en movimiento M en el plano y un vértice y su distancia desde una línea recta fija es una constante e =c/a (e< 1, la trayectoria de este punto en movimiento es una elipse.

⑵ Directriz: Según la simetría de la elipse, x?0?5/a?0?5+y ?0?5/b?0? Hay dos directivas de 5=1 (a>b>0), y sus ecuaciones son x=±(a?0?5/c). /a?0?5+x? Para la ecuación de alineación de 0?5/b?0?5=1 (a>b>0), simplemente reemplace x con y, es decir, y=

± (a?0?5 /c).

3. Radio focal de la elipse: el segmento de línea que conecta cualquier punto de la elipse y su foco se llama radio focal de este punto.

Supongamos que F1 (-c, 0 ), F2 (c, 0) son respectivamente los focos izquierdo y derecho de la elipse x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0 ?5=1 (a>b>0), M (x, y) es cualquier punto de la elipse, entonces las dos longitudes de radio focal son |MF1|=a+ex, |MF2|=a+ex.

Cuando el radio focal está involucrado en la elipse, use el radio focal. A menudo es más fácil resolver problemas con conocimiento del radio.

Entre los cuatro elementos principales a, b, cy e de la elipse, a?0?5=b?0?5+c?0?5, e= Hay dos relaciones c/a, por lo que solo se necesitan dos condiciones independientes para determinar la ecuación estándar de la elipse.

4. Ecuación paramétrica de elipse

Elipse x?0?5/a?0 La ecuación paramétrica de ?5+y?0?5/b?0?5=1 (a>b) >0) es x=acosθ, y=bsinθ (θ es un parámetro).

Explicación: ⑴ El parámetro θ aquí se llama ángulo centrífugo de la elipse. El ángulo centrífugo θ del punto P en la. la elipse es diferente del ángulo de inclinación α de la recta OP: tanα=(b/a)tanθ;

⑵ La ecuación paramétrica de la elipse se puede expresar mediante la ecuación x?0?5/a. ?0?5+y?0?5/b?0?5=1 comparado con la identidad trigonométrica sin?0?5θ+cos?0?5θ=1

Se obtiene por comparación, por lo que la esencia de la ecuación paramétrica de la elipse es la sustitución trigonométrica.

5. El interior y el exterior de la elipse

(1) Punto P (x0, y0. ) está en la elipse x ?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1 (a>b>0), obtenemos x0?0?5/a?0? 5+y0? 0?5/b?0?5<1.

(2) El punto P (x0, y0) está en la elipse x?0?5/a?0?5+y ?0?5/b ?0?5=1 (a>b>0), obtenemos x0?0?5/a?0?5+y0?0?5/b?0?5>1.

6. Ecuación tangente de elipse

(1) Elipse x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1 (a> b>0) La ecuación tangente en el punto anterior P (x0, y0) es (x0?6?1x)/a?0?5+ (y0?6?1y)/b?0?5=1.

(2) Dos rectas tangentes dibujadas por el punto P (x0, y0) fuera de la elipse x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1 (a >b>0) La ecuación de la cuerda del punto tangente es (x0?6?1x)/a?0?5+(y0?6?1y)/b?0?5=1.

(3 ) Elipse x?0 La condición para que ?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1 (a>b>0) sea tangente a la línea recta Ax+By+C= 0 es A?0?5a?0 ?5+B?0?5b?0?5=c?0?5

(3) Hipérbola y su ecuación estándar

1 Definición de hipérbola: en el plano La trayectoria de un punto en movimiento M cuyo valor absoluto de la diferencia entre la distancia desde dos puntos fijos es igual a una constante 2a (menor que |F1F2|) se llama hipérbola. Se debe prestar atención a la condición 2a<|F1F2|. Esta condición se puede utilizar "La diferencia entre los dos lados de un triángulo es menor que el tercer lado" Si 2a=|F1F2|, entonces la trayectoria del. el punto en movimiento son dos rayos; si 2a>|F1F2|, no hay trayectoria. Si |MF1|＜|MF2|, la trayectoria del punto en movimiento M es solo una rama de la hipérbola, y si |MF1|＞|MF2. |, la trayectoria es la otra rama de la hipérbola

. La hipérbola se compone de dos ramas, por lo que debería ser el "valor absoluto de la diferencia" en la definición.

2. La ecuación estándar de la hipérbola: x?0?5/a?0?5 -y?0?5/b?0?5=1 y y?0?5/a?0?5+x?0 ?5/b?0?5=1 (a>0, b>0). Aquí b?0?5=c?0?5-a?0?5, donde |F1F2|=2c. similitudes y diferencias entre a, b, c y la relación entre ellos y la elipse.

3. El método estándar de identificación de ecuaciones para la hipérbola es: si el coeficiente del término x?0?5 es positivo número, el foco está en el eje x; si el coeficiente del término es un número positivo, el foco está en el eje y Para una curva, a no es necesariamente mayor que b, por lo que no se puede juzgar cuál. eje de coordenadas en el que se centra la atención comparando el denominador más grande

pequeño como una elipse.

4. Encuentra la hipérbola Para ecuaciones estándar, se debe prestar atención a dos cuestiones: ⑴ juzgar correctamente. la posición del foco; ⑵ Después de configurar la ecuación estándar, use el método del coeficiente indeterminado para resolverla.

(4) Propiedades geométricas simples de la hipérbola

1. la longitud real del eje de x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1 es 2a, la longitud del eje imaginario es 2b y la excentricidad e=c /a>1, cuanto mayor es la excentricidad e, mayor es la apertura de la hipérbola.

2 Hipérbola: x?0?5/a?0?5-y?0?5/b? ?5=1 es y=±(b/a) o se expresa como: x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=0. ecuación de la hipérbola es y=±(m/n)x, es decir, mx±ny=0, entonces la ecuación de la hipérbola tiene la siguiente forma: m?0?5x?0?5-

n?0?5y?0?5=k, donde k es una constante distinta de cero.

3. La segunda definición de hipérbola: en el plano a un punto fijo (foco) y a La trayectoria de un punto cuya relación de distancias entre rectas fijas (directriz) es una constante (excentricidad) mayor que 1 se llama hipérbola: x?0?5/a?0?5-y?0?5. /b ?0?5=1, su coordenada de enfoque es (-c, 0)

>

y (c, 0), sus ecuaciones directrices correspondientes son x=-a?0?5/c y x=a?0?5/c respectivamente Hipérbola: x?0?5/ La fórmula del radio focal. de a?0?5-y?0?5/b?0?5=1(a>0, b>0)|PF1|=|e(x+a?0?5/c)| |=|e（-x+a?0?5/c）|.

4. Partes internas y externas de la hipérbola

(1) Punto P (x0, y0 ) Dentro de la hipérbola x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1 (a>0, b>0), obtenemos x0?0?5/ a?0 ?5-y0?0?5/b?0?5<1.

(2) El punto P (x0, y0) está en la hipérbola x?0?5/a?0? y?0?5/b?0?5=1 (a>0, b>0) afuera, obtenemos x0?0?5/a?0?5-y0?0?5/b?0 ?5＞ 1.

5. La relación entre la ecuación de la hipérbola y la ecuación de la asíntota

(1) Si la ecuación de la hipérbola es x?0?5/a? 0? 5-y?0?5/b?0?5=1 da la ecuación asíntota: x?0?5/a?0?5±y?0?5/b?0?5=0 da y = ±(a/b)x.

(2) Si la ecuación asíntota es y=±(a/b)x, obtenemos x?0?5/a?0?5±y ?0 ?5/b?0?5=0, la hipérbola se puede establecer en x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=λ.

(3) Si la hipérbola tiene una asíntota común con x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1, se puede establecer en x?0?5 /a? 0?5-y?0?5/b?0?5=λ (λ>0, el foco está en el eje x, λ<0, el foco está en el eje y).

6 . Ecuación tangente de hipérbola

(1) Hipérbola x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1(a>0, b). > 0) La ecuación tangente en el punto anterior P (x0, y0) es (x0?6?1x)/a?0?5-(y0?6?1y)/b?0?5=1.

(2) Pasando por la hipérbola x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1 (a>0, b>0) en un punto P ( x0, y0) La ecuación de cuerda del punto tangente de las dos rectas tangentes citadas es (x0?6?1x)/a?0?5+ (y0?6?1y)/b?0?5=1.

(3 ) Condiciones para la tangencia entre la hipérbola x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1 (a>0, b>0) y la recta Ax+By+C=0 es A?0?5a?0?5-B?0?5b?0?5=c?0?5.

(5) Ecuación estándar y propiedades geométricas de la parábola

1． Definición de parábola: La trayectoria de un punto en el plano que equidista de un cierto punto (F) y una línea recta fija (l) se llama parábola. Este punto fijo F se llama foco de la parábola y esta recta fija l se llama directriz de la parábola.

Cabe destacar que el punto F no está en la recta l, de lo contrario la trayectoria es una recta que pasa por el punto F y es perpendicular a l, no una parábola.

2． Hay cuatro tipos de ecuaciones para parábolas:

y?0?5=2px, y?0?5=-2px, x?0?5=2py, x?0?5=-2py.

Para las cuatro ecuaciones anteriores: debes prestar atención para comprender sus reglas: qué eje es el eje de simetría de la curva, el término en la ecuación es un término lineal si hay un signo positivo delante; del término lineal, la dirección de apertura de la curva es hacia el eje x O la dirección positiva del eje y si el término lineal está precedido por un signo negativo, la dirección de apertura de la curva es en la dirección negativa de; el eje x o el eje y.

3. Las propiedades geométricas de una parábola, tomando como ejemplo la ecuación estándar y2=2px

(1) Rango: x≥0;

(2) Eje de simetría: El eje de la simetría es y=0, dada por Se pueden ver tanto las ecuaciones como las imágenes;

(3) Vértice: O (0, 0), Nota: La parábola también se llama cónica sin centros (porque no tiene centro) ;

(4 ) Excentricidad: e=1. Dado que e es una constante, el cambio de forma de la parábola está determinado por p en la ecuación;

(5) Ecuación de directriz x. =-p/2;

(6) Fórmula del radio focal: Un punto P (x1, y1) en la parábola, F es el foco de la parábola. Las fórmulas del radio focal para los cuatro tipos de parábola. son (p>0):

y?0?5=2px, |PF|=x1+p/2; y?0?5=-2px, |PF|=-x1+p/ 2

x?0?5= 2py, |PF|=y1+p/2; La longitud de la cuerda de , la fórmula de la longitud de la cuerda se puede derivar utilizando la fórmula del radio focal. Supongamos que la cuerda del foco F que pasa por la parábola y2=2px (p>O) es AB, A (x1, y1), B (x2, y2), y el ángulo de inclinación de AB es α, entonces ①|

AB|=x +x +p②|AB|=2p/(sina)?0?5 Estas dos fórmulas solo son adecuadas para encontrar la longitud de la cuerda que pasa por el foco. Para otras cuerdas, solo el ". "Se puede utilizar la fórmula de longitud de cuerda".

(8) La relación entre una recta y una parábola: Después de combinar las ecuaciones de una recta y una parábola, se obtiene una ecuación cuadrática de una variable: x + bx + c = 0. Cuando a≠0, la determinación de la relación posicional entre los dos Igual que la elipse y la hipérbola, puedes usar el método discriminante pero si a=0, entonces la línea recta es el eje de simetría de la parábola o una línea recta paralela a la; Eje de simetría. En este momento, la recta y las parábolas se cruzan, pero en un solo punto común.

4. El punto de movimiento en la parábola y?0?5=2px se puede establecer en P(y0?0?5/2p,y0) o P(y0?0?5/2p,y0). ) o P(x0,y0), donde y0?0?5=2px0.

5. Función cuadrática y=ax?0?5+bx+c=a(x+b/2a)? 0 La gráfica de ?5+ [ (4ac-b?0?5)/4a ] (a≠0) es una parábola: (1) Las coordenadas del vértice son [-b/2a, (4ac-b?0?5 )/4a ]; (2) Las coordenadas del foco son [-b/2a, (4ac-b?0?5+1)/4a]; (3) La directriz cuadrada es y= (4ac- b?0); ?5+1)/4a.

6. Partes internas y externas de la parábola

(1) El punto P (x0, y0) está en la parábola y?0?5 =2px (p>0), obtenemos y?0?5<2px (p>0).

El punto P (x0, y0) está en la parábola y?0?5=2px (p >0 ), obtenemos y?0?5>2px (p>0).

(2) El punto P (x0, y0) está en la parábola y?0?5=-2px (p >0 ), obtenemos y?0?5＜-2px (p>0).

El punto P (x0, y0) está en la parábola y?0?5=-2px (p>0). ) Externamente, obtenemos y?0?5>-2px (p>0).

(3) El punto P (x0, y0) está en la parábola x?0?5=2py (p> 0) Dentro, obtenemos x?0?5<2py (p>0).

El punto P (x0, y0) está fuera de la parábola x?0?5=2py (p>0), obtenemos x?0?5>2py (p>0).

(4) El punto P (x0, y0) está dentro de la parábola x?0?5=-2py (p>0), obtenemos x?0?5<-2py (p>0).

El punto P (x0, y0) está fuera de la parábola x?0?5=-2py (p>0), y obtener x? 0?5＞-2py (p＞0).

7. Ecuación tangente de la parábola

(1) Un punto en la parábola y?0?5= 2px (p>0) La ecuación tangente en P (x0, y0) es y0?6?1y=p(x+x0).

(2) Pasando por un punto fuera de la parábola y?0 ?5=2px (p>0) La ecuación de cuerda del punto tangente de las dos rectas tangentes dibujadas por P (x0, y0) es y0?6?1y=p(x+x0).

(3) Parábola y?0?5=2px (p ＞0) La condición para ser tangente a la recta Ax+By+C=0 es pB?0?5=2AC.

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