La fórmula general de la secuencia de 10 números
La fórmula del término general de una secuencia expresa directamente la esencia de una secuencia y es un método importante para dar una secuencia. La fórmula general de una serie tiene dos funciones. Primero, cualquier término de la serie se puede encontrar mediante la fórmula general de la serie. En segundo lugar, podemos usar la fórmula general del término de la secuencia para determinar si un número es un término de la secuencia y qué término es. Por lo tanto, encontrar la fórmula general de una serie es uno de los tipos de preguntas más comunes en matemáticas de secundaria. No sólo examina las ideas matemáticas de transformaciones y reducciones equivalentes, sino que también refleja la comprensión de las series de los estudiantes. Tiene ciertas habilidades y es uno de los elementos para medir la calidad matemática de los estudiantes, por lo que muchas veces penetra en los exámenes de ingreso a la universidad y en los concursos de matemáticas. Este artículo presenta varios métodos comunes para encontrar el término general de una serie para inspirar a los lectores.
Primero, términos generales de sucesiones regulares
Ejemplo 1: Encuentra la fórmula general de la siguiente secuencia
(1)2(22—1), 3 (32-1), 4(42-1), 5(52-1),…
(2)-1×2(1), 2×3(1),-3×4 (1), 4×5(1),…
(3)3(2), 1, 7(10), 9(17), 11(26),…
Solución: (1) An = n (N2-1) (2) An = n (n 1) (-1) n) (3) An = 2n 1 (N2 6538)
Comentarios : Observe atentamente las características estructurales de los datos dados, descubra la relación correspondiente entre an y n y escriba la expresión correspondiente correctamente.
2. Término general para series aritméticas y geométricas
Utilice la fórmula de término general an = a1 (n-1) d y an = a1qn-1 para escribir directamente el término general, pero primero Encuentre el primer término, la tolerancia y la razón común según las condiciones.
Tercero, terminología general de secuencia de swing
Ejemplo 2: Escribir la secuencia 1, -1, 1, -1,...
Solución: una = (-1) n-1
Variación 1: Encuentra la secuencia 0, 2, 0, 2, 0, 2,...
Análisis y solución: Si restamos de 1 Eliminando cada término, el orden es -1, 1, -1, 1,...
Entonces la fórmula general de la serie es an = 1 (-1) n.
Variación 2: Encuentra la fórmula general de la secuencia 3, 0, 3, 0, 3, 0,….
Análisis y solución: Si cada elemento se multiplica por 3(2), la secuencia queda 2, 0, 2, 0,...
Entonces la fórmula general de la serie es un = 2(3)[1 (-1)n-1].
Variación 3: Encuentra la secuencia 5, 1, 5, 1, 5, 1,...
Análisis y solución 1: Si cada elemento se resta de 1, la secuencia será Se convertirá en 4, 0, 4, 0,...
Entonces la fórmula general de la secuencia es an = 1 2×3(2)[1 (-1)n-1] = 1 3(4) [1 (-65438)
Análisis y Solución 2: Si cada elemento se resta de 3, la secuencia se convierte en 2, -2, 2, -2,...
Entonces la fórmula general de la secuencia es an = 3 2 (-1) n-1.
Cuarto, el término general de la secuencia cíclica
Ejemplo 3: Escribe la secuencia 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001,…
Solución: an= 10n ( 1)
Variación 1: Encuentra la secuencia 0.5, 0.05, 0.005,...
Solución: an= 10n(5)
Variación 2: Encuentra la secuencia La fórmula general de 0,9, 0,99, 0,999,...
Solución analítica: cada elemento de esta secuencia se suma a cada elemento de la secuencia 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001,... y todos los elementos son 1, por lo que an = 1-65438.
Variación 3: Encuentra la fórmula general de la secuencia 0.7, 0.77, 0.777, 0.7777,...
Solución: An = 9(7)(1-10N(1))
Ejemplo 4: Escribe la secuencia 1, 10, 100, 1000,…
Solución: an = 10n-1.
Variación 1: Encuentra la secuencia 9, 99, 999,...
Análisis y solución: Suma 1 a cada elemento de esta secuencia para obtener la secuencia 10, 100, 1000 ,... Entonces an = 10N-1.
Variación 2: Escribe la fórmula general de la secuencia 4, 44, 444, 4444….
Solución: An = 9 (4)(10N-1)
Explicación: En el proceso diario de enseñanza y aprendizaje es necesario aprobar la fórmula general básica de la secuencia, lo cual requiere mejorar Para la eficiencia de la enseñanza y el aprendizaje en el aula, debemos resumir y reflexionar más, prestar atención a la asociación y el análisis comparativo, evitar analogías y no hay que temer a las fórmulas generales de secuencia compleja.
5. Utilizar series aritméticas y geométricas para sumar y encontrar términos generales.
Ejemplo 5: Encuentra la fórmula general de la siguiente secuencia.
(1)0.7, 0.77, 0.777,… (2)3, 33, 333, 3333,…
(3)12, 1212, 121212,… (4)1 , 1 2, 1 2 3,…
Solución: (1)an = = 7×= 7×(0.1 0.01 0.001…)
= 7×(10(1) 102(1) 103(1) … 10n(1))= = 9(7)(1-10n(1))
(2)an = = 3×= 3×(1 10 100 … 10n)= 3×1-10(1-10n)= 3(1)(10n-1)
(3)an = = 12×(1 100 10000 … 100n-1 = 100( 1-100n)= 33(4)(65438 65438
(4)an = 1 2 3…n = 2(n(n 1))
Comentarios: El La clave se basa en El patrón de cambio de los datos y las características de los datos de N elementos son claras.
6 Utilice el método de acumulación para encontrar el término general de an = an-1 f (n). /p>
Ejemplo 6: (1. ) La secuencia {an} satisface a1=1 y an = an-1 3n-2 (n ≥ 2), encuentre an
(2) La secuencia {an} satisface a1=1, an = an- 1 2n (1) (n ≥ 2), encuentre an
Solución: (1) Sabemos por an = an-1 que an. -an-1 = 3n-2, f(n) = 3n -2 = an-an-1
Entonces an =(an-an-1)(an-1-an-2). (an-2-an-3) ……(A2-a 1) a 1.
= f(n) f(n-1) f(n-2) …f(2) a 1
=(3n-2) [ 3(n-1)-2] [3(n-2)-2] … (3×2-2) 1
= 3[n (n-1) (n-2) … 2]-2(n-1) 1
= 3×2((n 2)(n-1))-2n 3 = 2(3n 2-n)
(2) Sabemos que an-an-1 2n (1) es an-an-1 = 2n (1), f (n) = 2n (1 ) = an-an-65438
Entonces an =(an-an-1)(an-1-an-2)(an-2-an-3)……(A2-a 1) ) un 1.
= f(n) f(n-1) f(n-2) …f(2) a 1
= 2n(1) 2n-1(1) 2n -2(1) … 22(1) 1 = 2(1)-2n(1)
Comentarios: Cuando f(n)=d (d es una constante), la secuencia {an} es igual a la secuencia de diferencia, la derivación de la fórmula del término general de la secuencia aritmética en el libro de texto en realidad se obtiene mediante el método de acumulación.
7. Utilice el método de acumulación para encontrar un término general de tipo an = f (n).
Ejemplo 7: (1) Si la secuencia conocida {an} satisface a1=1 y an = n(2(n-1))an-1(n≥2), encuentre an.
(2) La secuencia {an} satisface a1=2(1) y an = 2n (1) an-1, entonces encuentre an.
Solución: (1) Viene dada por las condiciones an-1 (an) = n (2 (n-1)), f (n) = n (2 (n-1)).
an = an-1(an)an-2(an-1)…a 1(a2)a 1 = f(n)f(n-1)f(n-2)…f (2)f(2)a 1
= n(2(n-1))n-1(2(n-2))n-2(2(n-3))…3 (2×2)2(2×1)1 = n(2n-1)
(2)an = an—1(an)an—2(an—1)…a 1(a2 )a 1 = 2n(1)2n-1(1)…22(1)2(1)= 21 2… n(1)= 2
Nota: Si f(n)=q( q es una constante), entonces {an} es una serie geométrica, an = f (n) la serie an-1 es la generalización de series geométricas. De hecho, la derivación de la fórmula general de series geométricas en el libro de texto se deriva mediante el método de acumulación.
8. Utilice el método del coeficiente indeterminado para encontrar el término general de una secuencia = AAN-1 B.
Ejemplo 8: La sucesión {an} satisface a1=1, an 1 2an = 1, encuentra su fórmula general.
Solución: Se sabe que un 1 2AN = 1, es decir, un =-2AN-1 1.
Supongamos que un x = -2 (an-1 x), luego un =-2 an-1-3x, entonces -3x = 1, entonces x =-3 (1).
∴An-3(1)=-2(An-1-3(1))
Por lo tanto, {an-3 (1)} es una razón común q como -2, el primer término es la serie geométrica de an-3 (1) = 3 (2).
∴an-3(1)=3(2)(-2)n-1=3(1-(-2)n)
Comentarios: En términos generales, si an x = a (an-1 x) y an = an-1 (a-1) x, entonces existe.
(a-1) x = b sabe que x = a-1 (b), entonces an a-1(b) = a(an-1 a-1(b)), entonces el secuencia {
An =(A 1 A-1(B))An-1-A-1(B) En particular, cuando A=0, {an} es una secuencia aritmética; ≠ 0, cuando B=0, la secuencia {an} es una secuencia geométrica.
Extensión: Para la fórmula general an = an-1 f (n) (A ≠ 0 y A∈R), la fórmula general también se puede resolver utilizando el método del coeficiente indeterminado.
Ejemplo 9: La secuencia {an} satisface a1=1, an = 2an-1 3n (1) (n ≥ 2), entonces encuentre an.
Solución: Supongamos an x 3n(1)= 2(an x 3n-1(1)), entonces an = 2an-1 2x 3n-1(1).
De lo conocido an = 2an-1 3n (1), entonces 5x=1, luego x=5(1).
Entonces un 5(1)3n(1)= 2(an-1 5(1)3n-1(1)).
Por lo tanto, {an 5 (1) 3n (1)} es q=2, y el primer término es a 1 5(1)3(1)= 15(65438).
Entonces an 5(1)3n(1)= 15(16)×2n-1, entonces an = 15 (16) × 2n-65438.
Comentario: En términos generales, para la condición an = AAN-1 f (n), an g(n) = a[an-1 g(n-1)], entonces existe Ag (n -1). Vale la pena señalar la correspondencia entre an g(n) y an-1 g (n-1). En particular, cuando f(n)=B (B es una constante), es el ejemplo 8 antes mencionado.
¿Se puede promover aún más este enfoque? Para una serie an = f (n) an-1 g (n), ¿podemos usar el método del coeficiente indeterminado para encontrar la fórmula general?
Tomemos un ejemplo para hacer una analogía: expandamos an k(n)= f(n)[an-1 k(n-1)] para obtener.
an = f(n)an-1 f(n)k(n-1)-k(n), entonces f (n) k (n-1)-k (n) = g (n), teóricamente, la secuencia {an} satisface a1=1, an = 2n(n)an-1 n 1(1). Encuentra su fórmula general.
Esto nos da 2n(n)k(n-1)-k(n)= n 1(1). Obviamente, no podemos calcular fácilmente k (n) utilizando conocimientos matemáticos de la escuela secundaria.
9. Encuentra uno hasta Sn
Ejemplo 10: La secuencia {an} satisface an = 5sn-3, entonces encuentra an.
Solución: Supongamos n=1, use A1 = 5an-3, ∴a1=4(3).Como an = 5Sn-3............. .. ................................................. ............. ................................................. ................................ ...................... .......................................... .
Entonces an-1 = 5Sn-1-3............
①-②An-An-1 = 5 (sn-sn-1) ∴ an-an -1 = 5an.
Entonces an =-4 (1) an-1, entonces {an} es la serie geométrica de q =-4 (1) y el primer término an=4(3), entonces an = 4 (3) (-4 (1).
Nota: La relación de recurrencia incluye Sn, y la fórmula general generalmente se obtiene de la relación entre Sn y an (an = sn-sn-1 (n ≥ 2)) Hay dos métodos específicos: uno es convertir la relación entre los primeros n términos y el término general revelado por la relación de recursividad en la relación entre los términos, y luego obtener el término general basado en la nueva relación de recursividad sn. -sn-1 transforma la relación entre la suma de los primeros n términos y el término general revelado por la relación de recursividad en la relación entre la suma de los primeros n términos y la suma de los primeros n-1 términos, y luego obtiene el fórmula de término general basada en la nueva relación de recursividad
10. Transformar el recíproco en una secuencia aritmética
Ejemplo 11: La secuencia {an} satisface a1=1 y
. p>
n 1. =
An 2(2An), encuentra an
Solución: a
n 1=
Un 2(2an ) tiene un 1(1)= 2an(an 2)= 2(1) an(1), lo que significa un 1 (1)-an.
Entonces la sucesión {an(1)} es una sucesión aritmética cuyo primer término es a1(1)=1 y la tolerancia es d=2(1).
Entonces an(1)= 1 (n-1)2(1)= 2(n 1), entonces an=n 1(2).
Comentarios: preste atención a observar y analizar las características estructurales de las condiciones de la pregunta y modifique la relación recursiva dada para que la secuencia numérica esté relacionada con la secuencia deseada (en este caso, la secuencia {an(1 )}) es aritmética o Para series geométricas, solo necesitas resolver la ecuación para obtener la fórmula general.
11. Construya el modelo de función en una serie geométrica.
Ejemplo 12: Se sabe que la secuencia {an} satisface a1=3 y a.
n 1=
(an-1) 2 1, encuentra An.
Solución: Según la condición a
n 1=
(an-1) 2 1 se obtiene a.
n 1-1=
(an-1)2
Los logaritmos de ambos lados son lg(a
n 1 -1)= LG((an-1)2)= 2LG(an-1), es decir
Entonces la sucesión {LG (an-1)} es el primer término LG (a1-1 ) = lg2, una serie geométrica con una razón común de 2.
Por lo tanto, LG(an-1)= lg2 2n-1 = LG.
Entonces an-1 = es decir, an= 1
Comentarios: Al construir una función logarítmica, se logra el grado de reducción de orden y la relación recursiva original se transforma en una serie geométrica.
12. Inducción matemática
Ejemplo 13: La secuencia {an} satisface a1=4 y a.
n=4-
An-1 (4) (n ≥ 2), encuentre An.
Respuesta: Encuentre los primeros elementos de la secuencia a través de la relación recursiva, como se muestra a continuación
a1=4=2 1(2) a2=4-
a1 (4)=3=2 2(2) a3=4-
a2(4)=3(8)=2 3(2)
a4=4 -
a3(4)=2(5)=2 4(2) a5=4-
a4(4)=5(12)=2 5(2) a6 =4-
a5(4)=3(7)=2 6(2)
Adivina: La fórmula general es an=2 n(2). La prueba está dada por inducción
Obviamente, cuando n=1, a1=4=2 1(2), la ecuación se cumple.
Supongamos que cuando n=k, la ecuación se cumple, es decir, ak=2 k(2)
Entonces, cuando n=k 1, a
k 1=4-
ak(4)=4-
k(2))k(2)= 4-k 1(2k)= 2 2-k 1( 2k )= 2 k 1(2)
Según el principio de inducción, an=2 n(2) existe para todo n∈N.
Comentarios: Primero calcule los primeros términos basándose en la relación recursiva, adivine la fórmula del término general observando las características de los datos y luego pruébelo mediante inducción matemática.
Trece. Aplicación integral
Ejemplo 14: Encuentre la secuencia {a
n2=a
N-12 2 (n ≥ 2) cuyos elementos se sabe que son positivos . uno.
Solución: Conocer uno de a
n2=a
N-12 2
n2-a
n-12=2
Entonces la secuencia aritmética de la serie {a
12=1.
Entonces a
N2 = 1 2(n-1)= 2n-1, lo que significa an=
Ejemplo 15: Secuencia {a
n 1=a
n 6a
N-1 (n ≥ 2), encuentra uno.
Solución: Sea a
n 1 λa
n=μ(a
n λa
N -1), entonces
n 1=(μ-λ)a
n μλa
n-1
y a
n 1=a
n 6a
N-1 es la solución o.
Cuando λ=2 y μ=3, A
n 1 2a
n=3(a
n 2a
n=3(a
n 2a
p>N-1), es decir
n 1 2a
No aplicable
n 2a
n-1 ) =3
Entonces la serie geométrica de la serie {a
2 2a
1=15.
Entonces, uno
n 2a
n-1 = 15×3N-1 = 5×3N es a.
n=-2a
n-1 5×3n
Ling
n x 3n =-2(a
N-1 x 3n-1) Entonces a.
n=-2a
N-1-x 3n, entonces x =-1.
Entonces, uno
n-3n =-2(a
n-1-3n-1)
Por lo tanto, {a
La serie geométrica de 1-3 = 2.
Entonces, uno
N-3N = 2× (-2) N-1 es a.
n=3n 2×(-2)n-1=3n-(-2)n
Cuando λ =-3, μ =-2, también se puede obtener A .
n=3n-(-2)n
Por lo tanto, la secuencia {a
n=3n-(-2)n
Resumen: Este artículo solo presenta algunos métodos comúnmente utilizados para encontrar fórmulas para el término general de una secuencia. Se puede ver que encontrar la fórmula general de una secuencia (especialmente la secuencia dada por la relación recursiva) es realmente muy hábil, lo que tiene mucho que ver con los conocimientos básicos, las habilidades y los métodos de pensamiento básicos que hemos aprendido. Por lo tanto, en el proceso diario de enseñanza y aprendizaje, es necesario no solo fortalecer el estudio de conocimientos básicos, métodos básicos, habilidades básicas e ideas básicas, sino también centrarse en cultivar y mejorar la calidad y capacidad matemática. Esto requiere que tanto profesores como estudiantes mejoren la eficiencia de la enseñanza y el aprendizaje en el aula, presten más atención al resumen y la reflexión, se centren en la asociación y el análisis comparativo, eviten analogías y amplíen y profundicen horizontal y verticalmente algunas proposiciones básicas aparentemente discretas. condiciones y conclusiones para revelar sus conexiones y diferencias con determinadas cuestiones, convirtiéndolas en nuevas proposiciones. De esta manera, tanto en términos de divergencia de contenidos como de profundización del pensamiento de resolución de problemas, se puede lograr el efecto de "lucir una rama e injertarla en un bosque", lo que favorece la formación y el desarrollo de ideas innovadoras. pensamiento.