Segundo modelo de Guangzhou 2014

Respuesta: (1) Prueba: Tome el punto medio M de AB y conecte EM, luego AM=MB=1,

∵EF∥Plano ABCD, EF Plano ABEF, plano? Plano ABCD∩ ABEF=AB,

∴EF∥AB, es decir, EF∥MB.

∵EF=MB=1

∴El cuadrilátero EMBF es un paralelogramo.

∴EM∥FB, EM=FB．

En Rt△BFC, FB2 FC2=BC2=4 y FB=FC, obtenemos FB=2.

∴EM=2.

En △AEM, AE=3, AM=1, EM=2,

∴AM2 EM2=3=AE2,

∴AM⊥EM ．

∴AM⊥FB, es decir, AB⊥FB.

∵ El cuadrilátero ABCD es un cuadrado,

∴AB⊥BC．

∵FB∩BC=B, FB? Plano BCF, BC? Plano BCF,

∴AB⊥Plano BCF.

(2) Conecte AC, AC y BD se cruzan en el punto O, entonces el punto O es el punto medio de AC

Tome el punto medio H de BC y conecte OH, EO y FH. ,

Entonces OH∥AB, OH=12AB=1.

De (1), sabemos que EF∥AB, y EF=12AB,

∴EF∥OH, y EF=OH.

∴El cuadrilátero EOHF es un paralelogramo.

∴E0∥FH, y EO=FH=1.

De (1) sabemos que AB⊥ plano BCF, y FH plano BCF,

∴FH⊥AB,

∵FH⊥BC, AB ∩BC =B, FH? plano ABCD, BC plano ABCD,

∴FH⊥ plano ABCD.

∴E0⊥ plano ABCD.

∵AO? Plano ABCD,

∴EO⊥AO.

∵AO⊥BD, EO∩BD=O, EO? plano EBD, BD plano EBD,

∴AO⊥ plano EBD.

∴∠AEO es el ángulo formado por la recta AE y el plano BDE.

En Rt△AOE, tan∠AEO=AOEO=2.

∴La tangente del ángulo formado por la recta AE y el plano BDE es 2.