Me gustaría saber un resumen de los puntos de conocimiento de las secciones cónicas, un resumen de las preguntas más comunes de los exámenes, etc... Gracias...
Elipse
1. Tabla de conocimiento
Contenido del proyecto
Primera definición, la suma de las distancias desde dos puntos fijos en el plano. es igual a una constante La trayectoria de un punto (mayor que) se llama elipse.
Segunda definición: La trayectoria de un punto en el plano donde la relación entre la distancia a un punto fijo y una línea recta fija es constante se llama elipse.
Gráficos
Ecuaciones estándar
Rango de propiedades geométricas
La longitud del vértice y los ejes mayor y menor
Distancia focal del enfoque
Ecuación de directriz
Radio focal abajo a la izquierda
Distancia focal
Excentricidad (cuanto más pequeña, más cerca está la elipse) es a un círculo)
p>
Distancia directriz
Las elipses simétricas son axialmente simétricas con respecto al eje y centralmente simétricas con respecto al origen
Ruta
Elipse de triángulo de enfoque El perímetro del triángulo formado por el punto anterior y los dos focos de la elipse es El teorema del coseno y el teorema de Pitágoras se utilizan comúnmente en la resolución de problemas.
Cuerda de enfoque. triángulo Un foco de la elipse pasa por el otro. El perímetro del triángulo formado por las cuerdas en el foco es .
Las ecuaciones paramétricas son parámetros)
Nota:
1. La ecuación después de que la elipse se traduce según el vector es: o, la traducción no cambia. los puntos y puntos La relación posicional relativa entre ellos (es decir, la distancia focal de la elipse permanece equidistante) y la excentricidad.
2. Fórmula de longitud de cuerda:
Línea recta conocida: intersecta la curva en dos puntos, luego
o
3. para problemas de puntos y cuerdas: ① Método del sistema de ecuaciones, ② Método de diferencia de puntos. Ambos métodos generalmente reflejan ideas matemáticas de alto nivel.
Hiperbola
Contenido del proyecto
La trayectoria de un punto en el primer plano de definición donde la diferencia en distancia desde dos puntos fijos es igual a una constante (menos que) se llama hipérbola.
Segunda definición: La trayectoria de un punto en el plano donde la relación entre la distancia a un punto fijo y una línea recta fija es constante se llama hipérbola.
Gráficos
Ecuaciones estándar
Rango de propiedades geométricas
La longitud del vértice y los ejes real e imaginario
Distancia focal del enfoque
Ecuación directriz
Radio focal cuando está en la rama derecha
Izquierda
Cuando está en la rama izquierda
Cuando la izquierda está en la rama superior
Abajo
Cuando está en la rama inferior
Abajo
Ecuación asíntota
Distancia de alineación focal
Excentricidad (cuanto más pequeña, menor es la apertura de la hipérbola), hipérbola equiaxial
Distancia directriz
Simetría todas las hipérbolas son simétricas axialmente con respecto al eje y centralmente simétricas con respecto al origen.
Ruta
Triángulo de enfoque El triángulo formado por un punto de la hipérbola y los dos focos de la hipérbola, el coseno. El teorema y el teorema de Pitágoras se utilizan comúnmente en la resolución de problemas para realizar cálculos relacionados.
El triángulo de cuerda focal es un triángulo compuesto por un foco de la hipérbola y la cuerda que pasa por el otro foco.
La ecuación paramétrica es un parámetro)
Contenido del elemento
Definición La trayectoria de un punto en el plano cuya distancia a un punto fijo es igual a la distancia a una línea recta fija se llama parábola.
Gráficos
Ecuaciones estándar
Rango de propiedades geométricas
Dirección de apertura de derecha a izquierda, arriba y abajo
Focal alineación
Coordenada de vértice origen de coordenadas (0, 0)
Coordenada de enfoque
Ecuación de directriz
Eje de simetría eje eje eje Eje
Excentricidad
Longitud del camino
Radio focal
Parábola
1. Conclusión de la cuerda focal: (para parábola: donde), es la cuerda que pasa por el foco, entonces
1. La fórmula de longitud de la cuerda de foco:
2. La ruta es la cuerda más corta entre las cuerdas de foco, y su longitud. es
3.,,,
4. El círculo con la cuerda focal como diámetro es tangente a la directriz de la parábola.
5. se sabe que está en la directriz Las proyecciones de son respectivamente , , entonces tres puntos, y * son rectas Al mismo tiempo, , y tres puntos también son * rectas
6. Se sabe. que, sobre la directriz Las proyecciones son respectivamente, entonces
7,
2 Triángulo rectángulo con vértice: Un triángulo con un vértice rectángulo en el vértice de una parábola. y su eje de simetría se corta en un punto fijo
, por el contrario, el ángulo del vértice subtendido por una cuerda que pasa por un punto fijo es un ángulo recto.
3. El rayo de luz que parte del foco de la parábola es paralelo al eje de simetría de la parábola después de ser reflejado por la parábola.
Ejercicios básicos de elipse
Elipse (1)
1 La distancia desde un punto P de la elipse a un foco es 5, entonces la distancia desde P. al otro foco La distancia es ( )
A.5 B.6 C.4 D.10
2 La coordenada de foco de la elipse es ( )
.A.(± 5, 0) B. (0, ±5) C. (0, ±12) D. (±12, 0)
3. de la elipse es, el foco está en el eje x, entonces su distancia focal es ( )
A.2 B.2 C.2 D.
4. La ecuación de una elipse con foco en el eje y es 5. La ecuación se expresa Elipse, entonces el rango de valores de α es ( )
A.
C.∈Z. ) D. ∈Z)
Elipse (2)
1. Supongamos que F1 y F2 son puntos fijos, |F1F2|=6, y el punto móvil M satisface |MF1|+. |MF2|=6, entonces la trayectoria del punto en movimiento M es ( )
A . Elipse B. Recta C. Círculo D. Segmento de recta
2. Los focos derechos de la elipse son F1 y F2. Una línea recta pasa por F1 y corta la elipse en dos puntos A y B, entonces la circunferencia de △ABF2 es ( )
A.32 B.16 C. .8 D.4
3. Supongamos que α∈(0,), la ecuación representa una elipse con el foco en el eje x, entonces α∈ ()
A. (0, B.(,) C.(0,) D.〔,)
4. Si la ecuación x2+ky2=2 significa que el foco está en y. Para una elipse en el eje, el el rango de k es ______.
5. La ecuación representa una elipse con el foco en el eje y, entonces el rango de m es ______.
6. BC=24, y la suma de las dos líneas medias AC y AB es 39, encuentre la ecuación de la trayectoria del centro de gravedad de △ABC.
Elipse (3)
1. Opción múltiple preguntas
(1) Se sabe que la distancia desde un punto P en la elipse a un foco de la elipse es 3, entonces la distancia desde P al otro foco es ( ) A.2 B. 3 C.5 D.7
(2) Se sabe que la ecuación de la elipse es, entonces su distancia focal es ( )
A.6 B.3 C. 3 D.
(3) Si la ecuación x2+ky2=2 representa una elipse con el foco en el eje y, entonces el rango de valores del número real k es ( )
A. (0, +∞) B. (0, 2) C.(1,+∞) D.(0,1)
(4) Se sabe que las dos coordenadas de enfoque de la elipse son F1 (-2, 0), F2 (2, 0) y pasa por el punto P (), entonces la ecuación estándar de la elipse es ______.
(5) La ecuación estándar de la elipse que pasa por el punto A (-1, -2) y es igual a los dos focos de la elipse es _ _____.
(6) La ecuación estándar de la elipse que pasa por los dos puntos P (, -2) y Q (-2, 1) es ______.
Elipse (4)
1. Supongamos 0≤α<2π, si la ecuación x2sinα-y2cosα. =1 representa una elipse con el foco en el eje y, entonces el rango de valores de a es ( )
A.( , ) B.(, ) C.(,) D.(,π )
2. Ecuación (a>b>0,k>0 y k≠1), y ecuación (a>b Elipse ( ) representada por ＞0)
A.
Hay ejes menores y ejes mayores B de igual longitud. Tienen el mismo foco
C Tienen una directriz común D. Tienen la misma excentricidad
3 .El centro es. en el origen, el foco está en el eje x, la distancia focal es igual a 6 y la excentricidad es igual a, entonces la ecuación de esta elipse es ( )
B. C. D.
4. Si la ecuación indica que el foco está en la elipse y en el eje, entonces el rango de valores del número real m es ( )
A.-16 5. El centro de la elipse está en el origen de las coordenadas, el foco está en el eje de coordenadas y los dos vértices son (4, 0,)(0,2), entonces la ecuación de la elipse es ( ) A . C. 6. de un foco de la elipse 2kx2+ky2=1 son (0, 4), entonces el valor del número real k es ( ) A.- B. C.- D. 7. La distancia desde el punto P de la elipse hasta la directriz derecha es igual a 4,5, entonces la distancia desde el punto P hasta la directriz izquierda es igual a ( ) A.8 B. 12.5 C.4.5 D.2.25 8. Si los dos focos de la elipse dividen la distancia entre las dos directrices en tres partes iguales, entonces la excentricidad de la elipse es igual a ( ) A. B. C. D. 9. El centro está en el origen, la longitud del eje mayor es el doble de la longitud del eje menor, y la ecuación de una directriz es x=4, entonces la La ecuación de esta elipse es ( ) A. B. C. D. 10 La excentricidad de la elipse, entonces el valor de k es igual a ( ) A.4. B.- C.4 o- D.-4 o 11. El foco de la elipse F1 (0, 6), la distancia del centro a la directriz es igual a 10, entonces la ecuación estándar de esta elipse es ______. 12 Moviendo el punto P al punto fijo F La relación entre la distancia desde (2,0) y la distancia a la línea recta fija x=8 es 1: 2, entonces la ecuación de trayectoria de este punto P es ______. 13 La longitud del eje menor de la elipse es igual a 2. La distancia entre los puntos finales del eje mayor y el eje menor es. igual a, entonces la ecuación estándar de esta elipse es______. 14 Un vértice y un foco de la elipse están en la recta x+3y-6=0, entonces esta La ecuación estándar de la elipse. es ______. 15. La ecuación directriz de la elipse es y=±18, y las distancias desde un punto de la elipse a los dos focos son 10 y 14 respectivamente, entonces la ecuación estándar de la elipse. es ______. 16. Cuando el centro de la elipse está en el origen, el foco está en el eje de coordenadas, la distancia entre las dos directivas es igual a 36 y las distancias desde un punto. en la elipse a los dos puntos de enfoque son 9 y 15 respectivamente, entonces la ecuación de la elipse es ______. 17 La línea recta y=x+k cruza la elipse en dos puntos diferentes, entonces. el rango de valores del número real k es ______. 18 Supongamos que la elipse ( α es el ángulo entre el punto P y la dirección positiva del eje x ∠POx=, entonces la coordenada del punto P es ______. 19 Supongamos que AB es la cuerda de un foco F que pasa por la elipse, si el ángulo de inclinación de AB es, entonces la longitud de la cuerda de AB es. 20. Dada la elipse, la recta l que pasa por el foco derecho F2 corta la elipse en dos puntos A y B. Si |AB|=, entonces la recta La ecuación de l es: ______. Ejercicios Básicos para la Hipérbola Ejercicio Básico 1. 1 Se sabe que la distancia focal de la hipérbola es 26, entonces la ecuación estándar de la curva es ( )<. /p> A. C D. O 2.F1 y F2 son los dos focos de la hipérbola, el punto P está en la hipérbola y ∠F1PF2=90°, entonces El área de . △F1PF2 ¿Es ( ) A.2 B.4 C.8 D.163? 5x-2y+20=0. El foco es simétrico con respecto al origen, entonces la ecuación de esta hipérbola es ( ) A. C. -my2=8 es 6, entonces el valor de m es ( ) A.±1? B.-1 C.1 D.85 Supongamos que θ es el ángulo del tercer cuadrante y la curva representada. por la ecuación x2+y2sinθ=cosθ es ( ) A Una elipse con foco en el eje x B. Una elipse con foco en el eje y C. . Una hipérbola con foco en el eje x D. Una hipérbola con foco en el eje y 6. Encuentre la ecuación del lugar geométrico del centro P del círculo circunscrito por el círculo A:=49 y el círculo B:=1. 7. Si un punto móvil P(x,y) a dos puntos fijos A(- El valor absoluto de la diferencia de distancia entre 1,0) y A′(1,0) es un valor fijo a. Encuentra la ecuación de la trayectoria del punto P y explica la forma de la trayectoria. 8 Punto conocido (, 1), (, -3) En la hipérbola, encuentra la ecuación de la hipérbola. /p> 9. Se sabe que el foco de la hipérbola es F1 (-c, 0), F2 (c, 0), La recta que pasa por F2 y tiene pendiente de intersecta a la hipérbola en dos puntos. P y Q. Si OP⊥OQ, |PQ|=4, encuentra la ecuación de la hipérbola. Ejercicios básicos 2. Preguntas de opción múltiple (1) Se sabe que la ecuación representa una hipérbola con el foco en el eje y, entonces el rango de valores de k es ( ) A.3 C.k＞9 D.k<3 (2) La ecuación x2+(k-1)y2=k+1 significa que el foco es la hipérbola en el eje x, entonces la el rango de valores de k es ( ) A.k<-1 B.k>1 C.-1 (3) La ecuación representa la hipérbola con el foco en el eje de coordenadas, entonces α es el ángulo en el que cuadrante ( ) A. Dos B. Cuatro C. Dos O cuatro D. ¿Uno o? tres 2. ¿Rellenar los espacios en blanco? (1) Se conoce el foco de la hipérbola F1 (-4, 0), F2 (4, 0) y el estándar. la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto M (2, 2) es ______. (2) El foco de la hipérbola está en el eje x y pasa por los puntos M (3, 2), N ( -2, -1), entonces la ecuación estándar de la hipérbola es ______. (3) Se sabe que la hipérbola pasa por los puntos M (2, 3), N (-7 , 6), luego la hipérbola La ecuación estándar es______. Ejercicio Básico 3. Preguntas de opción múltiple 1. La trayectoria de un punto donde el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos es igual a 6 ( ) A. Elipse b. Segmento de recta C. Hipérbola D. Dos rayos 2. La ecuación representa una hipérbola, entonces el rango de valores es ( ) A. B. DO. D. o 3． La distancia focal de la hipérbola es ( ) A. 4B． DO. 8D. Relacionado con 4. Se sabe que m y n son dos números reales desiguales distintos de cero, entonces las curvas representadas por las ecuaciones mx-y+n=0 y nx2+my2=mn pueden Puede ser ( ) A B C D 5. Las dos directrices de la hipérbola bisecan al eje real en tres partes iguales, entonces su excentricidad es ( ) A. B. 3C. D. 6. El foco es , y la ecuación de la hipérbola con la misma asíntota que la hipérbola es ( ) A. B. DO. D. 7. Si, hipérbola e hipérbola tienen ( ) A. Mismo eje imaginario B. Mismo eje real C. La misma asíntota D. Mismo enfoque 8. La longitud de la cuerda AB que pasa por el foco izquierdo F1 de la hipérbola es 6, entonces el perímetro de (F2 es el foco derecho) es ( ) A. 28b. 22C. 14D． 12 9. Se sabe que la ecuación de la hipérbola es que la recta L que pasa por P (1, 0) y la hipérbola tienen un solo punto en común, entonces el número de L es ( ) A. 4 artículos B. 3 artículos c. 2 artículos D. 1 artículo 10． Se dan las siguientes curvas: ①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③ ④, entre las cuales todas las curvas que tienen puntos de intersección con la recta y=-2x-3 son ( ) A. ①③ B． ②④C. ①②③D. ②③④ 2. Preguntas para completar los espacios en blanco 11. La distancia del foco derecho de la hipérbola a la directriz derecha es ___________________. 12. La ecuación de una hipérbola con el mismo foco que la elipse y la distancia entre las dos directrices es ____________. 13． Si una recta y una hipérbola se cortan en dos puntos, entonces =____________________. 14． La ecuación de la recta donde la cuerda de la hipérbola pasa por el punto y es bisecada por el punto M es. 3. Responde las preguntas 15. Encuentre una ecuación asíntota, una ecuación estándar de una hipérbola cuyo foco es, y encuentre la excentricidad de esta hipérbola. 16. Si se conoce el foco de la hipérbola y de la elipse, y es asíntota, halla la ecuación de la hipérbola. 17. El centro de la hipérbola está en el origen, el foco está en el eje x, la distancia entre las dos directrices es, y la abscisa del punto medio de la cuerda se obtiene al cortar la recta. recta es, encuentra la ecuación de esta hipérbola. Ejercicios básicos sobre parábolas Ejercicios básicos 1. 1. La relación de distancias entre el punto en movimiento P y el punto A (0, 2) al. La distancia de la recta l:y =-4 es menor que 2, entonces la ecuación de la trayectoria del punto en movimiento P es A. B. C. D. 2. la parábola se corta en dos puntos A y B, y l pasa por el foco F de la parábola, las coordenadas del punto A son (8, 8), entonces la distancia desde el punto medio del segmento AB hasta la directriz es A. B. C. D.253. Se sabe que el foco de la parábola está en la recta -4=0 , entonces la ecuación estándar de esta parábola es A. C. o D. o 4. La recta y=kx-2 corta la parábola en dos puntos A y B, y la AB La abscisa del punto medio es 2, entonces el valor de k es A.-1 B.2 ? C.-1 o 2 D. Ninguna de las anteriores 5. El círculo en movimiento M pasa por el punto A (3, 0) y se cruza con la recta tangente l:x =-3, entonces la ecuación de trayectoria del centro M del círculo en movimiento es A. B. C. D. >6. Se sabe que la parábola y la recta y=k(x+1) se cortan en dos puntos A y B. Comprobar: OA⊥OB. 7. de la parábola está en el eje x, y la línea recta La longitud del segmento de línea interceptado por la parábola es y=2x+1. Encuentra la ecuación estándar de la parábola. 8. La recta y la parábola se cortan en dos puntos A y B. Sus abscisas son x1 y x2 respectivamente, la intersección de esta recta en el eje x es a. >Ejercicio Básico 2. 1. θ es cualquier número real, entonces la ecuación x2 + y2 sen θ =4 curva no puede ser ( ) A. Parábola D. Círculo 2. Si 4 veces la distancia entre las dos directivas de la hipérbola es igual a la distancia focal, entonces la hipérbola La excentricidad es igual a ( ) A.4 B.3 C. 2 D.13. Dibuje una línea recta l que pase por el punto (0, 3). Si l y la hipérbola = 1, solo hay un punto *** común, dicha línea recta l*** tiene ( ) A. Uno B. Dos C. Tres D. Cuatro 4. La coordenada focal de la parábola es ( ) A.( -) B.() C.(-) D.(- )5. La excentricidad e∈(1, 2) de la hipérbola = 1, entonces el rango de valores de k es ( ) A.(-∞,0 ) B.(-12,0) C.(-3,0) D.(-60,-12) 6. Tome el foco de =1 como vértice, el vértice La ecuación de la elipse con el foco es ( ) A. C. 7. Los vértices de la hipérbola son A(2,-1), B(2, 5), la excentricidad e. =3, entonces la ecuación directriz de la hipérbola es ( ) A.x=3 y x=1 B.y=3 e y=1 C.x= y x= D.y= e y = 8. Las coordenadas del punto más cercano de la parábola y=x2 a la recta 2x-y=4 son ( ) A.() B. (1, 1) C. ( ) D. (2, 4) 9. La asíntota ( ) de (a>b>0) A. Coincidente B. No coincidente, pero sí alrededor del eje x Simetría correspondiente. C. No coincidente, pero simétrico con respecto al eje y D. No coincidente, pero simétrico con respecto a la recta y=x 10. El centro del círculo en movimiento está en la parábola y2 = 8x, y la circunferencia en movimiento es constante Es tangente a la recta x+2=0, entonces la circunferencia en movimiento debe pasar por el punto fijo A (4, 0) B. (2, 0) C. . (0, 2) D. (0, - 2) 11 Se sabe que el punto A (0, 1) es un punto de la elipse x2+4y2=4, P es el punto en movimiento. punto en la elipse, cuando la longitud de la cuerda AP es la más grande , entonces las coordenadas del punto P son.12 La curva C y la parábola y2=4x-3 son simétricas con respecto a y=x, entonces. la ecuación de la curva C es.13. La ecuación del eje de simetría de la parábola es 3x+4y-1=0, la coordenada de enfoque es (-1, y0) y la parábola pasa por el punto (3, 4). , entonces La ecuación directriz de la parábola es. 14. El punto P (8, 1) bisecta la hipérbola x2- 4y2=4 es una cuerda, entonces la ecuación de la recta donde se encuentra esta cuerda. es .15.P es un punto de la elipse (a>b>0), F1 es uno de sus focos, demostrar: el círculo con PF1 como diámetro y longitud Los círculos cuyo eje es el diámetro son tangentes 16. Supongamos que los vértices izquierdos de una serie de elipses están todos en la parábola. y2=x-1, y sus ejes principales son 4, con el eje y como directriz izquierda. (1) Encuentre las ecuaciones de trayectoria de los centros de estas elipses. . (2) Encuentra la excentricidad máxima de estas elipses. 17. Se sabe que el centro de la elipse está en el origen de coordenadas O, el foco está en la coordenada. eje, y la línea recta y=x +1 corta la elipse en P y Q, Y OP⊥OQ, |PQ|=, encuentra la ecuación de la elipse. 18. Se sabe que en la hipérbola (a>0, b>0), los focos izquierdo y derecho son F1 y F2 respectivamente, P es un punto en su rama izquierda, se representa la distancia de P a la directriz izquierda. por d, y una asíntota de la hipérbola es y=, pregunte si ¿Existe un punto P que haga que d, |PF1| y |PF2| si existe, encuentre las coordenadas de P si no existe, explica el motivo. 19. Como se muestra en la figura, dado el punto fijo A(a,0)(a>0) y la recta l: x=-1, B es un punto en movimiento en la línea recta l, y la bisectriz angular de ∠BOA corta a AB en el punto C. Encuentre el punto La ecuación de trayectoria de C y analice la relación entre el tipo de curva representada por la ecuación y el valor de a. Respuestas de referencia a ejercicios básicos de elipse Respuesta 1 A 2.C 3.A 4. 5.C Respuesta 2: DBB 4. Análisis: Organice la ecuación en una solución de acuerdo con el problema para obtener 0 5. para la solución del problema, obtenemos 0 6 Análisis: Tome la línea recta donde BC es el eje x y la línea perpendicular de BC como el eje y para establecer. como se muestra en la figura En el sistema de coordenadas plano rectangular, M es el centro de gravedad, entonces |MB|+|MC|=×39=26. Según la definición de elipse, puede ser visto que la trayectoria del punto M es una elipse con B y C como foco, por lo que la ecuación elíptica buscada es (y≠0) Respuesta tres: DAD 4. : 5. Respuesta: 6. Respuesta: Respuesta cuatro: CDCBC 11. 12. 13. o 15. 16. o 17. k∈(-3. ,3) 18. () 19. 20. x-y -1=0 o x+y-1=0 Respuestas de referencia a ejercicios básicos de hipérbola 1 Respuestas: 1.D?2.B ?3.D?4.A?5.D?6. (x>0). 7. 1) Cuando a=2, la ecuación de la trayectoria es y=0 (x≥1 o x≤-1), la trayectoria son dos rayos. (2) Cuando a=0, la trayectoria es la bisectriz perpendicular del segmento de recta AA′ x=0. (3 )Cuando 0 8. 2. Respuestas: 1. C? 2, C 3, C 4, 5, 6, 3. F2 (3, 0) y=± 2, y2-x2= 8?3, 4, 5, IV. , 18 4. 5. (,), (-,), (,-), (- ,-) Respuestas de referencia a ejercicios básicos de parábolas 1. 1.D?2.A?3.C?4.B?5.A?6. Se omite la prueba 7. y2=12x o y2=-4x 8. Se omite la prueba. 2 Respuestas de referencia: 1.C?2.C?3.D?4 .A?5.B?6.D?7.B?8.B?9.D?10. .B? 11.(±) 12.x2=4y-3 13.4x-3y +25=0 o 4x-3y-25=0. 14.2x-y-15 =0 15. Prueba breve 16. (1) y2=x-3 (2) 17. o 18. existencia, (-) 19. omitido