Preguntas típicas y procesos de solución de permutaciones y combinaciones matemáticas
Antes de presentar los métodos de permutación y combinación, primero comprendamos las fórmulas de cálculo básicas.
C5 toma 3 = (5×4×3)/(3×2×1) C6. Tome 2 = (6 × 5) / (2 × 1)
Se puede ver en estos dos ejemplos
CM toma N. La fórmula es N números consecutivos comenzando desde la semilla número M. El producto descendente de números naturales se utiliza como numerador. El nivel con el valor N se utiliza como denominador
P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×. 2×1
A través de estos dos ejemplos
PMN = el producto descendente de N números naturales consecutivos a partir de M y él mismo Cuando N = M, es el nivel de M
p>La esencia de la permutación y combinación es estudiar "A partir de n elementos diferentes, seleccione aleatoriamente m (m≤n) elementos, varias posibilidades de colocación ordenada y desordenada. El signo que distingue la disposición y la combinación es "ordenado". y "desordenado".
Hay dos formas de pensar al responder problemas de permutación y combinación:
La primera es ver si el problema está ordenado o desordenado. ¿Usar "arreglar" para? orden y "arreglar" para desorden. Combinación";
La segunda pregunta es si el problema debe clasificarse o dividirse en pasos. Utilice "suma" para clasificación y "multiplicación" para pasos.
Clasificación: "Haga una cosa," Puede haber n tipos de métodos para completarlo ", que es una clasificación de todos los métodos para completar este asunto. Al clasificar, primero determine un estándar de clasificación adecuado para ello de acuerdo con las características del problema y luego clasificarlo según este estándar; en segundo lugar, se debe prestar atención a dos principios básicos al clasificar: ① Cualquier método para lograr esto debe pertenecer a una determinada categoría ② Dos métodos que pertenecen a diferentes categorías son métodos diferentes;
Paso: "Para hacer una cosa, es necesario dividirla en n pasos para completarla". Esto significa que cualquier método para completarla debe dividirse en n pasos. determinar un paso según las características del problema. Estándares factibles paso a paso; en segundo lugar, el establecimiento de pasos debe cumplir con los requisitos para completar la tarea y solo después de completar los n pasos continuamente, la tarea se completará finalmente. /p>
La diferencia entre los dos principios es que uno está relacionado con la clasificación y el otro está relacionado con el paso a paso. Si hay n tipos de formas de completar una cosa, estos n tipos de métodos lo son. independientes entre sí, y no importa qué método en ese tipo de método pueda completar la cosa por sí solo. Para encontrar el número de formas de completar algo, use el principio de suma si completar algo debe dividirse en n pasos, cada uno de los cuales; es indispensable, es decir, se deben completar todos los pasos para completar el objeto y completar cada paso. Hay varios métodos diferentes para cada paso. Para encontrar el tipo de método para completar esto, use el principio de multiplicación
Al resolver problemas escritos de permutación y combinación, debes prestar atención a los siguientes puntos:
1. Formas proposicionales comunes de problemas de permutación con restricciones:
"En" y "No en"
"Adyacente" y "No adyacente"
Al resolver problemas It Es necesario dominar las ideas y métodos básicos de resolución de problemas:
⑴ Al resolver problemas "adyacentes", a menudo se utiliza el "método de fusión de elementos". es cómo lidiar con El método de adyacencia más utilizado
⑵ El método más utilizado para resolver problemas "no adyacentes" es el "método de inserción vacía". En" y "No en" Los problemas a menudo involucran elementos especiales o posiciones especiales, y los elementos especiales o posiciones especiales generalmente se organizan primero.
⑷ Si los elementos están organizados con restricciones de orden, puede ignorar el orden primero las restricciones y una vez completado el arreglo, utilice el orden prescrito Encuentre el resultado según la situación real
2. Problemas de combinación con condiciones restrictivas, formas de proposiciones comunes:
"Inclusivo" y "Exclusivo"
"Al menos" y "Como máximo"
En solución Comúnmente Los métodos utilizados al responder preguntas incluyen "método directo" o "método indirecto". Cuando se trate de cuestiones integrales de disposición y combinación, analice las condiciones y clasifíquelas según la naturaleza de los elementos, de modo que no haya énfasis ni omisión, paso a paso según el proceso de ocurrencia del evento, y utilice correctamente los dos. principios alternativamente. Esta es la clave para resolver el problema de disposición y combinación. La forma de pensar más básica e importante.
Proporcione 10 ejercicios para que todos practiquen.
1.
El número de triángulos cuyas longitudes de lados son todas enteras y cuya longitud de lado máxima es 11 es (C)
(A) 25 (B) 26 (C) 36 (D) 37
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Análisis
Según el principio de los lados de un triángulo, la suma de dos lados es mayor que el tercer lado, y la diferencia entre los dos lados es menor que el tercer lado
Se puede ver que el lado más grande es 11
Entonces la suma de los dos lados exteriores no puede exceder 22, porque cuando los tres lados son 11, la suma de los dos lados es la mayor
Por lo tanto, utilizamos un Comience a analizar la longitud del lado
Si es 11, entonces la longitud del otro lado es 11. ,10,9,8,7,6,.1
Si es 10, entonces la longitud del otro lado La longitud del lado es 10,9,8.2,
(No puede ser 1, de lo contrario la suma de los dos será menor que 11, y no puede ser 11, porque el primer caso incluye la combinación de 11,10)
Si es 9, la longitud del otro lado es 9, 8, 7,.3
(El motivo es el mismo que el anterior, se puede ver que aparece el patrón)
El número total de patrones ocurrencias es 11＋9＋7+ 1＝（1＋11）×6÷2＝36
2.
(1) ¿Cuántas formas diferentes hay de poner 4 letras en 3 buzones de correo? p>
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Hay 3 opciones para analizar cada letra. Existe una relación paso a paso entre letras. Pondrá la primera letra primero, hay 3 posibilidades, luego se coloca la segunda letra, y hay 3 posibilidades, hasta la 4ta letra, entonces el paso a paso pertenece al principio de multiplicación, es decir, 3×3×3×. 3=3^4
( 2) ¿Cuántas formas diferentes de alojamiento hay para que 3 viajeros se alojen en 4 hoteles
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El análisis es similar a la situación anterior. Para cada pasajero, tenemos 4 opciones. No hay relación entre las opciones y no es una relación de clasificación. Por ejemplo. : Primero organizamos 4 opciones para el primer pasajero y luego organizamos 4 opciones para el segundo pasajero. También hay 4 posibilidades para conocer el último pasajero. Según el principio paso a paso, es una relación multiplicativa. es, 4×4×4=4^3
(3) 8 libros diferentes, elige 3 y divídelos entre 3 ¿Cuántas formas diferentes hay para los estudiantes, cada uno con una copia?
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Haz el análisis paso a paso
El primer paso: Primero seleccionamos 3 libros, es decir, cuántas posibilidades ¿Existen? C8 toma 3 = 56 tipos
El segundo paso: asígnelo a 3 estudiantes P33 = 6 tipos
Introduzcamos brevemente por qué es P33. donde el primer estudiante puede tener 3 opciones de libros una vez completada la selección, al segundo estudiante le quedan solo 2 opciones y el último estudiante no tiene opción. Es decir, 3 × 2 × 1. Esta es una selección paso a paso. que se ajusta al principio de multiplicación. El ejemplo más común es ¿cuántos números de 4 dígitos se pueden componer de los cuatro números 1, 2, 3 y 4? También satisface ese principio paso a paso. usar P para el cálculo es Hay restricciones entre cada paso, es decir, la elección del siguiente paso está comprimida por el paso anterior
Entonces el resultado de esta pregunta es 56 × 6 = 336
3.
Siete estudiantes se alinearon en una fila horizontal para tomar fotografías
(1) ¿Cuántas disposiciones diferentes hay en las que A no puede pararse al frente o? al final de la fila? (3600)
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Análisis
p>
Completaremos esta pregunta en 2 pasos
El primer paso: Primero dé una de las 5 posiciones en las que la fila A debe clasificarse en el medio, es decir, C5, tome 1 = 5
Paso 2: Las 6 personas restantes satisfacen el principio P P66=720
Entonces el total es 720×5=3600
(2) La persona B puede solo estar en la parte superior o en la cola ¿Cuántas formas diferentes de organizar la cola hay (1440)
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Análisis
Paso 1: Determine dónde está B en la parte superior de la lista y elija uno de ellos, C2 1＝2
Paso 2: Las 6 personas restantes satisfacen el principio P P66＝720
Luego. el número total es 720×2＝1440
(3) ¿Cuántos arreglos diferentes hay en los que A no está al principio ni al final de la fila y B no está en el medio (3120)
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Analice situaciones especiales y organice las especiales primero
La primera situación: A no está al principio ni al final de la fila y no está en el medio
Elimina 3 posiciones y deja 4 posiciones para que A elija C4 toma 1=4, y las 6 posiciones restantes se colocan primero en el medio, es decir, Excepto A y B, el otro. cinco personas pueden comenzar con 5, y las cinco posiciones restantes satisfacen el principio P, es decir, 5 × P55 = 5 × 120 = 600, y el total es 4 × 600 = 2400
Situación No. 2 : A no está al principio ni al final de la fila, pero A está en la posición media
Entonces las 6 posiciones restantes satisfacen P66=720
Porque es una discusión de clasificación , el resultado final es dos La suma de estas situaciones es 240720=3120
(4) ¿Cuántas formas hay en las que A y B deben ser adyacentes (1440)
Analizar paquetes adyacentes El principio es que 2 personas se convierten en una persona, 7 posiciones se convierten en 6 posiciones, es decir, discusión paso a paso
No. 1: Seleccionar posición C6 y toma 1 = 6
No. 2: Se ordenan las 2 posiciones seleccionadas para A y B, es decir, P22 = 2
Entonces el número de formas de ordenar A y B para cumplir la situación es 2×6 = 12
Las 5 personas restantes satisfacen la regla de P55 = 120
Entonces el resultado final es 120×12=1440
(5) ¿Cuántos arreglos diferentes hay en los que A debe estar a la izquierda de B (no necesariamente adyacente)? (2520)
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Análisis
Esta pregunta es muy buena, no importa cómo la organices, la probabilidad de que A aparezca a la izquierda de B y a la derecha de B es la misma. Si consideramos los problemas de izquierda y derecha, el número total es P77 = 5040. Según el principio de igual probabilidad de izquierda y derecha, el número de casos de la izquierda es 5040÷2 = 2520
4. Usa los números 0, 1, 2,3,4,5 para formar un número sin dígitos repetidos
(1) ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar (300)
Analice los números de cuatro dígitos comenzando desde el bit alto hasta el bit bajo. El bit alto no se puede clasificar como 0. Entonces solo hay 5 posibilidades
Las siguientes tres posiciones satisfacen el. Principio P53 = 5×4×3=60, es decir, el número total es 60×5=300
(2) ¿Cuántos números naturales se pueden formar (1631)
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El análisis de números naturales se basa en Todos los casos que comienzan con dígitos
Casos parciales
1 dígito: C6 toma 1=6
2 dígitos: C5 toma 2×P22 + C5 toma 1×P11 ＝25
Número de 3 dígitos: C5 toma 3×P33＋C5 toma 2×P22×2＝100
Número de 4 dígitos: C5 toma 4×P44＋C5 toma 3×P33×3 ＝300
5 dígitos: C5 toma 5×P55 + C5 toma 4×P44×4＝600
6 dígitos: 5×P55＝5×120＝600
El número total es 1631
Aquí hay una explicación del método de cálculo, por ejemplo, 2 dígitos: C5 toma 2 × P22 + C5 toma 1 × P11 = 25
Primero, toma de los 5 números que no son 0. Hay 2 permutaciones, es decir, C5 toma 2 × P22. Otra situación es elegir uno de los cinco números que no son 0 y combinarlo con 0 para formar un número de 2 dígitos. número, es decir, C5 toma 1 × P11. Debido a que 0 no se puede usar como el bit más alto, solo hay una posibilidad para el bit más alto (3) ¿Cuántos números impares de seis dígitos se pueden formar? ? (288)
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El bit alto de análisis no puede ser 0 y el dígito de las unidades es un número impar 1, 3 o 5. Considere primero los bits bajos y luego considere los bits altos, es decir, 3×4×P44=12×24=288
(4) ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar que sean divisibles por 25 (21)
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Existen dos posibilidades para analizar números de 4 cifras que son divisibles por 25
Los dos últimos dígitos son 25: 3×3=9
Los siguientes 2 dígitos son 50: P42=4×3=12
*** Total 9+12=21
(5) ¿Cuántos números mayores que 201345? se puede formar? (479)
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Análisis
Del número de 6 dígitos 201345, es el número más pequeño de 6 dígitos con el dígito más alto siendo 2. Entonces podemos ver que el número de 6 dígitos con el dígito más alto mayor o igual a 2 es ¿Cuánto?
4 × P55 = 4 × 120 = 480. Elimina el número 201345, que es decir, el número mayor que 201345 es 480-1 = 479
(6) Encuentra todos los números de tres dígitos Suma (32640)
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Analiza cada posición
La suma en el lugar de las centenas: M1=100×P52(5+4+3+2+1 )
La suma en el lugar de las decenas: M2=4×4×10 (5+4+3+2+1)
La suma del lugar de las unidades: M3=4×4 (5+4+3+2+1)
Suma M ＝M1+M2+M3=32640
5. Producir 100 piezas de un determinado producto, 2 de las cuales son secundarias. Ahora, se seleccionan 5 piezas para inspección
(1) Cómo. ¿Cuántas formas hay de dibujar "hay exactamente dos piezas defectuosas entre ellas" (152096)
El análisis significa que están Entre las 5 piezas inspeccionadas al azar, 3 fueron calificadas, es decir, fueron tomadas de las 98 piezas calificadas Entonces, C2 toma 2 × C98 toma 3 = 152096
(2) "¿Cuántas formas hay de dibujar "hay exactamente un producto defectuoso"? (7224560)
El análisis es el mismo que el análisis anterior. Primero, seleccione 1 producto defectuoso de 2 productos defectuosos y luego seleccione 98 productos calificados.
4 piezas
C2 toma 1 × C98 toma 4 = 7224560
(3) ¿Cuántas formas hay de dibujar "no hay productos defectuosos entre ellos" (67910864)
El análisis consiste en sacar 5 C98 de 98 calificados = 67910864
(4) ¿Cuántas formas hay de sacar "al menos un producto defectuoso entre ellos" (7376656)
Analiza todas las permutaciones y elimina las permutaciones sin productos defectuosos, lo que significa que hay al menos un tipo
C100 toma 5 - C98 toma 5 = 7376656
( 5) "Como máximo uno de ellos. ¿Cuántas formas hay de dibujar "productos defectuosos"? (75135424)
Analice todas las situaciones de arreglo y elimine la situación con 2 productos defectuosos, es decir, la situación con al menos más un producto defectuoso
C100 toma 5 - C98 toma 3 = 75135424
6. Elija al azar 3 televisores de 4 televisores tipo A y 5 televisores tipo B, entre los cuales debe haber ser al menos 1 televisor tipo A y 1 tipo B en Taiwán, los diferentes métodos para tomar *** son ( )
(A) 140 tipos (B) 84 tipos (C) 70 tipos (D). ) 35 tipos
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Análisis Según las condiciones, podemos dividirlo en dos situaciones
La primera situación: 2 Taiwán A + 1 Taiwán B, es decir, C4 toma 2×C5 y toma 1=6×5=30
La segunda situación: 1 Taiwán A + 2 Taiwán B, es decir, C4 toma 1 × C5 toma 2 = 4 × 10 = 40
Entonces el número total es 30 + 40 = 70 tipos
7. Entre 50 productos, 4 son defectuosos. Hay __ formas de sacar 5. de 50 productos y al menos 3 de ellos están defectuosos
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Análisis: Si hay al menos 3 piezas, significa que son 3 o 4 piezas.
3 piezas: C4 toma 3×C46 toma 2 = 4140
4 piezas: C4 Toma 4×C46 y toma 1 = 46
El *** el cálculo es 4140 + 46 = 4186
8. Hay tres tareas A, B y C. A debe ser realizada por 2 personas, B y C requieren 1 persona para realizar cada tarea Seleccione 4 personas de. 10 personas para realizar estas tres tareas. Los diferentes métodos de selección son (C)
(A) 1260 formas (B) 2025 formas (C )2520 especies (D)5040 especies
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Análisis completado paso a paso
El primer paso : Primero seleccione 4 personas de 10 personas: C10 toma 4 = 210
El segundo paso: El trabajo asignado a A y B es C4 Toma 2 × C2, toma 1 × C1, toma 1 = 6 × 2 × 1 = 12 situaciones
Luego, según el principio paso a paso, la relación de multiplicación es 210 × 12 = 2520
9.° y 12.° lugar Los estudiantes fueron a tres intersecciones diferentes para realizar encuestas de flujo de tráfico Si hay 4 personas en cada intersección, los diferentes planes de asignación son ***
C(4,12)C(4,8 )C(4,4)
___ especies
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Analiza cada intersección y considéralo en orden
El primer cruce es C12, toma 4
El segundo cruce es C8, toma 4
El tercer cruce es C4 tomando 4
Entonces el resultado es C12 tomando 4×C8 tomando 4×C4 tomando 4
Quizás alguien aquí diga que tres caminos diferentes no requieren P33. De hecho, este no es el caso. Cuando seleccionamos aleatoriamente el número de personas de las 12 personas, estas situaciones de clasificación en realidad incluyen situaciones de diferentes carreteras. Si se repite × P33, se repetirá.
Considerado
Si no se considera la diferencia en las intersecciones aquí, es decir, si todas son iguales, la situación será diferente porque consideramos las diferencias en las intersecciones al asignar el número de personas. Al final tenemos que eliminar esta posible situación, por lo que en lo anterior si el resultado es ÷P33
10. Hay 8 programas originales en una lista de programas si el orden relativo de los programas originales permanece sin cambios y. Se agregan tres programas más, ¿cuántos programas habrá? ¿Qué tipo de método de disposición 990
Análisis
Este es un método de permutación y combinación llamado método de doble inserción
p>
Es más problemático responder directamente, por lo que puede usarlo primero. Hay P (9,1) formas de insertar 9 vacantes en un programa. Hay P (10,1) formas de insertar 10 vacantes en; otro programa; y hay P(10,1) formas de insertar 11 vacantes en el último programa. El método P(11,1) se deriva del principio de multiplicación: todos los métodos de suma diferentes son P(9,1)×P. (10,1) × P (11,1) = 990
Además, primero coloque los tres programas recién agregados en las 11 posiciones con P (11,3) y luego complete el original. 8 programas en las 8 posiciones restantes. Solo hay una solución, por lo que todos los métodos tienen P311×1 =990 especies.