¿Por qué la geometría de Riemann es más general que la geometría euclidiana y la geometría no euclidiana de Lobachevsky?
Haciendo la pregunta sobre 1 y 1
El desarrollo de la geometría no euclidiana se originó a partir de los "Elementos de geometría" de Euclides hace más de 2000 años. atrás. Entre ellos, el Postulado 5 fue propuesto por el propio Euclides. Su contenido es "Si una línea recta corta a dos líneas rectas, y la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas rectas se cruzarán en un punto de ese lado después de extenderse infinitamente". Este postulado es ampliamente discutido porque no es tan conciso como otros axiomas y postulados. El propio Euclides no estaba satisfecho con esta suposición. Lo utilizó después de demostrar todos los teoremas que no requerían el postulado de las paralelas. Sospechaba que tal vez no fuera un postulado independiente y que podría ser reemplazado por otros postulados o axiomas. Durante más de 2.000 años, desde la época de la antigua Grecia hasta el siglo XIX, los matemáticos se han preocupado por este postulado y han intentado incansablemente resolverlo. Los matemáticos siguen dos vías principales de investigación: una es encontrar un enfoque más evidente. Otro enfoque consiste en intentar derivar el postulado de las paralelas a partir de los otros nueve axiomas y postulados. La expresión más simple para el quinto postulado encontrado a lo largo del primer camino fue dada en 1795 por el matemático escocés J. Play Fair 1748-1819: "A través de líneas rectas, sólo hay una línea recta paralela a la línea recta original", que es La El axioma paralelo que utilizamos hoy en los libros de texto de la escuela secundaria fue afirmado por el antiguo matemático griego Proclo en el siglo V. El problema, sin embargo, es que todos estos postulados alternativos no son más aceptables ni "naturales" que el quinto postulado original. El primer gran intento en la historia de probar el quinto postulado fue el del antiguo astrónomo griego Ptolomeo (alrededor del 150 d.C.). Proclo señaló más tarde que la "prueba" de Ptolomeo asumió inadvertidamente que sólo una línea recta puede ser paralela a una línea recta conocida fuera de la línea recta. Este es el postulado de Prefil mencionado anteriormente.
1.2 Solución al problema
1.2.1 El brote de la geometría no euclidiana
El trabajo de demostrar el quinto postulado por el segundo camino se logró en el siglo XVIII Un gran avance. Primero, el italiano Saccharn (1667-1733) propuso utilizar la reductio ad absurdum para probar el quinto postulado. Saikaili comienza con el cuadrilátero ABCD. Si el ángulo A y el ángulo D son ángulos rectos y AC=BD, es fácil demostrar que el ángulo C es igual al ángulo D (2) Hipótesis del ángulo agudo: Tanto el ángulo C como el ángulo D son ángulos agudos. Finalmente, bajo el supuesto de ángulos agudos, Sekari derivó una serie de resultados que lo llevaron a abandonar su conclusión final porque era contraria a su experiencia. Pero objetivamente proporciona una idea muy valiosa para el establecimiento de la geometría no euclidiana. Abrió un nuevo camino diferente al de sus predecesores. Posteriormente, el matemático suizo Lambert (Lambey TR 1728-1777) hizo un trabajo similar al de Sekkeli. También examinó un cuadrilátero en el que tres ángulos eran rectos y el quinto ángulo tenía tres posibilidades: recto, obtuso o agudo. También concluyó que "el área de un triángulo depende de la suma de sus ángulos interiores; el área de un triángulo es directamente proporcional a la diferencia de los ángulos y la suma de los ángulos interiores. Creía que mientras como conjunto de supuestos no se contradicen entre sí, proporciona una posibilidad geométrica. Francia El famoso matemático A.M Legendar 1752-1833 también prestó gran atención al postulado de las paralelas. Obtuvo un teorema importante: "La suma de los ángulos interiores de a. El triángulo no puede ser mayor que dos ángulos rectos." A principios del siglo XIX, el alemán Schweikart. (1780-1859) aclaró esta idea. A través de su estudio de la "geometría estelar", señaló: "Hay dos tipos de Geometría: geometría especial (geometría euclidiana) y geometría estrella. En esta última, el triángulo tiene una característica.
1.2, 2 El nacimiento de la geometría no euclidiana
Algunos de los matemáticos mencionados anteriormente, especialmente Lambert, fueron pioneros de la geometría no euclidiana, pero no propusieron formalmente una nueva geometría y establecer su teoría sistemática. Los famosos matemáticos Gauss (Gauss 1777-1855), Bojo (Bojo 1802-1860) y Lobachevsky (Lobachevsky 1793-1856) hicieron esto. Gauss fue el primero en señalar que el quinto postulado de Euclides es independiente de los demás postulados. Ya en 1792 tuvo la idea de establecer una geometría lógica, en la que no se cumplía el quinto postulado de Euclides. En 1794 Gauss descubrió que en su geometría, el área de un cuadrilátero era proporcional a la diferencia entre la suma de los dos ángulos rectos del cuadrilátero y el ángulo interior, de lo que dedujo que el área de un triángulo no no exceder una constante.
Desarrolló aún más su nueva geometría, que se conoció como geometría no euclidiana, sin importar cuán separados estuvieran los vértices. Creía firmemente que esta geometría era lógicamente no contradictoria, real y aplicable, por lo que también midió 3.
Creía que la suma de los ángulos interiores del triángulo formado por los picos de las montañas sólo podía representarse en un triángulo grande. Sin embargo, sus mediciones fallaron debido a errores en el instrumento. Desafortunadamente, Gauss no escribió ninguna obra sobre geometría no euclidiana durante su vida. La gente se enteró de los resultados de su investigación y sus puntos de vista sobre la geometría no euclidiana a través de su correspondencia póstuma con amigos.
2. . Ilustración a partir de la historia del desarrollo de la geometría no euclidiana
El nacimiento de la geometría no euclidiana es un paso innovador importante en las matemáticas desde la era griega. Aquí describiremos el significado de esta historia a lo largo del proceso de desarrollo histórico de las cosas. Al comentar sobre esta historia, M. Klein dijo: "La historia de la geometría no euclidiana muestra que los matemáticos fueron influenciados en gran medida por el espíritu de su época de una manera sorprendente. En ese momento, Szekeli rechazó el teorema singular de la geometría euclidiana y concluyó que la geometría euclidiana es la única correcta
La matemática en sí 2.1
2.1.1 La independencia relativa del desarrollo matemático
El sistema geométrico no euclidiano establecido a través de La deducción lógica proporciona un modelo para el desarrollo de las matemáticas, lo que permite a las personas ver claramente que las matemáticas pueden tener su propio sistema lógico y pueden desarrollarse de forma independiente. La relativa independencia del desarrollo de las matemáticas se destaca de la siguiente manera: teoría matemática El desarrollo de las matemáticas a menudo es avanzado. y puede llevarse a cabo independientemente del mundo físico, por delante de la práctica social y reflexionando sobre la práctica social. Antes del siglo XIX, las matemáticas siempre estuvieron estrechamente integradas con las matemáticas aplicadas, es decir, las matemáticas no podían separarse de la practicidad. Estudiar matemáticas es resolver problemas prácticos, pero por primera vez, la geometría no euclidiana ha liderado el desarrollo de las matemáticas por delante de la experiencia de las personas y ha creado un nuevo mundo para las matemáticas: los seres humanos pueden utilizar su propio pensamiento. los requisitos lógicos de las matemáticas, por lo que las matemáticas deben considerarse como cualquier estructura que no sea generada directa o indirectamente por la necesidad de estudiar la naturaleza. Esta visión se ha ido comprendiendo gradualmente, dando lugar a las matemáticas puras y aplicadas de hoy. /p>
2.1.2 La esencia de las matemáticas reside en su total libertad
La creación de la geometría no euclidiana demuestra el espacio y la relación matemáticos del que la gente siempre ha sido consciente pero no ha entendido claramente La diferencia entre el espacio físico. Los matemáticos crean la teoría de la geometría M y luego determinan su visión del espacio. Esta visión del espacio y la naturaleza basada en la teoría matemática generalmente no puede negar la existencia del mundo objetivo, es decir, la serie de conclusiones. sacar de sus juicios sobre el espacio son puramente sus propias creaciones. La realidad del mundo material y la teoría de esta realidad son siempre dos cosas diferentes. Debido a esto, las actividades cognitivas humanas de explorar el conocimiento y establecer teorías nunca terminarán. La geometría euclidiana hizo que la gente se diera cuenta de que las matemáticas son una creación del espíritu humano y no una copia directa de la realidad objetiva. Esto hizo que las matemáticas fueran un gran éxito y al mismo tiempo hizo que las matemáticas perdieran la certeza de la realidad y las liberara de la naturaleza y la ciencia. Sal y continúa tu viaje Al respecto, M. Klein dijo: "Esta etapa en la historia de las matemáticas liberó a las matemáticas de su estrecha conexión con la realidad y separó las matemáticas mismas de la ciencia, así como la ciencia se separa de la filosofía y la filosofía se separa. de la filosofía se separa, la religión se separa del animismo y la superstición. Ahora George Kahn está disponible.
2.1.3 Actualización de los conceptos geométricos
La aparición de la geometría no euclidiana rompió el dominio de la geometría euclidiana y se actualizó el concepto de geometría. El surgimiento de la geometría no euclidiana rompió este concepto e impulsó a la gente a profundizar en cuestiones básicas de la geometría euclidiana e incluso de la geometría en su conjunto.
2.2 Cultura y Educación
2.2.1 La geometría no euclidiana es el producto espiritual de seres humanos que se atreven a desafiar la tradición y dedicarse a la ciencia. Gauss, Boyo y Lobachevsky descubrieron la geometría no euclidiana casi simultáneamente, pero sus actitudes hacia la nueva geometría eran diferentes. Gauss hacía tiempo que se había dado cuenta de la existencia de la nueva geometría, pero no anunció sus nuevas ideas al mundo. Fue influenciado por el idealismo de Kant. La idea de no desafiar la geometría euclidiana duró hasta el año 2000a, lo que retrasó el nacimiento de la geometría no euclidiana. Boyot se dedicó al estudio del postulado de las paralelas y finalmente descubrió una nueva geometría. Hay otra historia. Si bien Gauss decidió mantener sus hallazgos en secreto, Boyo estaba ansioso por hacer pública su investigación a través de la evaluación de Gauss. Sin embargo, Gauss respondió a su padre F. Boyo: "Alabarle equivale a elogiarme a mí mismo. El artículo completo.
Se creía que Gauss quería plagiar su trabajo, especialmente después de la publicación del trabajo de Lobachevsky sobre geometría no euclidiana, y decidió no publicar más artículos.
Las nuevas ideas geométricas de Lobachevsky no fueron comprendidas ni elogiadas por sus contemporáneos en 1826. En cambio, fueron ridiculizadas y atacadas. "Pero ninguna fuerza puede quebrantar la confianza de Lobachevsky. Es como un faro en el mar, y el impacto de las olas tormentosas muestra su perseverancia. Ha estado luchando por nuevas ideas toda su vida. Cuando perdió la vista, él también dictó Pan Geometry.
3. El proceso de descubrir nueva geometría nos inspira: sólo rompiendo con la superstición de la tradición y la autoridad podemos dar rienda suelta a nuestra creatividad científica sólo si tenemos el coraje de soportar las dificultades y la dedicación; Podemos dedicarnos a la ciencia para perseguirla y defenderla. Una verdad que trasciende los tiempos. Generalmente se cree que Gauss, Boyo y Lobachevsky descubrieron al mismo tiempo una nueva geometría, lo cual es justicia a la historia, pero la gente prefiere llamarla geometría de Loche. que es lo que la gente dedicó a la ciencia de Lobachevsky.
Los grandes elogios del espíritu de la geometría no euclidiana 2, 2, 2 incitan a la gente a construir un producto de tolerancia y tolerancia. El establecimiento de la geometría no euclidiana liberó el pensamiento humano y continuaron surgiendo nuevas ideas. "Las matemáticas surgieron como la creación libre del pensamiento humano" 5] Cantor dijo con sinceridad "La esencia de las matemáticas reside en su libertad intelectual". La atmósfera artística democrática ha permitido que las matemáticas se desarrollen a una velocidad sin precedentes. El tortuoso establecimiento de la geometría no euclidiana y el desarrollo resultante de las matemáticas han hecho que la gente se dé cuenta de que se crea libertad, sostienen cien escuelas de pensamiento. >2.3 Pensamiento filosófico
2.3.1 Cambios epistemológicos
El filósofo y matemático francés Henri Poincaré dijo 7: El descubrimiento de la geometría no euclidiana es la raíz de una revolución epistemológica. se puede decir que este descubrimiento rompe con éxito el dilema que la lógica tradicional exige y vincula a cualquier teoría: es decir, los principios de la ciencia son verdades necesarias (síntesis trascendental) o verdades afirmadas (hechos de observación sensorial); Señaló: Los principios pueden ser simples acuerdos arbitrarios, pero estos acuerdos no están de ninguna manera ajenos a nuestros corazones y naturaleza. Solo pueden depender de la comprensión tácita de todas las personas y dependen estrechamente de las condiciones externas reales del entorno. en el que vivimos. De hecho, es precisamente por esto que en el campo de la filosofía podemos lograr algo basado en nuestra comprensión de la naturaleza. La "comprensión tácita" es el comienzo y la base para comprenderlo todo. En la evaluación, renunciamos a los juicios de una u otra. Einstein dijo [8]: Este juicio de una u otra es incorrecto. Los juicios de los jueces y matemáticos son sin duda la influencia más directa en el establecimiento de ideas y teorías, especialmente en el establecimiento de la epistemología. Otros avances teóricos y tecnológicos modernos son inseparables de su influencia inherente, como el surgimiento de la "teoría de la relatividad", especialmente. Es la mayor comprensión del espacio y el tiempo, el establecimiento y desarrollo de la teoría de conjuntos, la base del análisis moderno. , la lógica matemática, la mecánica cuántica y otras disciplinas pueden considerarse como resultados directos de la geometría no euclidiana. El impacto causado por el establecimiento de la geometría no euclidiana no ha desaparecido.
2.3.2 Romper lo tradicional. forma de pensar de la humanidad
La base principal para analizar y evaluar una teoría debe ser ver si es "compatible", es decir, si ha llegado o llegará a conclusiones contradictorias, si una teoría no puede. "justificarse". Muestra que esta teoría es sólo una simple expresión y enumeración de la experiencia humana, y aún no ha evolucionado al nivel de una "teoría" o al menos necesita más mejoras; Originalmente, las premisas de la geometría no euclidiana y la teoría de la geometría euclidiana eran contradictorias, mientras que la geometría euclidiana ha sido generalmente aceptada. ¿Aceptar la geometría no euclidiana conduce necesariamente a tales problemas? ¿Pueden las premisas contradictorias conducir a resultados contradictorios? La forma de pensar tradicional cree que esto es cierto, es decir, premisas contradictorias conducirán inevitablemente a resultados contradictorios. Aceptar la geometría no euclidiana significa romper con las limitaciones de esta forma tradicional de pensar. Con el paso del tiempo, especialmente con la aplicación generalizada de los resultados de la geometría no euclidiana, la gente se dio cuenta de que en el proceso de establecimiento de una teoría, no podemos garantizar que premisas contradictorias conduzcan a resultados contradictorios. Por lo tanto, la compatibilidad es necesaria en el proceso de construcción de una teoría, especialmente en el proceso de derivar una determinada conclusión.
2-4 parejas de investigadores de matemáticas
2.4.1 Enfrentan con valentía la tormenta en el camino de la exploración científica.
En el viaje de la exploración científica, no es difícil para una persona soportar reveses y golpes temporales. Lo difícil es tener el coraje de luchar durante mucho tiempo o incluso toda la vida ante la adversidad.
La nueva teoría de Lobachevsky va en contra de más de dos mil años de pensamiento tradicional, sacude los cimientos de la autoridad de la geometría euclidiana y va en contra del "sentido común" de la gente. Tan pronto como se publicó su teoría, fue ridiculizado, atacado, incluso insultado y vilipendiado en la sociedad. El arzobispo calificó su teoría de "herejía"; la mayoría de las autoridades calificaron la teoría de Lobachevsky de "pseudociencia" y de "broma"; ; incluso muchos escritores famosos se rebelaron contra esta nueva geometría. Por ejemplo, el poeta alemán Goethe escribió un poema en su famoso libro (Fausto): "Hay geometría y el nombre japonés es 'Fei'. También me reí inexplicablemente ante varios ataques y burlas, Roba Chevsky no tuvo miedo". e inflexible. Es como un faro en el mar. Muestra el "coraje especial de un científico para satisfacer las necesidades de la ciencia". Lobachevsky creía firmemente en la exactitud de su teoría y luchó por ella durante toda su vida. Desde la publicación de "Sistemas de geometría no euclidiana" en 1826, ha publicado ocho libros, entre ellos "Elementos de geometría". Antes de su muerte, estaba casi ciego en Los Ángeles y dictó su obra maestra "La geometría de Pan" en ruso y francés. Lobachevsky luchó contra la adversidad durante toda su vida. No es difícil para un matemático, especialmente un experto académico de renombre, identificar correctamente aquellos logros científicos y tecnológicos que están maduros o tienen un significado práctico obvio. Es difícil identificar FF a tiempo. Resultados científicos que aún no han madurado o cuyo significado práctico aún no ha sido revelado. El desarrollo de las matemáticas no es en absoluto fácil. La mayoría de las veces, está lleno de vacilaciones, deambulaciones, de experimentar dificultades y giros, e incluso de afrontar más crisis. Todo autor científico debería tener el coraje de perseverar ante la adversidad.
Los exploradores científicos deberían ser firmes defensores de las novedades en el campo de la ciencia.
2_4_2 Visualizar correctamente los logros en el campo de las matemáticas
Las matemáticas son una materia histórica o muy acumulada. Las principales teorías matemáticas siempre se basan en heredar y desarrollar teorías originales. No sólo derriban la teoría original, sino que siempre la contienen. Por ejemplo, la geometría no euclidiana puede considerarse como una extensión de la geometría euclidiana. Por lo tanto, algunos historiadores de las matemáticas creen que "en la mayoría de las disciplinas, la estructura de una generación es desmantelada por la siguiente generación, y la creación de una persona es destruida por la siguiente generación. Sólo en matemáticas, cada generación agrega un piso a la antigua edificio "1"." Cuando Klein examina la historia de la investigación sobre el Quinto Postulado, especialmente el proceso histórico de transformación de la geometría no euclidiana de "potencial" a "explícita" en los siglos XVIII y XIX, se refiere a: " Cualquier rama importante o rama de las matemáticas. Gran logro especial. Algunos pasos o pruebas decisivos pueden atribuirse a individuos. Esta acumulación matemática es particularmente adecuada para la geometría no euclidiana. "De hecho, desde los "Elementos de la Geometría" hasta el siglo XIX, el problema del quinto postulado fue como un imán que atrajo e inspiró a matemáticos talentosos de todas las generaciones a esforzarse por lograrlo. Esto formó una situación con el lapso de tiempo más largo y el mayor número de miembros en la historia de la ciencia, los matemáticos intercambian ideas, intercambian resultados de investigación y evalúan los resultados de la investigación, formando un sistema de competencia y estímulo constantes que también lo inspiraron. pensar con valentía: puede que no haya prueba del quinto postulado, por lo que cambió de opinión y se propuso encontrar una solución indemostrable al quinto postulado. Fue por este camino que Lobachevsky estaba intentando probar el quinto postulado. Postulado, se descubrió un nuevo mundo geométrico. También se puede decir que la M de la geometría de Roche es ahora cada vez más popular en el campo de las matemáticas debido a la investigación del quinto postulado. Hoy en día, cada vez hay menos matemáticos que lo son. competentes en múltiples campos, por lo tanto, los investigadores de matemáticas deben unirse y comunicarse entre sí con una actitud pacífica y no ser arrogantes ni arrogantes.
2.5 Profesores de matemáticas y estudiantes de matemáticas.
2.5. 1 Cultivar el pensamiento innovador al hacer preguntas y plantear preguntas difíciles
Lobachevsky cree que, como excelente profesor de matemáticas, la enseñanza de las matemáticas debe ser precisa y rigurosa, todos los conceptos deben ser completamente claros, porque en su opinión, los cursos de matemáticas. se basan en conceptos, especialmente geometría, que descubrió a través de un pensamiento integral sobre la estructura lógica de la geometría euclidiana durante la preparación de la lección. Estaba muy confundido por las fallas en su sistema lógico. Estaba decidido a eliminar estas fallas en su práctica docente. sí escribió un libro de texto de geometría "Curso de Geometría" (1883 Ideas geométricas, pero también geometría no euclidiana
Su investigación siempre estuvo combinada con la actividad docente.
Muchos de sus teoremas sobre geometría no euclidiana se derivaron de M durante el proceso de enseñanza y fueron comunicados, modificados y mejorados entre los estudiantes. Podemos decir con certeza que su gran logro al crear una geometría no euclidiana se produjo desde la perspectiva de la reforma de la educación en geometría. Este es un ejemplo exitoso de un educador de matemáticas que logra un gran avance. Como señaló el historiador de las matemáticas Borgas, "Lobachevsky esperaba establecer una nueva geometría en el sentido de un método de enseñanza" y "ésta fue una razón importante para su reforma de la nueva geometría". "Su discusión sobre los métodos de enseñanza llegó a conclusiones científicas, que es una nueva forma para que la humanidad estudie y conquiste el mundo circundante". Por lo tanto, como docente de matemáticas en el siglo XXI, debemos seguir aprendiendo esto en nuestro proceso diario de enseñanza. En la enseñanza, se debe guiar a los estudiantes para que amplíen su pensamiento y presten atención al pensamiento divergente; los maestros deben seleccionar algunas preguntas típicas para alentar a los estudiantes a innovar, adivinar y explorar con valentía y cultivar la conciencia innovadora de los estudiantes.
2.5 _ 2 Cultivar el pensamiento innovador de los estudiantes en la enseñanza
Al principio, Lobachevsky intentó probar el quinto postulado según las ideas de sus predecesores. En los únicos apuntes que quedan de las clases de los estudiantes se registran varias demostraciones que dio durante la enseñanza de geometría en el año escolar 1816-1817. Pero pronto se dio cuenta de que eso estaba demostrado que estaba equivocado. Lo motivan en la dirección opuesta sus predecesores y sus propios fracasos. El contraargumento que le hizo pensar con audacia: puede que no haya prueba alguna del quinto postulado. Entonces cambió de opinión y se dispuso a encontrar una solución indemostrable al quinto postulado. Fue a lo largo de este camino que Lobachevsky descubrió un nuevo mundo de la geometría mientras intentaba probar el indemostrable quinto postulado. "El aprendizaje comienza con el pensamiento, y el pensamiento surge de las preguntas". Nuestro proceso de pensamiento de exploración del conocimiento siempre comienza con los problemas y se desarrolla en la resolución de problemas. También es necesario que los profesores inspiren a los estudiantes a cuestionar y formular preguntas difíciles. En la enseñanza, se debe alentar a los estudiantes a plantear los problemas que encuentren durante el proceso de aprendizaje y discutirlos con sus compañeros, dándoles la oportunidad de expresarse plenamente. Primero, deben proporcionar las mismas ideas para resolver diferentes problemas, y luego deben proponer cambios en las condiciones personales y exigir nuevas ideas para resolver estos problemas, rompiendo así el patrón de pensamiento original y haciendo que su pensamiento sea flexible y creativo.
2.5.3 La importancia de la historia de la geometría no euclidiana para los estudiantes universitarios que aprenden matemáticas.
A través del estudio de la cultura matemática, los estudiantes universitarios pueden comprender la relación interactiva entre el desarrollo de la sociedad humana y las matemáticas, y comprender las leyes inevitables de la aparición y el desarrollo de las matemáticas; el mundo objetivo desde la perspectiva de las matemáticas; cultivar la búsqueda del conocimiento y la búsqueda de la verdad, emociones y actitudes que se atrevan a explorar la sistematicidad, el rigor y la universalidad de las matemáticas, comprender la relatividad de las verdades matemáticas y aumentar el interés en aprender matemáticas; El nacimiento y desarrollo de la geometría no euclidiana fue tortuoso y arduo, y los matemáticos han hecho grandes esfuerzos con este fin. Tiene una importancia e impacto positivos y de gran alcance en los estudiantes de matemáticas de hoy y del futuro. Aprendizaje de conocimientos
Y sólo a través de la innovación y la exploración continuas podemos crear nuevos conocimientos y descubrir nuevas áreas de conocimiento.
“Leer historia hace que las personas sean sabias”. Aprender la historia del desarrollo de la geometría no euclidiana puede revelar las fuentes y aplicaciones realistas del conocimiento matemático, guiar a los estudiantes a experimentar el proceso real del pensamiento matemático y crear un aprendizaje matemático. atmósfera de exploración e investigación. Todos son muy importantes.
Es de gran importancia estimular el interés de los estudiantes por las matemáticas y cultivar el espíritu de exploración.
La generación de la geometría no euclidiana
En la década de 1820, Lobachevsky, profesor de la Universidad de Kazán en Rusia, tomó otro camino al demostrar el quinto postulado. Propuso una proposición que contradecía el axioma paralelo europeo, reemplazó el quinto postulado con él y luego lo combinó con los primeros cuatro postulados de la geometría europea para formar un sistema de axiomas y lanzó una serie de razonamientos. Creía que si había contradicciones en el razonamiento basado en este sistema, equivaldría a probar el quinto postulado. Sabemos que esto es en realidad la reductio ad absurdum en matemáticas.
Sin embargo, en su meticuloso y profundo proceso de razonamiento, planteó una proposición tras otra intuitivamente absurda pero lógicamente contradictoria. Finalmente, Lobachevsky llegó a dos conclusiones importantes:
Primero, el quinto postulado no se puede probar.
En segundo lugar, una serie de razonamientos en el nuevo sistema de axiomas produjeron una serie de nuevos teoremas que no son lógicamente contradictorios, formando una nueva teoría. Esta teoría es tan perfecta y rigurosa como la geometría euclidiana.
Este tipo de geometría se llama geometría Lobachevsky, o geometría Loche para abreviar. Esta fue la primera geometría no euclidiana propuesta.
De la geometría no euclidiana fundada por Lobachevsky, podemos sacar una conclusión general y extremadamente importante: un conjunto de supuestos lógicamente contradictorios pueden proporcionar una geometría.
Casi al mismo tiempo que Lobachevsky fundaba la geometría no euclidiana, el matemático húngaro Boje Janos también descubrió el indemostrable quinto postulado y la existencia de la geometría no euclidiana. En el proceso de aprendizaje de geometría no euclidiana, Bao Ye también recibió una fría recepción por parte de su familia y la sociedad. Su padre, el matemático Boyer Farkash, creía que estudiar el quinto postulado era un estúpido desperdicio de energía y esfuerzo, y le aconsejó que abandonara esa investigación. Pero Boyer Janos persistió en sus esfuerzos por desarrollar nuevas geometrías. Finalmente, en 1832, los hallazgos se publicaron como apéndice en uno de los libros de su padre.
Gauss, conocido en aquella época como el "Príncipe de las Matemáticas", también descubrió que el quinto postulado no podía demostrarse y estudió la geometría no euclidiana. Sin embargo, Gauss temía que esta teoría fuera atacada y perseguida por las fuerzas de la iglesia en ese momento, y no se atrevió a publicar públicamente los resultados de su investigación. Sólo expresó sus puntos de vista a sus amigos en cartas, pero no se atrevió a levantarse y apoyar públicamente las nuevas teorías de Lobachevsky y Bowyer.