16 formas de demostrar el teorema de Pitágoras

Prueba 1 (prueba de libro de texto) Haz ocho triángulos rectángulos congruentes. Sean a y b las longitudes de sus dos lados rectángulos, y luego haz tres longitudes de lados más. Los cuadrados a, byc se juntan en dos cuadrados como se muestra en la imagen de arriba. Como puedes ver en la imagen, las longitudes de los lados de estos dos cuadrados son a

b, entonces The. las áreas son iguales. Es decir, a? b? 4x1/2ab=c? 4x1/2ab, ¿cuál es a? b?=c?.

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2

El método de prueba 2 (prueba de Zou Yuanzhi) toma a y b

como a la derecha lados del ángulo, haz cuatro triángulos rectángulos congruentes con c como hipotenusa, entonces el área de cada triángulo rectángulo 1ab2 es igual a

Coloca estos cuatro triángulos rectángulos en la forma que se muestra en la figura, entonces. que A y E , tres puntos B están en línea recta, tres puntos B, F y C están en línea recta y tres puntos C, G y D están en línea recta ∵ RtΔHAE ≌

RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠ BEF.∵ ∠AEH ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH ∠BEF = 90o.∴ ∴ ∠HEF =

180o―90o= 90o.∴ El cuadrilátero EFGH es. un cuadrado de longitud de lado c. Su área es igual a c2 ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD =

∠EHA ∵ ∠HGD ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA ∠GHD = 90o. ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA =

90o 90o= 180o.∴ ABCD es un cuadrado de lado a b, y su área es igual a (a b)?.∴(a b)?=4x1/ 2ab c?∴

a?b?=c?.

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3

Método de prueba 3 (prueba de Zhao Shuang) Sean a y b

lados del ángulo recto ( bgt; a), Construya cuatro triángulos rectángulos congruentes con c como hipotenusa, entonces el área de cada triángulo rectángulo 1ab2 es igual a. Coloque estos cuatro triángulos rectángulos en la forma que se muestra en la figura. /p>

RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD ∠HAD = 90o, ∴ ∠EAB ∠HAD = 90o,

2∴ ABCD es un cuadrado con longitud de lado c , y su área es igual a c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.∴

EFGH es un cuadrado con longitud de lado b―a, y su área es igual a (b-a)?. ∴(b-a)?=4x1/2ab c?∴ a?

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4

Método de prueba 4 (certificado del presidente estadounidense Garfield en 1876) con a y b

as Para lados rectángulos, haz dos triángulos rectángulos congruentes con c como hipotenusa Entonces el área de cada triángulo rectángulo 1ab es igual a 2.

Pon estos dos a la derecha. -triángulos en ángulo en la forma que se muestra en la figura. Sean los tres puntos A, E y B en una línea recta ∵

∠AED. ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED ∠BEC = 90o.∴ ∠ DEC = 180o-90o= 90o ∴

ΔDEC es un triángulo rectángulo isósceles, 12c2, su área es igual a. = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.∴

ABCD es un trapecio rectángulo y su área es igual a 1/2(a b)?.∴1/2(a b) ?=2x1/2ab 1/2c?∴ a?b?=c?.

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5

Prueba 5 (Prueba de Mei Wending) Haga cuatro triángulos rectángulos congruentes y asuma dos de sus Las longitudes de los los lados del ángulo recto son a y b

, y la longitud de la hipotenusa es c. Júntelos en un polígono como se muestra en la figura, de modo que D, E y F estén en línea recta. Traza una extensión de AC a través de C. La línea corta a DF en el punto P.∵ D, E y F están en línea recta,

Y RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED, ∵. ∠EGF ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED ∠ GEF =

90°, ∴ ∠BEG =180o-90o= 90o Y ∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG es un. cuadrado con longitud de lado c ∴

∠ABC ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD ∴ ∠EBD ∠CBE = 90o.

Es decir. , ∠CBD= 90o Y ∵ ∠BDE = 90o, ∠BCP = 90o, BC = BD = a.∴

BDPC es un cuadrado con longitud de lado a. b. Sea S el área del polígono GHCBE, entonces a? b?=S 2x1/2ab, c?=S 2x1/2ab∴a? b?=c?.

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6

Prueba 6 (Prueba del artículo Mingda) Construye dos triángulos rectángulos congruentes. Sean a y b (bgt;) las longitudes de sus dos lados rectángulos. a) respectivamente.

La longitud de la hipotenusa es c. Haz otro cuadrado con longitud de lado c. Colócalos en un polígono como se muestra en la figura, de modo que los tres puntos E, A y C sean. en línea recta dibuja QP∥BC a través del punto Q y cruza AC en el punto P.

A través del punto B, dibuja BM⊥PQ, y el pie vertical es M; dibuje FN⊥PQ, y el pie vertical es N. ∵ ∠BCA = 90o, QP∥BC, ∴ ∠MPC = 90o , ∵

BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90o, ∴ BCPM es un rectángulo, es decir, ∠MBC = 90o, ∠ ABC ∠MBA = ∠MBC = 90o, ∴ ∠QBM = ∠ABC, y ∵ ∠BMP =. 90o, ∠BCA = 90o, BQ =

BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA Se puede demostrar el mismo principio RtΔQNF ≌ RtΔAEF. Así el problema se transforma en la Prueba 4 (Prueba de Mei Wending). /p>

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Prueba 7 (Prueba euclidiana) Haga tres. Hay cuadrados con longitudes de lado a, b y c respectivamente. Ensamblelos en la forma que se muestra en. la figura, de modo que los tres puntos H, C y B estén en línea recta, conectando BF y CD. Pase por C. Construya CL⊥DE, cruce a AB en el punto M y DE en el punto L. K∵ AF =. AC, AB = AD, ∠FAB = ∠GAD, ∴ ΔFAB ≌

ΔGAD, 12a∵ El área de ΔFAB Igual a 2, el área de ΔGAD es igual a la mitad del área de ​​rectángulo ADLM,?∴ El área del rectángulo ADLM

=a? De la misma manera, el área del rectángulo MLEB=b?.∵ El área del cuadrado ADEB= rectángulo El área del rectángulo ADLM MLEB es ∴ c?=a?

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Método de prueba 8 (Demostración usando las propiedades de triángulos similares) Como se muestra en la figura, en RtΔABC, sean las longitudes de los ángulos rectos los lados AC y BC sean a y b respectivamente, la longitud de la hipotenusa AB es c, pasando por el punto C es CD⊥AB, y el pie vertical es D. En ΔADC y ΔACB, ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o, ∠CAD = ∠BAC, ∴ ΔADC ∽ ΔACB.AD∴AC = AC ∴AB, es decir,

AC?=ADXAB De manera similar, se puede demostrar que ΔCDB ∽ ΔACB, entonces BC?=BDxAB.∴. AC?BC?=(AD DB)xAB=AB?, es decir,

a?b?=c?,

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Método de prueba 9 (Prueba de Yang Zuomei) Haz dos triángulos rectángulos congruentes, sean sus dos lados rectángulos a y b (bgt; a), y la longitud de la hipotenusa sea c.

Haz otro cuadrado con longitud de lado c. Se ensamblan en un polígono como se muestra en la figura. Pasando por A es AF⊥AC, AF cruza GT en F, AF cruza DT en R. Pasando por B es BP⊥AF, y el pie vertical. es P.

Pasando por D La línea de extensión de DE y CB es perpendicular, el pie vertical es E y DE cruza a AF en H. ∵ ∠BAD = 90o, ∠PAC = 90o, ∴ ∠DAH = ∠BAC y ∵

∠DHA = 90o, ∠BCA = 90o, AD = AB = c, ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a, AH =

AC. = b Se puede ver en la práctica que PBCA es un rectángulo, por lo que RtΔAPB ≌ RtΔBCA. Es decir, PB =CA = b, AP= a, por lo tanto PH =

b―a.∵ RtΔDGT. ≌ RtΔBCA, RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG =

a, ∠GDT = ∠HDA Y ∵ ∠DGT = 90o, ∠DHF = 90o, ∠GDH = ∠GDT. ∠ TDH = ∠HDA ∠TDH =

90o, ∴ DGFH es una longitud de lado es un cuadrado de a.∴ GF = FH = TF⊥AF, TF = GT―GF = b―a.∴.

TFPB es un trapezoide en ángulo recto, con la base superior TF=b―a y la base inferior BP= b, altura FP=a (b-a).

Usa números para. indique el número del área (como se muestra en la figura), entonces el área de un cuadrado con c como longitud del lado es c?=S? S? >S?S?S?=1/2[b (b-a)]x[a (b-a)]=b?-1/2abS?=S?∴S? S=b?-S?-S?

② Sustituyendo ② en ①, obtenemos ?C?=S? b?-S ?-S? S?=b? a?∴ a? b?=c?.

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Prueba 10 (Prueba de Li Rui) Supongamos que las longitudes del dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son a y b (bgt; a), y la longitud de la hipotenusa es c.

Haz tres longitudes de lados: a, b, c, colócalas en el forma como se muestra en la imagen, de modo que los tres puntos A, E y G estén en línea recta. Usa números para indicar el número del área (como se muestra en la imagen).∵ ∠TBE =

∠ ABH = 90o, ∴ ∠TBH = ∠ABE R y ∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o, BT = BE = b, ∴ RtΔHBT ≌

RtΔABE. ∴GH =

GT―HT = b―a y ∵ ∠GHF ∠BHT = 90o, ∠DBC

∠BHT = ∠TBH ∠∴ ∠GHF = ∠DBC = EB―ED = b―a. ∠HGF = ∠BDC = 90o, ∴

RtΔHGF ≌ RtΔBDC Es decir, S?=S? Pasa Q para hacer QM⊥AG, y el pie vertical es M. De ∠BAQ = ∠BEA. = 90o, se puede observar que ∠ ABE=

∠QAM, y AB = AQ = c, entonces RtΔABE ≌ RtΔQAM . Y RtΔHBT ≌ RtΔABE . Es decir, S?=S? Por RtΔABE ≌ RtΔQAM, y QM = AE = a, ∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM

∠FQM = 90o, ∠BAE ∠CAR = 90o, ∠ AQM = ∠BAE, ∴ ∠FQM = ∠ CAR Y ∵ ∠QMF = ∠ARC =

90o, QM = AR = a, ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. ?=S? ¿S? S? S? , y ∵

S? ?, S?=S?, S?=S ?, ∴a? b?=S? S? S?=S? b?=c?.

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Método de demostración 11 (use el teorema de la línea de corte para demostrar) En RtΔABC, sean los lados rectángulos BC = a, AC = b, y la hipotenusa AB = c. Como en la figura, dibuje un círculo con B como centro y a como radio, y cruce AB y las líneas de extensión de AB en D y E respectivamente, luego BD.

= BE = BC = a. Debido a que ∠BCA = 90o, el punto C está en ⊙B, por lo que AC es la recta tangente de ⊙B.

Según el teorema de la recta tangente. , obtenemos AC?=AExAD=(AB BE)(AB-BD)?=(c a)(c-a)= c? -a?, es decir, b?=c?-a?, ∴

a? b?=c?.

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Método de certificado 12 (Demostración usando el teorema del polinomio) En RtΔABC, deje que el lado en ángulo recto BC

= a, AC = b y la hipotenusa AB = c (como se muestra en la figura. Dibuja AD∥CB por el punto A, dibuja BD∥CA por el punto B, entonces ACBD es un rectángulo). , y el rectángulo ACBD está inscrito en un círculo.

Según el teorema del polinomio, el producto de las diagonales de un círculo inscrito en un cuadrilátero es igual a la suma de los productos de los dos pares de lados. , existen ABxDC=ADxBC ACxBD, ∵ AB = DC = c, AD = BC =

a, AC = BD = b, ∴ AB?=BC?, es decir, c?= a? b? .

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Prueba 13 (Prueba del círculo inscrito de un triángulo rectángulo)

En RtΔABC, sea el lado rectángulo BC = a, AC = b, hipotenusa AB = c

Construye el círculo inscrito ⊙O de RtΔABC, los puntos tangentes son D, E y F respectivamente (como se muestra en la imagen). figura), sea el radio de ⊙O r.∵ AE = AF, BF = BD, CD = CE, ∴

AC BC-AB=(AE CE) (BD CD)-(AF BF )= CE CD= r r = 2r, es decir, a b-c= 2r, ∴

a b=2r c.∴(a b)?=(2r c)?Es decir, a? 4(r?rc)c?∵

S△ABE=1/2ab, ∴

2ab=4S△ABE, y ∵ S△ABE=S△AOB S△BOC S△AOC

=1/2cr 1/ 2ar 1/2br=1/2(a b c)r=1/2(2r c c)r=r rc, ∴4(r? rc)=4S△ABC, ∴4(r? rc=

2ab∴a? b? 2ab=2ab c?, ?∴ a? b?=c?.

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Prueba 14 (Usar prueba) por contradicción) Como se muestra en la figura, en RtΔABC, sean las longitudes de los lados rectángulos AC y BC a y b respectivamente, la longitud de la hipotenusa AB sea c, dibuje CD⊥AB a través del punto C, y el el pie vertical es D. Supongamos que a?b? no es igual a c?., es decir, suponiendo que

AC no es igual a AB?, entonces de AB?=ABxAB=AB? (AD BD)=ABxAD ABxBD22 podemos saber que AC? ≠BC:AB En ΔADC y ΔACB, ∵ ∠A = ∠A, ∴ Si

AD: AC≠AC:AB, entonces ∠ADC≠∠ACB. ∠B, ∴ Si BD: BC≠BC: AB, entonces ∠CDB≠∠ACB Y ∵ ∠ACB = 90o, ∴ ∠ADC≠90o, ∠CDB≠90o. Esto es contradictorio con la práctica CD⊥AB. p>

Entonces, ¿la suposición de que AC? BC?=AB? no se puede establecer ∴ a? b?=c?

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Prueba 15 (Prueba de Simpson) Suponga que las longitudes de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son a y b respectivamente, y la longitud de la hipotenusa es c.

Construya un cuadrado ABCD con lado longitud a b. Divida el cuadrado ABCD en varias partes como se muestra en la figura de la izquierda arriba, luego el cuadrado ABCD (a b) = a? b? arriba es la parte C, entonces el área del cuadrado ABCD es ∴

(a b)?=4x1/2ab c?=2ab c?, ∴ a? ? b?=c?.

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Prueba 16 (Prueba de Chen Jie) Supongamos que hay dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo. Las longitudes de son a y b (bgt; a), y la longitud de la hipotenusa es c.

Haz dos cuadrados (bgt; a) con lados de longitud a y b, y júntalos de la siguiente manera. forma que se muestra en la figura, haga los tres puntos E, H y M en una línea recta. Use números para indicar el número del área (como se muestra en la figura Intercepción ED = a en EH). > = b y conectamos DA y DC , entonces AD = c.?∵ EM = EH HM = b a, ED = a, ∴(b a)

DM = EM―ED = (b a)―a. = b.?Y ∵ ∠CMD = 90o, CM = a, ∠AED = 90o, AE = b, ∴

RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC, DC = AD = c.∵ ∠ADE ∠ADC ∠MDC =180o,

M∠ADE ∠MDC = ∠ADE ∠EAD = 90o, ∴ ∠ADC = 90o.∴

Como AB∥DC, CB∥ DA, entonces ABCD es una longitud de lado de El cuadrado de c ∵ ∠BAF ∠FAD = ∠DAE ∠FAD = 90o, ∴

∠BAF=∠DAE Conecte FB, en ΔABF y ΔADE, ∵. AB =AD = c

, AE = AF = b, ∠BAF=∠DAE, ∴ ΔABF ≌

ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90o, BF = DE = a.∴ Los puntos B, F, G, H son en En línea recta, RtΔABF y RtΔBCG, ∵

AB = BC = c, BF = CG = a, ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG .?∵c?=S S? ?=S?S?S?

a?S?S?=S?=S?,?∴a? ? S?=S? S? S? (S? S?)=S? S?∴

a? Por favor haga clic para ingresar la descripción de la imagen