El proceso de aprendizaje de las funciones de la escuela secundaria.
Resumen: Como uno de los contenidos básicos de las matemáticas de la escuela secundaria, las funciones siempre han sido difíciles de aprender para los estudiantes de secundaria. Hay tres factores principales que dificultan el aprendizaje de funciones: la complejidad de la función en sí; el nivel de desarrollo del pensamiento de los estudiantes de secundaria y el problema de conexión entre las funciones de la escuela secundaria y superior; Entre las sugerencias de enseñanza para funciones en los "Estándares Curriculares", se propone presentarlas directamente desde la correspondencia a través de ejemplos específicos (sin tener que hablar primero sobre el mapeo). Este método de restar importancia a la forma brinda la oportunidad de reformar el plan de estudios funcional general. diseño. Sugerencias para el diseño de cursos de funciones: 1. Integrar ideas de funciones en el sistema curricular; 2. Prestar atención a la coherencia y el enfoque del diseño de cursos de funciones 3. Fortalecer la conexión entre las funciones y las disciplinas relacionadas y la vida real; (dispositivos) y el papel de la tecnología educativa moderna.
Desde que el movimiento de reforma de la educación matemática propuso el lema "tomar las funciones como eslabón clave" a principios del siglo XX, las funciones siempre se han establecido como el núcleo de la enseñanza de las matemáticas. Esto no solo se debe a que es una base importante para todo el sistema matemático, sino también a que el método de pensamiento funcional se ha convertido en uno de los principales métodos de pensamiento de las matemáticas modernas y puede desempeñar un papel destacado en el diseño de cursos de matemáticas. Sin embargo, las funciones siempre han sido el contenido más difícil de aprender para los estudiantes de secundaria. Varios estudios y prácticas docentes han demostrado que la dificultad en el aprendizaje de funciones incluso acompaña a muchos estudiantes de secundaria durante todo el proceso de aprendizaje de las matemáticas. Este artículo analiza las dificultades de aprendizaje de funciones de los estudiantes de secundaria y propone sugerencias para el diseño curricular de funciones.
1. Análisis de las dificultades de aprendizaje de funciones
En la reforma curricular de educación básica de mi país para el siglo XXI, el diseño de los cursos de matemáticas destaca la línea principal de "función" y adopta la espiral Sin embargo, las funciones siguen siendo el contenido más difícil de aprender para los estudiantes de secundaria. Hay tres factores que causan dificultades en el aprendizaje de funciones.
(1) La complejidad de la función en sí
La función es la más compleja en las matemáticas de la escuela secundaria y es el principal factor que causa las dificultades de aprendizaje de los estudiantes. Las funciones contienen dos atributos esenciales (dominio de definición y reglas correspondientes) y muchos atributos no esenciales (como rango de valores, variables independientes, variables dependientes, conjuntos, etc.), el texto en la definición de "Teoría de variables" de la escuela secundaria; funciones "y es x" "Función, registrada como y = f (x)" es una expresión de implicación y las funciones simbólicamente abstractas involucran "variables", y la esencia de las "variables" es la aplicación de la dialéctica en matemáticas; una variedad de representaciones, como el método de análisis, el método de lista, el método de imagen, el método de flecha, tienen conexiones intrincadas con otros contenidos; Estas complejidades de funciones determinan la inevitabilidad de las dificultades de aprendizaje de funciones. Las dificultades de aprendizaje se manifiestan principalmente en los siguientes aspectos.
1. Dificultades para comprender las variables funcionales
Las variables son los materiales de construcción de todas las cosas abstractas en matemáticas, pero no es fácil para los estudiantes comprender la connotación de las variables. Una vez, el autor realizó una encuesta entre 300 estudiantes de secundaria que habían estudiado funciones: Señale las variables en la relación funcional entre la circunferencia y el radio de un círculo, l=2π·r. Los resultados de la encuesta son: 83 estudiantes piensan que l, π y r son todas variables (se les pregunta por qué, responden: todas las letras se pueden cambiar); función r, π es pi, por lo que solo r es una variable, 59 estudiantes piensan que solo π es una variable (cuando se les preguntó por qué, la respuesta es: l es la variable independiente, r es la variable dependiente y solo queda π); cambiarse); hay 57 estudiantes que pensaron que l y r eran variables; 4 estudiantes no respondieron. La mayoría de los estudiantes no pueden comprender correctamente las variables. Por un lado, existen razones de enseñanza: en la práctica docente, los profesores a menudo subestiman la dificultad de los estudiantes para comprender las variables. Por otro lado, al observar el contenido de las matemáticas de la escuela secundaria, antes del aprendizaje funcional. son básicamente constantes En el período de matemáticas, es normal que los estudiantes tengan dificultades para comprender las variables.
2. Dificultad en la abstracción de símbolos de funciones.
Aceptar la representación abstracta de símbolos de funciones también es una dificultad. En cierta escuela secundaria, después de que el maestro terminó de explicar la definición de una función, dio la representación habitual y=f(x). Después de clase, muchos estudiantes le preguntaron al maestro: ¿Son f y x multiplicativos? Aunque los estudiantes han aprendido la definición de funciones y algunos incluso pueden recitarlas, no han entendido el verdadero significado de las funciones. Algunos profesores piensan que al enseñar, no se debe decir directamente "Por lo general, expresamos y en función de x como: y = f (x)", pero se puede decir "f representa la correspondencia entre la variable independiente y la variable dependiente. x (luego escriba 'x' en la pizarra), a través de la relación correspondiente f (escriba 'f ()' en la pizarra, la x ahora está entre paréntesis), corresponde a la única y (en la pizarra escriba 'y =') antes de la expresión anterior, escribiendo así la expresión y=f(x). Esta mejora puede evitar que los estudiantes cometan malentendidos.
Una vez, el autor realizó una encuesta y descubrió que más del 90% de los estudiantes de secundaria no podían determinar si la función se refiere a f, f(x) o y=f(x). Muchos estudiantes no han entendido realmente qué es y = f (x) después de graduarse de la escuela secundaria. La razón es que el símbolo f está "oculto" y su contenido específico aún no se puede reflejar en el nivel de pensamiento de los estudiantes de secundaria. Carece de conocimientos suficientes para comprender f. Adquirir experiencia con contenido específico.
3. Dificultades en el uso de gráficos de funciones
Los números y las formas son dos aspectos de las matemáticas. Con el sistema de coordenadas rectangulares, los números y las formas están unificados, por lo que utilizamos métodos gráficos para estudiar funciones. Las diversas propiedades parecen naturales. Pero no así para los estudiantes.
Aunque la mayoría de los estudiantes pueden hacer gráficas simples, a menudo consideran la gráfica de una función como algo distinto de la función y no la consideran una parte integral de la función. Por ejemplo, los estudiantes no están acostumbrados a transformar funciones en f(x)±k, f(±kx),
|f(x)|, f(|x|), f2(x), etc. transformaciones gráficas (como simetría axial, simetría central). No es fácil hacer que los estudiantes de secundaria consideren la imagen de una función como un componente orgánico de la función. De hecho, antes de aprender funciones, los estudiantes básicamente aprenden números y formas por separado. Al aprender, solo necesitan aprender números o formas. Un solo pensamiento bastará. La función requiere que el pensamiento se transforme de manera flexible entre el lenguaje simbólico y el lenguaje gráfico, y la formación de la conciencia de visualización (la combinación de números y formas) de los estudiantes de secundaria requiere un proceso más largo.
(2) El nivel de desarrollo del pensamiento de los estudiantes de secundaria
Las dificultades de aprendizaje de funciones están relacionadas con el nivel de desarrollo del pensamiento de los estudiantes de secundaria [1] La restricción del desarrollo. El nivel de pensamiento matemático de los estudiantes de secundaria es su factor interno.
Se requiere que los estudiantes construyan un proceso en su pensamiento basado en una situación en la que una función puede parecer reflejar el proceso de cambio dinámico de "obtener un valor de función para cada valor específico en el dominio de definición". Al mismo tiempo, también es necesario condensar los tres componentes de una función: reglas correspondientes, dominio de definición y dominio de valor en un objeto a captar, como este tipo de comprensión general, dinámica y concreta del objeto, y al mismo tiempo al mismo tiempo, el proceso dinámico debe transformarse en un objeto estático, para que pueda llevarse a cabo. La transformación mutua de quietud y movimiento, discreción y continuidad sólo puede lograrse alcanzando el nivel del pensamiento dialéctico. La investigación psicológica muestra: [2] El nivel de desarrollo del pensamiento de los estudiantes de secundaria pasa gradualmente del pensamiento de imagen concreta al nivel de pensamiento lógico formal. Con la premisa de continuar mejorando el desarrollo del pensamiento lógico formal, el desarrollo del pensamiento dialéctico entre ellos. Los estudiantes de secundaria se vuelven gradualmente comunes. Sin embargo, el pensamiento dialéctico es la forma más elevada de desarrollo del pensamiento humano, y el pensamiento dialéctico de los estudiantes de secundaria se encuentra básicamente en las primeras etapas de formación y desarrollo. Por un lado, el pensamiento dialéctico de los estudiantes de secundaria es muy inmaduro y su nivel de pensamiento básicamente permanece en la categoría de pensamiento lógico formal y solo pueden comprender las cosas de forma parcial, estática y aislada; Las características de las funciones se están desarrollando y cambiando, lo que está interconectado con muchos conocimientos matemáticos y pertenece al concepto dialéctico. Esta contradicción constituye la raíz de todos los obstáculos cognitivos en el aprendizaje funcional.
(3) Problemas al conectar funciones entre las escuelas secundarias y preparatorias
Mi país ha adoptado históricamente el diseño curricular de "teoría variable" y "teoría de correspondencia" para las funciones en los niveles inferiores. escuelas secundarias y escuelas secundarias, lo que ha provocado dificultades en las funciones de aprendizaje. Factor externo. Este diseño es razonable por un lado, pero por otro puede causar fácilmente dificultades en la conexión cognitiva de los estudiantes.
En primer lugar, es necesario explicar a los estudiantes por qué es necesario recaracterizar la función y resolver la compatibilidad de la "teoría de la variable" y la "teoría de la correspondencia". Por supuesto, no es difícil resolver simplemente este problema, sin embargo, debido a los defectos inherentes de la "teoría variable" [3], se implantará en el pensamiento de los estudiantes con la enseñanza de funciones en las escuelas intermedias, generando ideas preconcebidas. y engañoso, y al mismo tiempo, se mezclará con la complejidad del concepto de función en sí. Estar juntos inevitablemente aumentará la dificultad de la conexión. Durante la investigación, encontramos que en la "teoría de variables", y se expresa como una función de x, lo que a menudo lleva a los estudiantes a cometer un error común: y es una función. Por lo tanto, es difícil aceptar la expresión correspondiente. La relación f es una función en la escuela secundaria. En el proceso de transformar el pensamiento de los estudiantes de "teoría de variables" a "teoría de correspondencias", abandonan la afirmación de que "y cambia según x (x es la variable independiente, y es la variable dependiente)" y descartan lo no esencial. cosa "cambiar", resaltar la idea de "correspondencia" requiere un gran salto. Esto inevitablemente aumentará la incompatibilidad del aprendizaje funcional en la escuela secundaria.
En segundo lugar, la "teoría de las variables" se basa en variables. La llamada "cantidad" se refiere a objetos que se pueden medir, como longitud, distancia, tiempo, etc., es decir, el alcance de la investigación se limita al conjunto de números reales. Esto no sólo afecta la transferencia de funciones a abstracciones de nivel superior, sino que también impide que los estudiantes apliquen ideas funcionales a diversos objetos de investigación.
En tercer lugar, aunque la "teoría de las variables" tiene valor práctico en algunas situaciones, de hecho, en la vida de los estudiantes de secundaria, la "teoría de las variables" no es necesariamente más natural y práctica que la "teoría de las variables". teoría". Porque incluso si los estudiantes pueden comprender fácilmente muchos problemas relacionados con la "correspondencia" en la vida basándose en la experiencia de la vida, no es tan fácil comprender las "variables". Al ingresar a la escuela secundaria, el enfoque de la enseñanza funcional es la búsqueda de la formalidad y se presta menos atención a los problemas prácticos. Esta puede ser la razón por la que la mayoría de los estudiantes de secundaria no pueden aplicarlos para resolver problemas prácticos después de aprender funciones.
2. Sugerencias sobre el diseño curricular para funciones
En la actualidad, la discusión teórica sobre el aprendizaje de las matemáticas en psicología cognitiva está aún en sus inicios y la teoría que puede usarse para explicarla mejor. El aprendizaje funcional aún está en su infancia. No existe un soporte práctico más maduro. Por lo tanto, por un lado, el estudio de las dificultades funcionales del aprendizaje requiere una exploración profunda del mecanismo psicológico del proceso de aprendizaje en la práctica docente y la construcción de estrategias de enseñanza y aprendizaje. Por otro lado, el autor considera que es necesario reformar el currículo. El diseño de funciones no solo puede eliminar los problemas externos de las dificultades de aprendizaje de funciones. Los factores también pueden mejorar la calidad de la enseñanza de las matemáticas y cultivar la conciencia de los estudiantes sobre el "uso de las matemáticas" y su capacidad para explorar e innovar.
(1) Integrar el pensamiento funcional en el sistema curricular
El llamado pensamiento funcional se refiere a la forma de pensar que utiliza una correspondencia especial entre cosas para resolver problemas. Abarca muchas ocasiones de teoría matemática y problemas prácticos, y es una herramienta para expresar, procesar, comunicar y transmitir información de manera efectiva, explorar las leyes de desarrollo de las cosas y predecir la dirección del desarrollo de las cosas.
Las relaciones funcionales se encuentran ampliamente en los cursos de matemáticas de los estudiantes.
Por ejemplo: la relación correspondiente entre números naturales, números racionales, números reales, etc. y puntos en el eje numérico, varias reglas de operación y deformaciones de identidad, ecuaciones, desigualdades, etc., se pueden atribuir a relaciones funcionales; en geometría, simetría, similitud y traslación, transformación de rotación, etc. son relaciones correspondientes de un conjunto de gráficos a otro conjunto de gráficos. La relación entre el tamaño de varias figuras geométricas y su perímetro, área y volumen se puede atribuir a relaciones funcionales; . Los problemas de aplicación de las matemáticas, como "problema de carrera", "problema de flujo", "problema de proporción", "problema de valor", "problema de persecución", etc., se pueden resolver utilizando el pensamiento funcional.
En resumen, tomar el pensamiento funcional como el alma del sistema curricular de la escuela secundaria puede lograr un alto nivel de armonía y unidad. Esto también será más propicio para que los profesores recreen todo el material didáctico desde una posición alta, ayude a los estudiantes a formar una buena estructura cognitiva, cultive la capacidad matemática y la capacidad de resolución de problemas de los estudiantes y mejore la calidad de la enseñanza de las matemáticas.
(2) Preste atención a la coherencia y el enfoque del diseño curricular funcional
El nuevo plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria en mi país todavía divide el diseño curricular funcional en dos etapas. En la educación obligatoria, en la tercera etapa de la escolaridad (secundaria), en los correspondientes "Estándares Curriculares" [4], solo se proponen algunas metas específicas para las funciones de aprendizaje, lo que parece dejar más espacio para la recopilación de la enseñanza. Sin embargo, casi todos los materiales didácticos de la escuela secundaria adoptan la "teoría variable". La segunda etapa está dispuesta en el primer grado de la escuela secundaria. En los "Estándares Curriculares" correspondientes, se establece claramente el requisito de la "Teoría de la Correspondencia": "Utilizar el lenguaje de conjuntos y correspondencias para describir funciones y comprender el papel de la correspondencia. al describir el concepto de funciones", y se señala en las instrucciones y sugerencias de enseñanza: "La enseñanza debe ayudar a los estudiantes a comprender la esencia de las funciones tanto desde los antecedentes reales como desde las definiciones. Generalmente existen dos métodos para introducir el concepto de funciones. Un método es aprender a mapear primero y luego aprender funciones; el otro es aprender a mapear primero y luego aprender funciones. El primer método es experimentar una correspondencia especial entre conjuntos de números a través de ejemplos específicos, es decir, funciones” y recomienda “adoptar el; último método”. Bajo la dirección de las "Normas Curriculares", los libros de texto experimentales para los nuevos cursos de secundaria han adoptado este último enfoque. El autor cree que entre las sugerencias de enseñanza de funciones en los "Estándares del curso", se defiende que no es necesario hablar primero sobre el mapeo, sino que se introduce directamente a través de la correspondencia a través de ejemplos específicos. Esta forma diluida de procesamiento brinda una oportunidad. Reformar el diseño curricular de la función general.
En la comparación e intercambio internacional de la reforma curricular de matemáticas, encontramos que ya no es común que las escuelas secundarias y las escuelas secundarias adopten los diseños curriculares de "teoría variable" y "teoría de correspondencia", respectivamente. Los países generalmente adoptan una forma diluida de método de tratamiento, la penetración temprana de las ideas correspondientes a través de ejemplos específicos. [5] Por ejemplo, en el plan de estudios de matemáticas francés, los estudiantes de cuarto y quinto grado de la escuela primaria deben comprender las relaciones funcionales correspondientes a los valores utilizados en los conjuntos decimales y sus correspondencias inversas; usan gráficos de correspondencias funcionales para describir situaciones. Los grados 7 a 9 usan gráficos, expresiones analíticas y otros métodos para representar funciones y resolver problemas, pero no dan una definición estricta de la función. Después de ingresar a la etapa de escuela secundaria, se implementa la enseñanza basada en materias que involucran ciencias naturales y solo se enfocan en la enseñanza formal de funciones. Como profundización y extensión de la enseñanza de funciones, el cálculo se incluye en los cursos de matemáticas en la escuela secundaria. escenario. Los cursos de matemáticas japoneses también introducen el concepto inicial de correspondencia de funciones desde el cuarto grado de la escuela primaria. El diseño general del curso de funciones es similar al de Francia. En el plan de estudios de matemáticas estadounidense, el tema central de los estándares del plan de estudios de quinto a octavo grado es el estudio de patrones y funciones. La atención se centra en la exploración de funciones. Se requiere que los estudiantes reconozcan, describan y resuman patrones y establezcan modelos matemáticos. Sacar conclusiones y explicar fenómenos del mundo real. En varios libros de texto de álgebra para noveno grado y superiores, primero se define la "relación" y luego la función se define como una relación especial [5].
Inspirándonos en el diseño curricular de funciones en los países desarrollados, al diseñar el plan de estudios de funciones general, debemos restar importancia a la forma, adoptar una estrategia "temprana" y "práctica", y prestar atención a la coherencia de la naturaleza de las funciones y la etapa de aprendizaje.
(3) Fortalecer la conexión entre funciones y materias relacionadas y la vida real
Las relaciones funcionales no solo existen ampliamente en los cursos de matemáticas de los estudiantes, sino que también están relacionadas con otras materias y con la vida real de los estudiantes. vida real. Por ejemplo: movimiento de caída libre en física, temperatura durante el calentamiento, relación entre la velocidad de reproducción celular y el tiempo en biología, contabilidad de los costos de producción en economía, mejora de la eficiencia de la producción, etc. La mayoría de los problemas se pueden resolver. Todo se reduce a relaciones funcionales. Las relaciones funcionales también están estrechamente relacionadas con la vida real de los estudiantes, como la relación entre altura, peso, etc. y la edad, la relación entre facturas de teléfono, facturas de servicios públicos, tarifas de taxi y tiempo invertido, la relación entre intereses bancarios y tiempo de depósito, etc. son todas relaciones funcionales.
Varias cosas en nuestro espacio vital están en un equilibrio dinámico de interrelación y restricción mutua. Esta es una ley universal de existencia objetiva. En el diseño de funciones del curso, debemos intentar explorar conexiones con otras disciplinas y utilizar temas que sean familiares para los estudiantes y que tengan antecedentes realistas, resaltar la función instrumental del pensamiento funcional y aprovechar plenamente el papel del pensamiento funcional en la resolución de problemas prácticos. y alentar y organizar a los estudiantes. Realizar investigaciones e investigaciones, aprender a utilizar el conocimiento de las funciones aprendidas para resolver problemas prácticos y mejorar el interés y la confianza de los estudiantes en las funciones de aprendizaje.
(4) Preste atención al papel de las computadoras (dispositivos) y otras tecnologías educativas modernas
En el diseño de cursos funcionales, preste atención al papel de las computadoras (dispositivos) y otras tecnologías educativas modernas no solo pueden mejorar en gran medida Es intuitivo, mejora el interés de aprendizaje de los estudiantes y la eficiencia de la enseñanza, y favorece la mejora del estado aburrido y cerrado de los temas y métodos de enseñanza funcional durante mucho tiempo.
Estas funciones son enormes y multifacéticas, por ejemplo, generando imágenes de varias funciones elementales en computadoras y calculadoras gráficas, y comparándolas y explicándolas para profundizar la comprensión de las funciones y sus propiedades utilizando tecnología informática para permitir a los estudiantes examinar las propiedades de varias; tipos de funciones, incluidas transformaciones directas e inversas, y las reglas cambiantes de la imagen de la función cuando cambian los parámetros en la fórmula analítica de la función, a través de diferentes métodos estáticos y dinámicos, y diferentes perspectivas macro y micro, especialmente en matemáticas. conexión entre hechos, otros temas y contextos de la vida real, podemos tener una comprensión más profunda y completa de la connotación y esencia de las funciones; también podemos usar computadoras (dispositivos) para llevar a cabo actividades de descubrimiento matemático como experimentos, adivinanzas, y exploración, y darse cuenta de que "la enseñanza de las matemáticas es la enseñanza de actividades matemáticas", realizar la actividad de "recreación" del aprendizaje funcional, permitiendo a los estudiantes experimentar personalmente el proceso de utilizar el conocimiento funcional para construir modelos y explorar leyes, y cultivar. sus capacidades de investigación científica e innovación.