Una revisión de los métodos comunes de permutación y combinación

Un resumen es un material escrito que realiza una revisión y análisis integral y sistemático del aprendizaje, trabajo o finalización de un período, que puede hacernos más eficientes. Escribamos juntos un resumen cuidadosamente. ¿Cómo escribir un resumen para que sea útil? El siguiente es un resumen de los métodos de permutación y combinación de uso común que he compilado cuidadosamente. Bienvenido a la colección.

1. Organizar y combinar partes es una de las dificultades en las matemáticas de la escuela secundaria, porque

(1) abstraer varios modelos matemáticos específicos de varios problemas prácticos requiere una gran capacidad de pensamiento abstracto;

(2) Las restricciones a veces son oscuras y requieren que comprendamos con precisión las palabras clave de la pregunta (especialmente correlatos lógicos y cuantificadores);

(3) Cálculo El método es simple y tiene poca conexión con el conocimiento antiguo, pero requiere pensar mucho al elegir un plan de cálculo correcto y razonable.

(4) A menudo no se puede probar si el plan de cálculo es correcto mediante métodos intuitivos; Se requiere que comprendamos conceptos y principios y tengamos fuertes habilidades analíticas.

Dos principios básicos de conteo y sus aplicaciones

(1) Principio de suma y método de conteo de clasificación

1 Principio de suma

2. La forma establecida del principio de suma

3. Requisitos de clasificación

Cada método en cada clase puede completar esta tarea de forma independiente, los métodos específicos en los dos métodos diferentes son diferentes entre sí ( Es decir, la clasificación no se repite); cualquier método para completar esta tarea pertenece a una determinada categoría (es decir, la clasificación no se pierde)

(2) Principio de multiplicación y método de conteo de pasos.

1. Principio de multiplicación

2. Requisitos razonables paso a paso

Un método en cualquier paso no puede completar esta tarea solo completando estos n. los pasos pueden completar esta tarea continuamente; cada paso es independiente entre sí; siempre que el método utilizado en un paso sea diferente, el método correspondiente para completarlo también es diferente.

[Análisis de ejemplos] Conferencias seleccionadas sobre métodos de pensamiento de permutación y combinación

1. Primero, aclare el significado de la tarea.

Ejemplo 1. Una secuencia aritmética se forma a partir de 1, 2, 3,... y 20, y secuencias aritméticas tan diferentes son _ _ _ _ _ _.

Análisis: Primero, los antecedentes complejos de la vida u otros antecedentes matemáticos deben transformarse en problemas claros de permutación y combinación.

Supongamos que a, b, c son iguales, ∴ 2b=a+c, sabemos que b está determinado por a, c

Y ∵ 2b es un número par, ∴ a , c es un número impar o Número par, es decir, elija dos números de los diez números 1, 3, 5,..., 19 o 2, 4, 6, 8,..., 20, de los cuales la secuencia aritmética se puede determinar, por lo que esta La pregunta es 2.

Ejemplo 2. Una ciudad tiene cuatro calles de este a oeste y seis calles de norte a sur, con el mismo espaciamiento entre calles, como se muestra en la figura. Si se estipula que sólo se puede ir en dos direcciones a lo largo de la ruta de la figura, ¿cuántas maneras diferentes hay de M a N?

Análisis: El análisis del fondo real se puede realizar capa por capa.

(1) De M a N, debes subir tres pasos, cinco pasos hacia la derecha y ocho pasos hacia * * *.

(2) Que cada paso sea ascendente o correcto determina los diferentes caminos a seguir.

(3) De hecho, cuando se decide el paso hacia arriba, los pasos restantes solo pueden moverse hacia la derecha.

Entonces, la tarea se puede describir como: Elija qué tres pasos subir de los ocho pasos, y luego podrá determinar el número de pasos.

La respuesta a esta pregunta es:=56.

2. Presta atención a las características del principio de suma y del principio de multiplicación, y analiza si es clasificación o paso a paso, permutación o combinación.

Ejemplo 3. En un campo de lado a lado con 10 caballones, elija dos caballones para plantar los cultivos A y B respectivamente, y un caballon de cada tipo. Para facilitar el crecimiento del cultivo, se requiere que el intervalo entre dos cultivos sea de al menos 6 crestas. Existen _ _ _ _ _ _ diferentes métodos de selección.

Análisis: La condición de que "la distancia entre los cultivos A y B no sea inferior a 6 crestas" no se puede expresar fácilmente mediante una fórmula que incluya el número de filas y combinaciones, por lo que se adopta un método de clasificación.

La primera categoría: A está en la primera cresta y B tiene tres opciones;

La segunda categoría: A está en la segunda cresta y B tiene dos opciones;

La tercera categoría: A está en la tercera cresta y B tiene una opción.

De manera similar, las posiciones de A y B se intercambian, hay 12 maneras.

Ejemplo 4. Elija 4 pares de guantes de 6 pares de guantes de diferentes colores, uno de los cuales es del mismo color _ _ _ _ _ _ _ _ _.

240(B)180(C)120(D)60

Análisis: Obviamente este problema debe resolverse paso a paso.

(1) Hay una manera de elegir un par de guantes del mismo color entre 6 pares.

(2) Hay una manera de elegir uno de los diez guantes restantes; .

(3) Además de los dos pares de guantes mencionados anteriormente, hay otra forma de elegir uno entre los ocho pares de guantes

(4) Porque la selección no tiene nada; que ver con el orden, por lo tanto, los métodos de selección en (2) y (3) se repiten una vez, por lo que hay ***240 tipos.

Ejemplo 5. Seis personas de diferentes alturas están dispuestas en 2 filas y 3 columnas. Todos los de la primera fila son más bajos que las personas de detrás de la misma fila, por lo que el número de todos los arreglos diferentes es. _ _ _ _ _.

Análisis: Siempre que se seleccionen dos personas en cada columna, solo hay una forma de ubicarse, por lo que el método de cola de cada columna solo está relacionado con el método de selección de esta persona. * * *Hay tres columnas, entonces = 90 especies.

Ejemplo 6. De los 11 trabajadores, 5 solo pueden ser cerrajeros, 4 solo pueden ser tornos y los otros 2 pueden ser cerrajeros y tornos. Ahora, entre las 11 personas, 4 son seleccionadas como instaladores y 4 como tornos. ¿Cuántos métodos de selección diferentes existen?

Análisis: Utilizando el principio de la suma, primero debemos asegurarnos de que no se pierda ningún punto sin sopesar. ¿Cómo hacer esto? Los criterios de clasificación deben ser consistentes.

Tome dos trabajadores generales como objeto de clasificación y considere utilizar a varios de ellos como cerrajeros como estándar de clasificación.

La primera categoría: estas dos personas quieren ser cerrajeros y tienen pelotas;

La segunda categoría: una de las dos personas quiere ser instalador y tiene semillas;

La tercera categoría: Ninguno de los dos puede lucirse, pero tienen el balón.

Entonces hay 185 tipos**.

Ejemplo 7. Hay seis tarjetas impresas con 0, L, 3, 5, 7 y 9. Si se permite que el 9 sirva como 6, ¿cuántos números diferentes de tres dígitos se pueden formar sacando tres cartas al azar?

Análisis: Algunos estudiantes piensan que solo las permutaciones de 0, L, 3, 5, 7 y 9 deben multiplicarse por 2, pero de hecho, si hay 9 en los tres números, es posible utilizar 6 en su lugar, por lo que debe clasificarse.

Los tres números extraídos contienen 0 y 9, hay una manera;

Los tres números extraídos contienen 0 pero no 9, hay una manera;

Los extraídos Hay una manera de encontrar tres números que contengan 9 pero no 0;

Los tres números extraídos no contienen ni 9 ni 0. Hay una manera.

Y como el número 9 se puede utilizar como 6, existen 2 × (+)+= 144 métodos.

Ejemplo 8. El estacionamiento tiene una fila de 12 espacios de estacionamiento. Hoy hay que aparcar 8 coches y las plazas de aparcamiento vacías deben conectarse entre sí. Las diferentes formas de aparcar son _ _ _ _ _ _.

Análisis: trate el espacio de estacionamiento vacío como un elemento y dispóngalo con ocho autos y nueve elementos, de modo que * * * exista un método de estacionamiento.

3. Se debe dar prioridad a los elementos especiales; posiciones especiales, prioridad

Ejemplo 9. Seis personas estaban en fila pidiendo limosna.

(1) El número de permutaciones en las que A no está al principio y B no está al final.

(2) El número de líneas donde A no está al principio, B no está al final y A y B no son adyacentes.

Análisis: (1) Primero considere la primera fila y la última fila, pero estos dos requisitos se afectan entre sí, así que considere la clasificación.

Categoría 1: B está en la cúspide de la tormenta y tiene una manera de mantenerse en pie.

Categoría 2: B no está en la primera fila y, por supuesto, no puede estar en la última fila, por lo que hay una manera de pararse.

* * * * *Método de pie.

(2) Categoría 1: A está al final y B está al principio. Hay una manera.

La segunda categoría: A está al final de la fila y B no está al principio. Hay una manera.

La tercera categoría: B es pionero, A no es pionero. Hay una manera.

Categoría 4: A no está al final de la fila y B no está al principio. Hay una manera.

***+2+=312 especies.

Ejemplo 10. Se prueban uno por uno seis productos auténticos diferentes y cuatro productos defectuosos diferentes de un producto hasta que se identifican todos los productos defectuosos. Si la quinta prueba encuentra todos los productos defectuosos, ¿cuántos métodos posibles de prueba existen?

Análisis: El significado de esta pregunta es que el producto probado por quinta vez debe estar defectuoso, y también es la última vez, por lo que la quinta prueba debe usarse como una posición especial y completarse paso a paso. paso.

El primer paso: existe la posibilidad de la quinta prueba;

El segundo paso: las primeras cuatro veces son genuinas.

Paso 3: Las primeras cuatro veces son posibles.

* * *Es posible.

4. Encuadernación e inserción

Ejemplo 11. Ocho personas se alinearon.

(1) A y B deben ser adyacentes (2) A y B no son adyacentes.

(3) A y B deben ser adyacentes y C no debe ser adyacente. (4) A y B deben ser adyacentes y C debe ser adyacente.

(5) El Partido A y el Partido B no son adyacentes, y el Partido B y el Partido D no son adyacentes.

Análisis: (1) Hay una manera.

(2) Hay una manera.

(3) Hay una manera.

(4) Hay una manera.

(5) Este problema no se puede interpolar ni se puede interpolar continuamente.

Solución indirecta: Disposición completa - El Partido A y el Partido B son adyacentes - El Partido B y el Partido B son adyacentes + El Partido A y B son adyacentes + El Partido D y el Partido B son adyacentes, * * *-+= Método 23040.

Ejemplo 12. Alguien disparó ocho tiros, cuatro tiros y exactamente tres tiros seguidos. ¿Cuántas situaciones diferentes hay?

Análisis: ∵Tres hits consecutivos no pueden ser adyacentes a un solo hit, por lo que este es un problema de inserción de espacios. Además, no hace ninguna diferencia si no peleas, por lo que no es necesario contar. Es decir, la disposición de aire dos de cinco formada entre los cuatro cañones vacíos.

Ejemplo 13. Hay diez farolas, numeradas 1, 2, 3,..., 10 en la carretera. Para ahorrar energía y ver la carretera con claridad, puede apagar tres luces, pero no puede apagar dos o tres luces adyacentes al mismo tiempo. ¿Cuántas formas hay de apagar una luz calificada?

Análisis: Las luces que se apagan no pueden ser contiguas ni en ambos extremos.

Como no hay diferencia entre las luces, el problema es elegir las tres luces vacías para apagarlas en los seis espacios formados por las siete luces sin incluir los dos extremos.

* * * = 20 métodos.

4. Método de conteo indirecto. (1) Método de eliminación

Ejemplo 14. Tres filas y tres columnas * * * Nueve puntos ¿Cuántos triángulos se pueden formar con estos puntos como vértices?

Análisis: Algunos problemas son difíciles de resolver directamente y se pueden utilizar métodos indirectos.

El número de métodos de resolución de problemas = el número de combinaciones de tres puntos cualesquiera - * * *El número de métodos de los tres puntos en la línea,

* * *especie .

Ejemplo 15. ¿Cuántos tetraedros se pueden formar tomando cuatro de los ocho vértices de un cubo?

Análisis: el número de métodos de resolución de problemas = el número de combinaciones de cuatro puntos seleccionados al azar -* * *El número de métodos de cuatro puntos en el plano,

* * *—12 = 70 —12 = 58.

Ejemplo 16. l, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 1

Análisis: Porque la base no puede ser 1.

(1) Al seleccionar 1, 1 debe ser un número real.

(2) Cuando no se selecciona 1, se seleccionan dos de 2 a 9 como números base, números reales, * * *, donde log24=log39, log42=log93, log23=log49, log32=log94 .

Entonces un * * * tiene 53.

(3) Inventa un escenario ficticio y conviértelo en un problema familiar.

Ejemplo 17. Seis personas se alinean en fila y se requiere que A esté frente a B (no necesariamente adyacente). ¿Cuántas formas diferentes hay? ¿Qué pasa si se requiere que los partidos A, B y C se organicen de izquierda a derecha?

Análisis: (1) De hecho, A está delante de B y A está detrás de B. Son simétricos y tienen el mismo número de disposiciones. Entonces hay = 360 especies.

(2) Primero considere la disposición completa de seis personas; en segundo lugar, A, B y C solo pueden estar en un orden, por lo que los números de la fila anterior se repiten, ∴ * * = 120.

Ejemplo 18.5 Los equipos de voleibol masculino y femenino forman una fila y los niños deben ordenar del más alto al más bajo. ¿Cuántas formas diferentes hay?

Análisis: En primer lugar, independientemente de los requisitos de posición de los niños, hay tipos * * *; los niños solo tienen un método de posición de izquierda a derecha en orden de alto a bajo, por lo que el método de posición anterior. se repite varias veces. Entonces hay =9×8×7×6=3024 tipos.

Si los niños van de derecha a izquierda en orden del más alto al más bajo, solo hay una manera de pararse, y hay 3024 maneras de la misma manera, por lo que hay 6048 maneras.

Ejemplo 19. Se alinean tres bolas rojas idénticas y dos bolas blancas diferentes. ¿Cuántas formas diferentes hay?

Análisis: Primero, se cree que las tres bolas rojas son diferentes entre sí, y existen * * * métodos. Debido a que las tres bolas rojas ocupan la misma posición, * * * cambia, entonces *** = 20 tipos.

5. Uso de deflectores

Ejemplo 20.10 las cuotas se asignan a ocho clases y cada clase tiene al menos una cuota. ¿Cuántos métodos de asignación diferentes existen?

Análisis: Trate las 10 posiciones como diez elementos. En los nueve espacios formados entre estos diez elementos, seleccione siete posiciones para colocar el deflector, de modo que cada método de colocación sea equivalente a un método de asignación. Entonces ***36 tipos.

6. Preste atención a las diferencias y conexiones entre permutaciones y combinaciones: se puede considerar que todas las permutaciones toman la combinación primero y luego hacen la disposición general de manera similar, como agregar una etapa (clasificación); , se puede transformar en un problema de permutación.

Ejemplo 21. Elija dos números pares y tres números impares de 0, L, 2

Análisis: seleccione primero y luego clasifique. Además, se debe considerar la selección de elementos especiales 0.

(1) Si los dos números pares seleccionados contienen 0, hay una semilla.

(2) Si los dos números pares seleccionados no contienen 0, hay una semilla.

Ejemplo 22. En el ascensor, que para en cada uno de los 10 pisos, viajan siete pasajeros. Si salen tres pasajeros del mismo piso, otros dos salen del mismo piso y los dos últimos salen de un piso diferente, ¿cuántas maneras diferentes hay de bajar las escaleras?

Análisis: (1) Primero divida a los siete pasajeros en cuatro grupos: tres pasajeros, dos pasajeros, un pasajero y una persona.

(2) Selecciona cuatro de los 10 pisos y baja.

* * *Tienes agallas.

Ejemplo 23. Usa los números 0, 1, 2, 3, 4 y 5 para formar un número de cuatro dígitos. No repitas los números.

(1) ¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar?

(2) ¿Cuántos números pares diferentes de cuatro cifras se pueden formar?

(3) ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden dividir entre 3?

(4) Ordena los cuatro dígitos en (1) de pequeño a grande ¿Cuáles son los 85 elementos?

Análisis: (1) Hay uno.

(2) se divide en dos categorías: 0 en la parte inferior, hay semillas; 0 no está en la parte inferior, hay semillas.

* * * * *Especie.

(3) Primero, enumera los cuatro números cuya suma puede ser divisible por 3 de menor a mayor, es decir, elige primero.

0,1,2,3

0,1,3,5

0,2,3,4

0 ,3,4,5

1,2,4,5

Los números que ordenan deben ser divisibles por 3, y luego ordenados quedan: 4×()+= 96 tipos.

(4) El primero con 1 tiene = 60.

Los dos primeros dígitos son 20 =12.

Los dos primeros dígitos son 21 =12.

Por lo tanto, el elemento 85 es el número más pequeño cuyos dos primeros dígitos son 23, que es 2301.

7. Problema de agrupación

Realización 24. Seis libros diferentes

(1) Entrega dos copias a tres personas, A, B y C, a cada una. ¿Cuántas formas diferentes hay?

(2) Divídelo en tres montones, con dos libros en cada montón. ¿Cuántas formas diferentes hay?

(3) Dividido en tres montones, un montón, dos montones y tres montones, ¿cuántas formas diferentes hay?

(4) A, B, C, ¿cuántas formas diferentes hay?

(5) Dáselo a la Parte A, a la Parte B y a la Parte C, uno para cada persona, dos para cada persona y tres para la tercera persona. ¿Cuántas formas diferentes hay?

Análisis: (1) Moderado.

(2) es quitar el orden basado en (1) y tener semillas.

(3) Hay semillas. Debido a que se trata de una agrupación desigual, no se incluye el orden.

(4) Hay uno. Al igual que (3), la razón es que las tenencias de A, B y C son ciertas.

(5) Hay semillas.

Ejemplo 25. Seis personas se sientan en dos autos diferentes. Cada auto tiene capacidad para cuatro personas, por lo que las diferentes formas de viajar son _ _ _ _ _ _.

Análisis: (1) Considere dividir 6 personas en 2 y 4 personas, y 3 y 3 personas en dos grupos respectivamente.

Categoría 1: Dividir equitativamente en grupos de 3 personas. Hay una manera.

Categoría 2: Dividir en grupos de 2 y 4 personas. Hay una manera.

(2) Considere dos autos diferentes.

Integral ①②, hay semillas.

Ejemplo 26. Cinco estudiantes fueron asignados a cuatro grupos de tecnología diferentes para participar en las actividades. Cada grupo de tecnología tiene al menos un estudiante participando, por lo que hay _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ formas de asignación.

Análisis: (1) Primero, divida a los cinco estudiantes en dos grupos, una persona en cada grupo y una persona en cada grupo.

Implica dividir en cuatro grupos por igual, y existen tipos de métodos de agrupación.

(2) Considere asignarlos a cuatro grupos de tecnología diferentes. Hay un tipo,

Según (1) y (2), ***=240 tipos.

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