Tensores relacionados con tensores
1. Origen teórico del tensor.
La teoría invariante estudiada por Arthur Cayley condujo al establecimiento de la teoría matricial y a la introducción de la expresión algebraica de determinantes en el sentido moderno, que se convirtió en la base de la geometría proyectiva. La teoría de las invariantes de Cayley surgió en el contexto de la primera mitad del siglo XIX, cuando Gran Bretaña se centró en el estudio del álgebra y su aplicación en geometría. El estudio de las transformaciones lineales en la teoría de matrices introduce la definición algebraica de vectores, que es la precursora del concepto de tensores.
Por otro lado, el concepto de variedades n-dimensionales propuesto por Georg Friedrich Bernhard Riemann propuso objetivamente el estudio en profundidad del álgebra El tema de la forma. Las ideas geométricas de Riemann no sólo ampliaron la geometría, sino que también mejoraron el nivel de abstracción del álgebra en la expresión de objetos geométricos. Después de Riemann, con los esfuerzos de Christopher, Ricci, Levi-Civita y otros, se formaron métodos matemáticos como el análisis tensorial y se estableció la geometría de Riemann.
2. Definición, propiedades y valor de aplicación del tensor
Desde una perspectiva algebraica, es la generalización de vectores. Sabemos que un vector puede considerarse como una "tabla" unidimensional (es decir, los componentes están ordenados en una fila), y una matriz es una "tabla" bidimensional (los componentes están ordenados según a sus posiciones vertical y horizontal), entonces un tensor de orden n es la llamada "hoja" de n dimensiones. La definición estricta de tensores se describe mediante mapeo lineal. Similar a los vectores, un conjunto que consta de varios números ordenados que satisfacen una determinada relación de transformación de coordenadas cuando cambia el sistema de coordenadas se define como tensor.
Desde el punto de vista geométrico, es una cantidad geométrica real, es decir, es algo que no cambia con la transformación de coordenadas del sistema de referencia. Los vectores también tienen esta propiedad.
Un escalar puede considerarse como un tensor de orden 0 y un vector puede considerarse como un tensor de orden 1. Hay muchas formas especiales de tensores, como tensores simétricos, tensores antisimétricos, etc.
A veces, las personas representan directamente un tensor mediante varios números (llamados componentes) en un sistema de coordenadas, y se deben cumplir ciertas reglas de transformación entre los componentes en diferentes sistemas de coordenadas (ver Ley de covarianza, ley de contravarianza), como como matrices, formas lineales de múltiples variables, etc., todas satisfacen estas leyes. Algunas cantidades físicas, como la tensión y la deformación de los cuerpos elásticos y la energía y el momento de los objetos en movimiento, deben representarse mediante tensores. En el desarrollo de la geometría diferencial, C.F. Gauss, B. Riemann, E.B Kristofer y otros introdujeron el concepto de tensores en el siglo XIX, y más tarde G. Ritchie y su alumno T. Levitzvita lo desarrollaron en el análisis de tensores, A. Einstein lo desarrolló ampliamente. Uso de tensores en su teoría general de la relatividad.
Como tipo de geometría no euclidiana, la geometría de Riemann es sustancialmente diferente de la geometría de Lobachevsky. El trabajo principal de la geometría de Roche es establecer un conjunto de sistemas lógicos que son diferentes de los "Elementos de la geometría" de Euclides, mientras que la cuestión central de la geometría de Riemann es establecer el método diferencial en el sistema de coordenadas curvilíneo basado en la geometría diferencial. La geometría de Roche fue la primera geometría no euclidiana propuesta. Sus puntos básicos son: primero, el quinto postulado no se puede probar; segundo, se pueden realizar una serie de razonamientos en el nuevo sistema de axiomas para obtener una serie de teoremas lógicamente nuevos. sin contradicciones formar nuevas teorías. El sistema de axiomas de la geometría de Roche es diferente del de la geometría euclidiana. La única diferencia es que el axioma de paralelas de la geometría euclidiana se cambia a: Desde un punto fuera de la línea recta, se pueden trazar al menos dos líneas rectas paralelas a esta línea recta. . La geometría de Riemann es opuesta al axioma de paralelas de la geometría de Roche: a través de un punto fuera de la línea recta, una línea recta no puede ser paralela a una línea recta conocida. En otras palabras, la geometría de Riemann estipula que dos rectas cualesquiera en el mismo plano tienen un punto común, y la geometría de Riemann no admite la existencia de rectas paralelas. Naturalmente, hay otro postulado: una línea recta se puede extender a cualquier longitud, pero la longitud es limitada, lo que se puede comparar con una esfera. La geometría de Riemann se estableció mediante geometría diferencial y, por tanto, es fundamentalmente diferente de la geometría de Roche.
El sistema de axiomas de la geometría de Riemann introdujo un espacio geométrico curvo (que puede describirse mediante el sistema de coordenadas curvilíneo introducido por Lame). Cuando Riemann concibió esta geometría, quería encontrar una manera de establecer estructuras algebraicas correspondientes. . El propio Riemann no logró este objetivo, pero a lo largo del camino que abrió, Christoph y Ricci completaron la construcción de una nueva geometría. En otras palabras, el análisis tensorial constituye el contenido central de la geometría de Riemann.
Esto se manifiesta en varios aspectos: 1. La curvatura en el espacio de Riemann es un tensor y sus operaciones relacionadas deben utilizar el método diferencial absoluto. 2. La métrica del espacio de Riemann se expresa mediante un tensor métrico. El espacio de Riemann es El producto escalar permanece sin cambios (es decir, el ángulo con la curva permanece sin cambios), basándose en el símbolo de Christoff 4. El establecimiento de la ecuación de línea recta (geoda) en el espacio de Riemann se basa en el diferencial covariante; Es precisamente gracias a la herramienta del análisis tensorial que la geometría de Riemann ha obtenido funciones de cálculo similares al cálculo, liberándose así de las ataduras de permanecer en el nivel de la construcción lógica, heredando fundamentalmente de la geometría diferencial, y realizando El progreso de la geometría diferencial desde El sistema de coordenadas rectilíneo al sistema de coordenadas curvilíneo ha acercado la geometría y el álgebra.
En resumen, la aparición del análisis tensorial es la promoción del análisis vectorial, por un lado, y el desarrollo de la geometría diferencial, por el otro. El análisis tensorial y la geometría de Riemann se desarrollan de manera entrelazada y se promueven mutuamente.