Solución al Teorema de Pitágoras

Demostración del Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es una perla en geometría, por lo que está lleno de encanto Durante miles de años, la gente ha acudido en masa para demostrarlo, incluido el. famoso Hay matemáticos, aficionados a las matemáticas, gente corriente, dignatarios y dignatarios, e incluso el presidente del país. Quizás sea porque el Teorema de Pitágoras es importante y simple, lo que hace que sea más fácil atraer personas, que ha sido publicitado y demostrado cientos de veces. En 1940 se publicó un álbum de demostraciones del teorema de Pitágoras llamado "La proposición de Pitágoras", que recogía 367 métodos de demostración diferentes. De hecho, es más que eso. Según los datos, hay más de 500 formas de demostrar el teorema de Pitágoras. Solo el matemático chino Hua Hengfang a finales de la dinastía Qing proporcionó más de 20 métodos de demostración maravillosos. Esto no tiene comparación con ningún teorema.

Entre estos cientos de métodos de prueba, algunos son muy interesantes, otros son muy concisos y algunos son muy famosos debido a la identidad especial del probador.

En primer lugar, presentaré las dos demostraciones más interesantes del teorema de Pitágoras, que se dice que provienen de China y Grecia respectivamente.

1. Método chino

Dibuja dos cuadrados con longitudes de lados (a+b), como se muestra en la figura, donde a y b son lados rectángulos y c es la hipotenusa. Estos dos cuadrados son congruentes, por lo que sus áreas son iguales.

Las imágenes de la izquierda y la derecha tienen cada una cuatro triángulos que son congruentes con el triángulo rectángulo original. La suma de las áreas de los cuatro triángulos izquierdo y derecho debe ser igual. Elimina los cuatro triángulos de las figuras izquierda y derecha, y las áreas de las partes restantes de las figuras deben ser iguales. Quedan dos cuadrados en la imagen de la izquierda, con a y b como lados respectivamente. La figura de la derecha deja un cuadrado de lado c. Entonces

a2+b2=c2.

Este es el método introducido en nuestro libro de texto de geometría. Es intuitivo y sencillo y cualquiera puede entenderlo.

2. Método griego

Dibuja un cuadrado directamente en los tres lados del triángulo rectángulo, como se muestra en la figura.

Fácil de ver,

△ABA’ ≌△AA’’ C.

Dibuja una línea perpendicular que pase por C hacia A''B'', interseque a AB en C' y a A''B'' en C''.

△ABA' y el cuadrado ACDA' tienen la misma base y altura. El área del primero es la mitad del área del segundo △AA''C y el rectángulo AA''. C''C' tienen la misma base y altura. El área del primero es la mitad del área del segundo. El área también es la mitad del segundo. De △ABA’≌△AA’’C, sabemos que el área del cuadrado ACDA’ es igual al área del rectángulo AA’’C’’C’. De la misma forma, el área del cuadrado BB’EC es igual al área del rectángulo B’’BC’C’’.

Entonces,

S cuadrado AA''B''B=S cuadrado ACDA'+S cuadrado BB'EC,

Es decir, a2+b2 =c2.

En cuanto a que el área de un triángulo es la mitad del área de un rectángulo con la misma base y altura, se puede obtener por el método de corte y complemento (se pide a los lectores que lo demuestren) ellos mismos). Aquí sólo se utilizan relaciones de área simples y no se utilizan las fórmulas de área de triángulos y rectángulos.

Esta es la prueba dada por el antiguo matemático griego Euclides en sus "Elementos de Geometría".

La razón por la que los dos métodos de demostración anteriores son maravillosos es que usan pocos teoremas y solo usan dos conceptos básicos de área:

⑴ Las áreas de formas congruentes son iguales

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⑵ Una figura se divide en varias partes y la suma de las áreas de cada parte es igual al área de la figura original.

Este es un concepto perfectamente aceptable y sencillo que cualquiera puede entender.

Hay muchas maneras de demostrar el Teorema de Pitágoras por parte de matemáticos chinos a lo largo de los siglos, y también hay muchas ilustraciones para el Teorema de Pitágoras. La más antigua es la de Zhao Shuang (también conocido como Zhao Junqing). apéndice de "La prueba se encuentra en el artículo "Anotaciones sobre la plaza pitagórica" ​​en Zhoubi Suanjing. Se utiliza el método de corte y reparación:

Como se muestra en la imagen, los cuatro triángulos rectángulos de la imagen están pintados con bermellón y el pequeño cuadrado en el medio está pintado con amarillo, que se llama Zhonghuangshi. y el cuadrado con el acorde como lado se llama Las cuerdas son sólidas, y luego mediante parches y combinaciones, "lo entrante y lo saliente se complementan, y cada uno sigue su propio estilo. Afirmó que la relación entre los tres pitagóricos". cuerdas está de acuerdo con el teorema de Pitágoras. Es decir, "Pitagórico se multiplica por separado, se combina para formar una cuerda sólida y se divide tomando la raíz cuadrada, es una cuerda".

La demostración del teorema de Pitágoras realizada por Zhao Shuang muestra el magnífico pensamiento demostrativo de los matemáticos chinos, que es relativamente simple e intuitivo.

Muchos eruditos en Occidente han estudiado el teorema de Pitágoras y han proporcionado muchos métodos de demostración. Entre ellos, la prueba más antigua documentada la proporcionó Pitágoras. Se dice que cuando demostró el teorema de Pitágoras se puso tan feliz que mató cientos de vacas para celebrarlo. Por lo tanto, Occidente también llama al Teorema de Pitágoras el "Teorema de los cien bueyes". Desafortunadamente, el método de prueba de Pitágoras se perdió hace mucho tiempo y no tenemos forma de saber cómo lo demostró.

La siguiente es la demostración del teorema de Pitágoras realizada por Garfield, el vigésimo presidente de Estados Unidos.

Como se muestra en la figura,

S trapezoide ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2), ①

También S trapezoide ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2). ②

Comparando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos

a2+b2=c2.

Esta prueba es bastante sencilla debido al uso de la fórmula del área del trapezoide y la fórmula del área del triángulo.

El 1 de abril de 1876, Garfield publicó su demostración del Teorema de Pitágoras en el New England Educational Journal. Cinco años después, Garfield se convirtió en el vigésimo presidente de Estados Unidos. Más tarde, para conmemorar su prueba intuitiva, simple, fácil de entender y clara del teorema de Pitágoras, la gente llamó a esta prueba la prueba "presidencial" del teorema de Pitágoras. Esto se convirtió en una leyenda en la historia de las matemáticas.

Después de aprender sobre triángulos semejantes, sabemos que en un triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos que son similares al triángulo original.

Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠ACB=90°. Como CD⊥BC, el pie vertical es D. Entonces

△BCD∽△BAC, △CAD∽△BAC.

De △BCD∽△BAC, podemos obtener BC2=BD ?

De △CAD∽△BAC, podemos obtener AC2=AD ? ②

Encontramos que sumando las dos ecuaciones ① y ②, podemos obtener

BC2+AC2=AB (AD+BD),

Y AD +BD =AB,

Por lo tanto BC2+AC2=AB2, que es

a2+b2=c2.

Esta también es una forma de demostrar el Teorema de Pitágoras, y además es muy sencilla. Utiliza el conocimiento de triángulos similares.

En las numerosas demostraciones del Teorema de Pitágoras, la gente también cometerá algunos errores. Por ejemplo, alguien ha dado el siguiente método para demostrar el teorema de Pitágoras:

Supongamos en △ABC, ∠C=90°, y según el teorema del coseno

c2=a2+ b2-2abcosC,

Porque ∠C=90°, entonces cosC=0. Entonces

a2+b2=c2.

Esta prueba parece correcta y sencilla, pero en realidad comete el error de la prueba circular. La razón es que la demostración del teorema del coseno proviene del teorema de Pitágoras.

La gente también está interesada en el Teorema de Pitágoras porque puede generalizarse.

Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en sus "Elementos de geometría": "Una figura de lado derecho sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene un área igual al área de los dos rectángulos". lados en ángulo. La suma de las áreas de lados rectos similares."

Del teorema anterior se puede deducir el siguiente teorema: “Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo como diámetros para dibujar un círculo, entonces el área del círculo formado con el la hipotenusa como diámetro es igual al área de los dos círculos formados con los dos lados rectángulos como diámetro. La suma de áreas".

El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: usando los tres lados de un triángulo rectángulo como aristas correspondientes para construir un poliedro similar, el área de la superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de los dos poliedros en el lado derecho.

Si se utilizan tres lados de un triángulo rectángulo como diámetros para construir esferas, entonces el área superficial de la esfera sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas superficiales de las dos esferas construidas sobre la dos lados en ángulo recto.

Y así sucesivamente.

Apéndice

1. Introducción a "Zhou Bi Suan Jing"

"Zhou Bi Suan Jing" es uno de los diez libros de aritmética. Escrito alrededor del siglo II a.C., originalmente se llamaba "Zhou Bi". Es el trabajo astronómico más antiguo de mi país. Explica principalmente la teoría de Gaitian y el calendario de cuatro partes de esa época. A principios de la dinastía Tang, fue designado como uno de los libros de texto para el departamento Ming Suan de Guozijian, por lo que pasó a llamarse "Zhou Bi Suan Jing". El principal logro matemático de "Zhou Bi Suan Jing" es la introducción del teorema de Pitágoras y su aplicación en la medición. El libro original no prueba el teorema de Pitágoras. La prueba fue dada por Zhao Shuang, un nativo de Soochow durante el período de los Tres Reinos, en las "Notas sobre la plaza de Pitágoras" del libro "Zhou Bi Zhu".

"Zhou Bi Suan Jing" utiliza métodos aritméticos de fracciones y raíces cuadradas bastante complicados.

2. La historia de la demostración del teorema de Pitágoras por parte de Garfield

En una tarde de fin de semana de 1876, en las afueras de Washington, la capital de Estados Unidos, un hombre de mediana edad Estaba caminando y disfrutando del hermoso paisaje al anochecer, él era Garfield, el congresista republicano de Ohio en ese momento. Mientras caminaba, de repente encontró a dos niños en un pequeño banco de piedra cercano que estaban concentrados en algo, a veces discutiendo en voz alta, a veces discutiendo en voz baja. Impulsado por la curiosidad, Garfield siguió el sonido y caminó hacia los dos niños, tratando de descubrir qué estaban haciendo. Vi a un niño pequeño inclinado y dibujando un triángulo rectángulo en el suelo con una rama. Entonces Garfield preguntó qué estaban haciendo. El pequeño dijo sin levantar la cabeza: "Disculpe señor, si los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 respectivamente, entonces ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?" Garfield respondió: "Es 5". " El niño luego preguntó: "Si las longitudes de los dos lados rectángulos son 5 y 7 respectivamente, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo?" Garfield respondió sin pensar: "El cuadrado de la hipotenusa debe ser igual a 5 al cuadrado más 7 al cuadrado". El niño volvió a decir: "Señor, ¿puede decir la verdad?" Garfield se quedó sin palabras y no podía explicar, y se sentía muy incómodo.

Así que Garfield dejó de caminar y se fue a casa inmediatamente, concentrándose en discutir los problemas que el pequeño le había planteado. Después de pensar y calcular repetidamente, finalmente descubrió el motivo y dio un método de prueba conciso.