¿Qué es el diferencial total?

La derivada total es un concepto en cálculo, que se refiere a la parte principal lineal del incremento total de una función multivariada. La condición suficiente para la existencia de una diferencial total de una función multivariada en un punto determinado es que cada derivada parcial de la función en una determinada vecindad del punto exista y las funciones derivadas parciales sean continuas en el punto, entonces la función es derivable en el punto.

Condiciones de existencia

El diferencial total hereda las propiedades del diferencial de algunas funciones reales de una variable (funciones cuyo dominio y rango son números reales), pero también existen diferencias entre ambas. . A partir de la definición de diferenciales totales, podemos derivar varios teoremas sobre las condiciones para la existencia de diferenciales totales.

Condición suficiente

La condición suficiente para la existencia de un diferencial total de una función multivariante en un punto determinado es: cada derivada parcial de esta función en una determinada vecindad del punto existe y la función derivada parcial existe en un punto determinado. Si todos los puntos son continuos, entonces la función es derivable en ese punto.

Para funciones binarias, este teorema se puede expresar como: Si las derivadas parciales y existen de una función binaria en una determinada vecindad de un punto, y las derivadas parciales y son continuas en el punto, entonces esta función puede micro. Cabe señalar que esta condición no es necesaria ni suficiente. Hay casos en los que la función derivada parcial es discontinua pero la función multivariada es completamente diferenciable. Si no se cumple esta condición suficiente, entonces la definición debe demostrar si una función multivariada puede derivarse completamente, es decir, si se verifica que sea verdadera.

Condición necesaria

La condición necesaria para la existencia de diferencial total de una función multivariada en un punto determinado es: si la función multivariada es diferenciable en un punto determinado, entonces la función debe ser continuo en ese punto.

Para funciones binarias, este teorema se puede expresar como: Si una función binaria es derivable en un punto, entonces la función debe ser continua en ese punto.

Otra condición necesaria para la existencia del diferencial total es: si una función multivariada es diferenciable en un punto determinado, entonces el diferencial total de esta función en ese punto se puede expresar como el cambio de la variable respectiva y el cambio de la variable independiente en ese punto. La suma de los productos de las derivadas parciales.

Para funciones binarias, este teorema se puede expresar como: si una función binaria es diferenciable en un punto, entonces el diferencial total de esta función en un punto es