Banco de preguntas de la Olimpiada de Matemáticas de primer grado (con respuestas)
Preguntas de autoevaluación para la Olimpiada de primer grado
Preguntas de autoevaluación 1
A gasta 100 yuanes más y tendrá una deuda de 600 yuanes en tres años
Yuan. ¿Cuánto gana cada persona al año?
¿Cuál es la suma de los últimos cuatro dígitos de S?
4. Una persona sube una colina a una velocidad de 3 kilómetros/hora y baja a una velocidad de 6 kilómetros/hora. Le toma 3 horas y 20 minutos recorrer 12 kilómetros.
5. Suma
6. Demuestre: El resto obtenido al dividir el número primo p por 30 no debe ser un número compuesto.
8. Si dos números enteros xey hacen que x2+xy+y2 sea divisible por 9, demuestra: xey pueden ser divisibles por 3.
9. Como se muestra en la Figura 1-95. En el cuadrilátero ABCD, los puntos medios de las diagonales AC y BD son M, N, y la línea de extensión de MN corta al lado AB en el punto P. Demuestre: El área de △PCD es igual a la mitad del área del cuadrilátero ABCD.
Pregunta de autoevaluación 2
1. Dado que 3x2-x=1, encuentre el valor de 6x3+7x2-5x+2000.
2. Una tienda vende un producto, vende 100 piezas cada día, con una ganancia de 4 yuanes por pieza. Ahora aumentan las ganancias aumentando el precio de venta y reduciendo la cantidad de compra. Según la experiencia, cada vez el precio de este producto aumenta. 1 yuan, todos los días. Solo vende 10 piezas menos. ¿Cuánto deberías aumentar el precio de cada artículo para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?
3. Como se muestra en la Figura 1-96. Se sabe que CB⊥AB, CE biseca a ∠BCD, DE biseca a ∠CDA, ∠1＋∠2=90°. Verificar:
DA⊥AB．
4. Se sabe que la solución del sistema de ecuaciones
debe ser
Un estudiante copió mal c al resolver el problema, por lo que la solución obtenida es
Encontrar el valor de a2+b2+c2.
5. Encuentra la solución entera de la ecuación |xy|-|2x|+|y|=4.
6． Wang Ping compró una letra del Tesoro a tres años con una tasa de interés anual del 7,11% y una letra del Tesoro a cinco años con una tasa de interés anual del 7,86% por 35.000 yuanes. Si la letra del Tesoro a tres años expira, depositará el principal. e intereses en dos bonos a plazo fijo de un año seguidos. Después de cinco años de ahorro, la suma del capital y los intereses de las letras del Tesoro a cinco años será de 47.761 yuanes. ¿Cuánto comprará Wang Ping por tres años y? letras del tesoro a cinco años? (Se sabe que el tipo de interés anual del ahorro fijo a un año es del 5,22%)
7. ¿Para qué valores de k y m el sistema de ecuaciones tiene al menos un conjunto de soluciones?
8. Encuentra la solución entera de la ecuación indefinida 3x+4y+13z=57.
9. Xiao Wang usó 5 yuanes para comprar 40 frutas para entretener a cinco amigos. Hay tres tipos de frutas: manzanas, peras y albaricoques. Los precios de cada una son 20 céntimos, 8 céntimos y 3 céntimos respectivamente. Xiao Wang espera que él y sus cinco amigos puedan conseguir manzanas, y la cantidad de manzanas que cada uno recibe es diferente. ¿Podrá cumplir su deseo?
Pregunta de autoevaluación 3
1. Resuelve la ecuación para x
2. Resuelve la ecuación
donde a+b+c≠0.
3. Encuentra la suma de los coeficientes en la expansión de (8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2.
4. Se vierte un balde de pesticida líquido y luego se llena con agua. Luego se vierten 4 litros de solución mezclada y luego se llenan con agua. En este momento, la concentración de pesticida es del 72%.
5. ¿Cuántos números naturales x*** satisfacen [-1,77x]=-2x? Aquí [x] representa el número entero más grande que no excede x, por ejemplo [-5,6] = -6, [3] = 3.
6． Sea P un punto dentro de △ABC. Encuentra: el rango de valores de la relación entre la suma de las distancias desde P a los tres vértices de △ABC y el perímetro del triángulo.
7. Dos personas, A y B, caminan hacia la otra desde las estaciones este y oeste al mismo tiempo. Cuando se encuentran, A camina 24 kilómetros más que B. A A tarda 9 horas en llegar a la estación este y a B 16 horas en llegar. llegar a la estación oeste. Encuentra la distancia entre las dos estaciones.
8. Hay tres números escritos en la pizarra. Borre cualquiera de ellos y vuelva a escribirlo como la suma de los otros dos números menos 1. Continúe de esta manera y finalmente obtenga 19, 1997, 1999. ¿Pueden los tres números originales ser 2, 2? ,2?
9. hay n
Números reales x1, x2,...,xn, cada uno de los cuales es +1 o -1, y
Demuestra: n es múltiplo de 4.
Pregunta de autoevaluación 4
1. Se sabe que a, b, cyd son todos números positivos y
a+d Demostrar: ac+bd 2. Se sabe que el precio original del bien A es 1,5 veces el precio original del bien B. Debido a cambios en el mercado, el aumento porcentual del precio del bien B es el doble de la reducción porcentual del precio del bien A. Después del ajuste de precios, la suma de los precios unitarios de los bienes A y B ha aumentado un 2% en comparación con la suma de los precios unitarios originales. Encuentre el aumento porcentual en el precio del bien B. 3. En el triángulo agudo ABC, los tres ángulos interiores son números primos. Encuentra los tres ángulos interiores del triángulo. 4. En el plan trienal de una fábrica, la producción anual aumenta en la misma cantidad. Si el tercer año produce 1.000 unidades más que el plan original, entonces el aumento porcentual cada año con respecto al año anterior será el mismo, y la producción del tercer año. es exactamente la producción total planificada originalmente para tres años la mitad de las unidades, ¿cuántas unidades se planeó originalmente producir por año? z=|x+y|+|y+1|+|x-2y+4|, Encuentra los valores máximo y mínimo de z. 8. Entre los números naturales del 1 al 500, ¿cuántos números aparecen en el 1 o en el 5? 9. De los 80 números 19, 20, 21,...,98, ¿cuántas formas hay de seleccionar dos números diferentes para que su suma sea un número par? Pregunta de autoevaluación 5 1. Si una tarea excede la cuota en 2 piezas por día, se puede completar con 3 días de anticipación. Si excede la cuota en 4 piezas por día, se puede completar con 5 días de anticipación. tiempo de finalización previsto originalmente. 2. Números conocidos en dos columnas 2, 5, 8, 11, 14, 17,..., 2+(200-1)×3, 5, 9, 13 , 17, 21, 25,…, 5+(200-1)×4, Todos tienen 200 términos ¿Cuántos términos tienen el mismo número de términos en estas dos columnas de números? 3. Encuentre las condiciones bajo las cuales x3-3px+2q puede ser divisible por x2+2ax+a2. 4. Demuestra la desigualdad 5. Si dos triángulos tienen ángulos correspondientes iguales. Demuestre: La razón de las áreas de estos dos triángulos es igual a la razón del producto de los dos lados que forman el ángulo. 6． Se sabe que el resto obtenido al dividir el polinomio x4+ax3-3x2+bx+3 por (x-1)2 es x+1. Intenta encontrar los valores de a y b. 7. Hay segmentos de línea, cada uno con longitudes 1, 2, 3,...,9. ¿Cuántos métodos diferentes se pueden usar para seleccionar varios de ellos para que puedan formar un cuadrado? 8. En el plano hay 10 rectas, 4 de las cuales son paralelas entre sí. Pregunta: ¿En cuántas partes pueden estas 10 rectas dividir el avión? 9. ¿Cuántos triángulos hay con lados de longitud entera y perímetro 15? Pregunta de autoevaluación 1 Entonces x=5000 (yuanes). Por lo tanto, la suma de los últimos cuatro dígitos de S es 1+9+9+5=24. 3. Porque cuando , a-b≥0, es decir, a≥b. Es decir, cuando b≥a>0 o b≤a<0, la ecuación se cumple. 4. Sea la distancia cuesta arriba x kilómetros y la distancia cuesta abajo sea y kilómetros. Según el significado de la pregunta tenemos De ② tenemos 2x+y=20, ③ De ① tenemos y=12-x . Sustitúyelo en ③ para obtener 2x+12-x=20． Entonces x=8(kilómetros), luego y=4(kilómetros). 5. El enésimo elemento es entonces 6. Supongamos p=30q+r, 0≤r<30. Debido a que p es un número primo, r≠0, es decir, 0 7. Suponga de ① la fórmula (2p-1)(2q-1)=mpq, es decir (4-m )pq+1=2(p+q)． Se puede observar que m<4. De ①, m>0 y es un número entero, entonces m=1, 2, 3. Estudiemos p y q respectivamente. (1) Si m = 1, hay La solución es p = 1, q = 1, lo cual es inconsistente con lo que se sabe, así que deséchelo. (2) Si m=2, hay Dado que 2p-1=2q o 2q-1=2p es imposible, no hay solución cuando m=2. (3) Si m=3, existe la solución entonces p+q=8. 8. Porque x2+xy+y2=(x-y)2+3xy. Según la pregunta, 9|(x2+xy+y2), entonces 3|(x2+xy+y2), entonces 3|(x-y)2. Como 3 es un número primo, 3|(x-y). Entonces 9|(x-y)2. De la fórmula anterior, también podemos ver que 9｜3xy, entonces 3｜xy. Entonces 3|x o 3|y. Si 3 | 9. Conecte AN y CN, como se muestra en la Figura 1-103. Debido a que N es el punto medio de BD, Las dos ecuaciones anteriores se suman Por otro lado, S△PCD=S△CND+S△ CNP+S△DNP． Por lo tanto sólo necesitamos demostrar S△AND=S△CNP+S△DNP. Dado que M y N son los puntos medios de AC y BD respectivamente, S△CNP=S△CPM-S△CMN =S△APM - S△AMN =S△ANP. Y S△DNP=S△BNP, entonces S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND． Pregunta de autoevaluación 2 1. Fórmula original=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1+3×1-2x+2000 =2003． 2. Resulta que la ganancia diaria es 4×100 yuanes. Si el precio de cada artículo aumenta en x yuanes, la ganancia de cada artículo será (4+x) yuanes, pero el volumen de ventas diario será (100-10x). ) unidades. Si el beneficio diario es y yuanes, entonces y = (4+x)(100-10x) =40100x-40x-10x2 =-10 (x2-6x+9)+9400 =-10(x-3)2+490. Entonces, cuando x = 3, el valor máximo de y es 490 yuanes, es decir, el precio de cada artículo aumenta en 3 yuanes y la ganancia diaria máxima es 490 yuanes. 3. Debido a que CE biseca a ∠BCD, DE biseca a ∠ADC y ∠1＋∠2=90° (Figura 1-104), entonces ∠ADC＋∠BCD=180°, Entonces AD ‖ANTES DE CRISTO. Y porque AB⊥BC, De ①, ② AB⊥AD. 4. Según el significado de la pregunta, Entonces a2+b2+c2=34. 5. |x|x|y|-2|x|+|y|=4, es decir, |x|(|y|-2)+(|y|-2)=2, Entonces (|x|+1)(|y|-2)=2. Debido a que |x|+1>0, y x e y son números enteros, entonces entonces 6. Supongamos que Wang Ping compra letras del Tesoro a tres y cinco años por x yuanes e y yuanes respectivamente, entonces Porque y=35000-x, Entonces x(1+0,0711×3)(1+0,0522)2 +(35000-x)(1+0,0786× 5)=47761, Entonces 1.3433x+48755-1.393x=47761, Entonces 0.0497x=994, Entonces x =20000 (yuanes), y=35000-20000=15000 (yuanes)． 7. Porque (k-1)x=m-4, ① Cuando m es cualquier número real, el sistema de ecuaciones tiene una solución única. Cuando k=1, m=4, la solución de ① son todos números reales, por lo que el sistema de ecuaciones tiene infinitos conjuntos de soluciones. Cuando k=1, m≠4, ① no tiene solución. Por lo tanto, cuando k≠1 y m es cualquier número real, o cuando k=1 y m=4, el sistema de ecuaciones tiene al menos un conjunto de soluciones. 8. De la ecuación de la pregunta, obtenemos z=3m-y. x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m. La solución general de la ecuación original es donde n y m toman cualquier valor entero. 9. Supongamos que compras x, y y z manzanas, peras y albaricoques respectivamente, entonces Al eliminar y, obtienes 12x-5z=180. Su solución es x=90-5t, z=180-12t. Sustituyendo en la ecuación original, obtenemos y=-2317t. Por lo tanto x=90-5t, y=-2317t, z=180-12t. x=20, y=8, z=12. Por lo tanto, el deseo de Xiao Wang no se puede realizar, porque según su requisito, debe haber al menos 1+2+3+4+5+6=21>20 manzanas. Pregunta de autoevaluación 3 1. Simplifique para obtener 6(a-1)x=3-6b+4ab, Cuando a≠1, 2. Transforma la ecuación original en A partir de esto podemos resolver x=a＋b+c. 3. Cuando x=1, (8-6+4-7)3(2-1)2=1. Es decir, la suma de los coeficientes en la expansión requerida es 1. Según la pregunta Quita el denominador y simplifica para obtener 7x2-300x+800=0, Es decir ( 7x- 20)(x-40)=0, 5. Si n es un número entero, [n+x]=n+[x], entonces [-1.77x]=[-2x+0.23x] =-2x+[0.23 incógnita]. Se sabe que [-1.77x]=-2x, entonces -2x=-2x+[0.23x], Entonces [0.23x] = 0. Y como x es un número natural, 0≤0.23x<1 Después de la prueba, se puede ver que x puede ser 1, 2, 3, 4 o ***4. 6． Como se muestra en la Figura 1-105. En △PBC, hay BC＜PB+PC, ① Extiende BP a AC en D. Fácil de probar PB+PC Desde ①, ② BC＜PB＋PC＜AB+AC, ③ De manera similar, AC＜PA＋PC＜AC＋BC, ④ AB＜PA＋PB＜AC＋AB． ⑤ ③＋④＋⑤Obtener AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)． Entonces 7. Supongamos que la velocidad al caminar de A es x kilómetros/hora y la velocidad al caminar de B es y kilómetros/hora, entonces la distancia requerida es (9x+16y) kilómetros. Según la pregunta Obtener de ① 16y2=9x2, ③ Obtener 16y=24+9x de ②, sustituirlo en ③ para obtener es decir (24+9x)2=(12x)2． Solución Entonces Entonces la distancia entre las dos estaciones es 9×8+16×6=168 (kilómetros) . 8. La respuesta es no. Para 2, 2, 2, primero se convierte en 2, 2, 3, con dos números pares y un número impar. No importa cuántas veces se cambie en el futuro, siempre habrá dos números pares y un número impar (el valor se puede cambiar, pero la paridad permanece sin cambios. Por lo tanto, es imposible cambiar a los tres números impares 19). , 1997 y 1999. . Y como por lo tanto, k es un número par, entonces n es múltiplo de 4. Pregunta de autoevaluación 4 1. A partir de la simetría, también podríamos suponer que b ≤ a, entonces ac+bd≤ac+ad=a(c+d) 2. Supongamos que el precio unitario original del bien B es x yuanes, entonces el precio unitario original del bien A es 1,5x yuanes. Supongamos que el precio del bien A disminuye un y%, entonces el precio del bien B aumenta un 2y%. Según el significado de la pregunta, 1.5x(1-y%)+x(1+2y%)=(1.5x+x)(1+2%), Simplifica para obtener 1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02． Entonces y=0.1=10%, Entonces el precio del bien A se reduce en un 10% y el precio del bien B aumenta en un 20%. 3. Debido a que ∠A+∠B＋∠C=180°, debe haber un número par entre ∠A, ∠B y ∠C. El único número primo par es 2, por lo que ∠C=2°. Entonces ∠A+∠B=178°. Dado que ∠A y ∠B deben ser números primos impares, esta solución no es única, como 4. Supongamos que la producción anual aumenta en d mil unidades, entonces el número planificado de miles de unidades en cada uno de los tres años es a-d, a, a+d. Según el significado de la pregunta Se obtiene la solución Entonces la producción en tres años es de 4.000 unidades, 6.000 unidades y 8.000 unidades respectivamente. Desigualdades: Entonces x>2; Sin solución. 6． Supongamos que la fórmula original es S, entonces Entonces y <0.112-0.001=0.111. Porque Entonces =0.105 es lo que se requiere. 7. De |x|≤1, |y|≤1, podemos obtener -1≤x≤1, -1≤y≤1. Entonces y+1≥0, x-2y+4≥-1-2×1+4=1>0. Entonces z=｜x+y｜+(y+1)+(x-2y+4) =｜x+y｜+ x-y+5. (1) Cuando x+y+≤0, z=-(x+y)+x-y+5=5-2y. De -1≤y≤1 se puede deducir que 3≤5-2y≤7, por lo que en este momento, el valor mínimo de z es 3 y el valor máximo es 7. (2) Cuando x+y>0, z=(x+y)+(x-y+5)=2x+5. De -1≤x≤1 y se puede deducir que 3≤2x+5≤7, por lo que el valor mínimo de z es 3 y el valor máximo es 7. De (1) y (2), sabemos que el valor mínimo de z es 3 y el valor máximo es 7. 8. Hay 100, 101, ..., 199***100 números cuyo número en el lugar de las centenas es solo 1; hay números cuyo lugar en las decenas es 1 o 5 (el lugar de las centenas no es 1). 2×3×10=60(piezas). Hay 1 o 5 en el lugar de las unidades (los lugares de las centenas y las decenas no son 1 o 5). 2×3×8=48 (piezas). Suma el número 500, así los números que satisfacen el significado de la pregunta son 10648+1=209 (números). 9. Hay 80 números enteros diferentes del 19 al 98, de los cuales 40 son números impares y 40 son números pares. El primer número se puede elegir arbitrariamente y hay 80 formas de elegirlo. Si el primer número es par, el segundo número solo se puede seleccionar entre los otros 39 números pares. Hay 39 formas de elegir. De la misma manera, si el primer número es impar, hay 39 formas de elegir el segundo número, pero el primer número es a, el segundo es b y el primero es b, el segundo es a son las mismas opciones. método, por lo que el método de selección total debe reducirse a la mitad, es decir, hay *** métodos de selección. Pregunta de autoevaluación 5 1. Supongamos que se planea completar x piezas todos los días y el tiempo de finalización planificado es y días, entonces el número total de piezas es xy piezas. Según el significado de la pregunta. Solución Número total de piezas xy=8×15=120 (piezas), Es decir, está planificada tardará 15 días en completarse, el número de piezas de trabajo es 120. 2. El enésimo elemento de la primera columna de números se expresa como 2+(n-1)×3, y el enésimo elemento de la segunda columna de números se expresa como 5+(m-1)×4. Para hacer 2+(n-1)×3=5+(m-1)×4. Entonces Porque 1≤n≤200, entonces Entonces m=1, 4, 7, 10,…, 148***50 elementos. 3. El resto de x3-3px+2q dividido por x2+2ax+a2 es 3(a2-p)x+2(q+a3), Entonces las condiciones requeridas deberían ser para 4. Vamos porque por lo tanto 5. Como se muestra en la Figura 1-106(a), (b). En △ABC y △FDE, ∠A=∠D． Ahora mueva △DEF a △ABC para que ∠A y ∠D se superpongan, DE=AE’, DF=AF’, conectando F’B. En este momento, el área de △AE’F’ es igual al área del triángulo DEF. ①×②Obtener 6. Supongamos que la fórmula del cociente es x2+α?x+β. Se sabe que x4＋ax3-3x2+bx+3 =(x-1)2(x2+α?x+β)+(x+1) =(x2- 2x+1)(x2+α? x+β)+x+1 =x4+(α-2)x3+(1-2α+β)x2 +(1+α-2β)x+β+1． Comparando los coeficientes de términos del mismo orden en ambos lados del signo igual, deberíamos tener Simplemente resuélvelo Entonces a=1, b =0 es lo que queremos ． 7. Porque Entonces la longitud del lado del cuadrado es ≤ 11. La siguiente es una enumeración basada en la longitud de los lados del cuadrado: (1) La longitud del lado es 11: 9+2= 8+3=7+4=6+5 , Hay 1 opción disponible. (2) La longitud del lado es 10: 9+1=8+2=7+3=6+4, Hay 1 opción . (3) La longitud del lado es 9: 9=8+1=7+2=6+3=5+4, puede obtener 5 Tipo de método de selección. (4) La longitud del lado es 8: 8=7+1=6+2=5+3, Hay 1 opción. (5) La longitud del lado es 7: 7=6+1=5+2=4+3, Hay 1 opción. (6) Cuando la longitud del lado es ≤ 6, no se puede seleccionar. En resumen, hay *** 1+1+5+1+1=9 formas de formar un cuadrado. 8. Primero veamos las 6 líneas rectas no paralelas que dividen el plano en como máximo 2+2+3+4+5+6=22 partes. Ahora añade líneas paralelas. Agrega la primera línea paralela, que tiene como máximo 6 puntos de intersección con las 6 rectas anteriores. Se divide en 7 segmentos, y cada segmento divide la parte original en dos, por lo que se suman 7 partes. Lo mismo ocurre con la suma de las líneas paralelas 2, 3 y 4, es decir, cada vez que se agrega una línea paralela, se agregan un máximo de 7 partes. Por tanto, estas rectas dividen el plano como máximo en 22+7×4=50 partes. 9． Supongamos que las longitudes de los tres lados del triángulo a, b, c satisfacen a≥b≥c. De b+c>a, a+b+c=15, a≥b≥c, podemos obtener, 15=a+(b+c)>2a, entonces a≤7. Y 15=a+b+c≤3a, entonces a≥5. Entonces a=5, 6, 7. Cuando a=5, b+c=10, entonces b=c=5; cuando a=b, b+c=9. Entonces b=6,c=3 , o b=5, c=4 cuando a=7, b+c=8, entonces b=7, c=1, o b=6, c=2, o b=5, c=3, o b; =4,c=4. Por lo tanto, existen 7 triángulos que satisfacen el significado de la pregunta.