Demostración del teorema de Pitágoras
En China, la propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa se llama teorema de Pitágoras o teorema de Pitágoras. Es un teorema geométrico básico que tradicionalmente se cree que fue demostrado por Pitágoras de la antigua Grecia. Se dice que después de que Pitágoras demostró este teorema, decapitó cien vacas para celebrarlo, por lo que también se le llama el "Teorema de las cien vacas". En China, "Zhou Kuai Shu Jing" registra un caso especial del teorema de Pitágoras, que se dice que fue descubierto por Shang Gao en la dinastía Shang, por lo que también se le llama teorema de Shang Gao. Zhao Shuang durante el período de los Tres Reinos hizo anotaciones detalladas sobre el Teorema de Pitágoras como prueba en "Zhou Bi Suan Jing". Francia y Bélgica lo llaman Teorema del Puente del Burro, y Egipto lo llama Triángulo Egipcio. En la antigua China, el lado rectángulo más corto de un triángulo rectángulo se llamaba gancho, el lado rectángulo más largo se llamaba cuerda y la hipotenusa se llamaba cuerda. El certificado original estaba dividido. Sean A y B los lados de un triángulo rectángulo y C la hipotenusa. Considere los cuadrados A y B en la siguiente figura con a+b en ambos lados. Divida A en seis partes y B en cinco partes. Como ocho pequeños triángulos rectángulos son congruentes, restando los iguales a los iguales, se deduce que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos derechos. Aquí, el cuadrilátero en B es un cuadrado con longitud de lado c porque la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a dos ángulos rectos. El método de prueba anterior se llama método de prueba de congruencia por resta.
El Anexo B es el "diagrama de cuerdas" del clásico semanal de computación paralela.
La siguiente figura es la prueba dada por H. Perigal en 1873, que es un método de prueba de congruencia aditiva. De hecho, esta prueba fue redescubierta porque Labitibn Qorra (826 ~ 901) ya conocía este método de división. (Por ejemplo, la imagen de la derecha) ¿Una de las siguientes pruebas es H? ¿mi? Fue otorgado por Dewdney en 1917. También es un método de prueba para agregar congruencia.
Como se muestra en la figura de la derecha, el área de un cuadrado con longitud de lado b más el área de un cuadrado con longitud de lado a es igual al área de un cuadrado con longitud de lado C.
Se dice que el método de prueba en la imagen siguiente es L? ¿Papá? Diseñado por Vinci (1452 ~ 1519), utiliza el método de prueba de congruencia de resta.
Euclides dio una demostración extremadamente inteligente del Teorema de Pitágoras en la Proposición 47 del Volumen 1 de "Elementos de Geometría", como la imagen de la página siguiente. Debido a los hermosos gráficos, algunas personas lo llaman "el turbante del monje", mientras que otros lo llaman "la silla de manos de la novia". El profesor Hua sugirió una vez enviar esta foto al universo para comunicarse con los "extraterrestres". El resumen de la prueba es:
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL .
Del mismo modo, (BC)2=KEBL
Por lo tanto
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
El matemático y astrónomo indio Bhaskara (activo alrededor de 1150) da Esta es una prueba maravillosa. del teorema de Pitágoras y también una prueba dividida. Divide el cuadrado de la hipotenusa en cinco partes como se muestra a continuación. Cuatro de ellos son triángulos que son congruentes con el triángulo rectángulo dado; algunos son pequeños cuadrados cuya longitud de lado es la diferencia entre los dos lados rectángulos. Es fácil volver a juntar estas cinco partes para obtener la suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos. De hecho,
Poshgaro también dio una prueba en la siguiente figura. Dibuja la altura en la hipotenusa del triángulo rectángulo para obtener dos pares de triángulos semejantes, de modo que tengamos
c/b=b/m,
c/a=a/ n,
cm=b2
cn=a2
Suma ambos lados
a2+b2=c(m+n)= c2
Esta prueba fue redescubierta por el matemático británico J. Wallis (Wallis, 1616 ~ 1703) en el siglo XVII.
Varios presidentes estadounidenses tienen conexiones sutiles con las matemáticas. ¿gramo? Washington fue una vez un famoso topógrafo. t? Jefferson promovió vigorosamente la educación matemática superior en los Estados Unidos. Lincoln estudió lógica estudiando los Elementos de Euclides. Aún más creativo fue el decimoséptimo director, J.A. Garfield (1831 ~ 1888), quien tenía un gran interés en las matemáticas elementales y un talento extraordinario cuando era estudiante. En 1876, (entonces miembro de la Cámara de Representantes y presidente electo de los Estados Unidos cinco años después) dio una hermosa demostración del Teorema de Pitágoras, que se publicó en el New England Journal of Education. La idea de la prueba es utilizar las fórmulas de áreas de trapecios y triángulos rectángulos. Como se muestra en la página siguiente, es un trapezoide rectángulo que consta de tres triángulos rectángulos. Usa diferentes fórmulas para encontrar la misma área
Es decir,
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
Este tipo de prueba suele ser de interés para los estudiantes de secundaria cuando aprenden geometría.
Hay muchas demostraciones ingeniosas de este teorema (se dice que hay cerca de 400 tipos). Aquí hay algunos ejemplos para estudiantes, todos probados usando rompecabezas.
La prueba 1 se muestra en la Figura 26-2. En el exterior del triángulo rectángulo ABC, haz los cuadrados ABDE, ACFG y BCHK. Sus áreas son c2, b2 y a2 respectivamente. Sólo nos falta demostrar que el área de un cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados pequeños.
Saque CM‖BD por C, cruce AB por L y conecte BC y CE.
Porque
AB=AE, AC=AG ∠CAE=∠BAG,
Entonces △ACE≔△AGB
SAEML=SACFG (1)
También se puede demostrar el mismo método.
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)
SABDE=SACFG+SBKHC,
es decir, c2= a2+b2
La prueba 2 se muestra en la Figura 26-3 (Figura Zhao). Se utilizan ocho triángulos rectángulos ABC para formar un cuadrado grande CFGH con una longitud de lado a+b. En su interior hay un cuadrado inscrito ABED con una longitud de lado C, como se muestra en la figura.
SCFGH=SABED+4×SABC,
Entonces a2+b2=c2
La prueba 3 se muestra en la Figura 26-4 (Mapa de Mei Wending).
Dibuja un cuadrado ABDE hacia afuera en la hipotenusa AB del ángulo recto △ABC, y dibuja un cuadrado ACGF en el ángulo recto AC. Se puede demostrar (ligeramente) que expandir GF debe pasar E; extender CG a k, hacer GK=BC=a, conectar KD, hacer DH⊥CF en h, entonces DHCK es un cuadrado con longitud de lado a. >
El área del pentágono
Por un lado,
S=área ABDE del cuadrado + 2 veces △área ABC
=c2 +ab (1)
Por otro lado,
S=área ACGF cuadrada + área DHGK cuadrada
+2 veces △área ABC
=b2+ a2+ab. (2)
De (1) y (2)
c2=a2+b2
Demuestre 4 como se muestra en la Figura 26-5 (diagrama de Xianmingda) , se forma un cuadrado ABDE sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, y se completa un cuadrado BFGJ con longitud de lado B a partir de los dos ángulos rectos CA y CB del triángulo rectángulo ABC (Figura 26-5). Se puede probar (omitir) que la línea de extensión de GF debe pasar d. Extender AG hasta k, de modo que GK=a, y sea EH⊥GF h, entonces EKGH debe ser un cuadrado con una longitud de lado igual a a
Conjunto cinco El área del polígono EKJBD es s. Por un lado
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
Por el otro. mano,
S=SBEFG +2? S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
Dirige un argumento a través de (1), (2)
Todos están verificados por área: un área grande es igual a la suma de varias áreas pequeñas. Usa diferentes representaciones de la misma área para obtener la ecuación y luego simplifícala para obtener el teorema de Pitágoras. ) ver /21010000/VCM/0720 gdl. doctor.
El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más probados en matemáticas, ¡con más de 400 demostraciones! Pero la primera prueba registrada, el método pitagórico, se ha perdido. La prueba más antigua disponible actualmente pertenece al antiguo matemático griego Euclides. Su demostración fue en forma de razonamiento deductivo y quedó registrada en la obra maestra de las matemáticas, Elementos. Entre los antiguos matemáticos chinos, la primera persona en demostrar el teorema de Pitágoras fue Zhao Shuang, un matemático del estado de Wu durante el período de los Tres Reinos. Zhao Shuang creó el diagrama de Pitágoras y dio una demostración detallada del teorema de Pitágoras combinando números y formas. En este "cuadrado pitagórico", el cuadrado ABDE con la cuerda como longitud del lado se compone de cuatro triángulos rectángulos iguales más un pequeño cuadrado en el medio. El área de cada triángulo rectángulo es AB/2; si la longitud del lado del cuadrado del medio es b-a, el área es (b-a) 2. Entonces podemos obtener la siguiente fórmula: 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2. Después de la simplificación, podemos obtener: a 2 +b 2 =c 2, es decir, c=(a 2 +b 2) (1/2). La prueba de Zhao Shuang es única e innovadora. Utilizó el corte, corte, ortografía y complementación de figuras geométricas para demostrar la relación de identidad entre expresiones algebraicas, que es a la vez rigurosa e intuitiva. Es un método chino antiguo único para demostrar números con formas, unificar números con formas y cerrar. Integración de álgebra y geometría. El estilo segmentado es un ejemplo. La siguiente URL es el diagrama pitagórico de Zhao Shuang:/catch pic/0/01/01f9d 756 be 31e 31e 71a 75 cacc 1410C. La mayoría de los matemáticos posteriores al GIF heredaron esto. Por ejemplo, Liu Hui utilizó más tarde una prueba formal para demostrar el teorema de Pitágoras. Liu Hui utilizó el "método complementario de entrada y salida", es decir, el método de prueba de cortar y pegar. Cortó áreas del cuadrado delimitadas por Pitágoras y las movió a áreas vacías del cuadrado delimitadas por cuerdas. Como resultado, simplemente lo completé y el problema se resolvió por completo utilizando el método del diagrama. La siguiente URL es la "Imagen de entrada y salida bermellón verde" de Liu Hui:/catch pic/A/A7/A 7070d 771214459 d67a 75e 8675 A a4dcb
El teorema de Pitágoras se utiliza ampliamente. Otro libro antiguo del Período de los Reinos Combatientes en mi país, "Doce notas a la posdata de la historia del camino", contiene este registro: "Yu controlaba las inundaciones y cortaba los ríos. Observaba las formas de las montañas y Ríos y juzgó las altas y bajas. Excepto por desastres particularmente graves, el Mar de China Oriental se inundó. No hay peligro de ahogamiento.
"El significado de este pasaje es que para controlar la inundación, Dayu decidió la dirección del flujo de agua de acuerdo con la altura del terreno, y aprovechó la situación para hacer que la inundación fluyera hacia el mar, de modo que allí hubiera No habrá más desastres por inundaciones. Este es el resultado de aplicar el teorema de Pitágoras.
Si el autor no lo entiende, puede consultar /view/366.htm para obtener más detalles o puede escribir "Teorema de Pitágoras". " en la barra de búsqueda de Baidu para encontrar la respuesta.