Ejemplos de relaciones de pedidos totales

Las letras del alfabeto están ordenadas en el orden estándar del diccionario, como A < B < C, etc. Restringir un pedido total a un subconjunto de su conjunto de pedidos total. Los dos elementos son comparables en cualquier conjunto X parcialmente ordenado (es decir, si a,b son miembros de X, entonces a≤b o b≤a o ambos son verdaderos). Cualquier conjunto formado por números cardinales u ordinales (en realidad, bien ordenados). Si X es cualquier conjunto y f es una función inyectiva de Supongamos que hay una familia de conjuntos cuyos miembros son todos conjuntos completamente ordenados indexados por números ordinales. Luego, los pares ordenados en el producto cartesiano de esta familia de conjuntos se ordenan en orden lexicográfico. Por ejemplo, si tiene una colección de palabras, ordenarlas alfabéticamente dará como resultado un orden total. Por ejemplo, estipulamos que el pájaro está antes que el gato. Esto se puede considerar como agregar un símbolo de espacio (definido antes de todas las letras) al alfabeto, lo que da como resultado el conjunto A, y luego tomar un producto cartesiano contable de sí mismo para obtener Aω. Bird puede entenderse como el par de secuencias (b,i,r,d,,,...) en Aω, y cat es (c,a,t,,,,...). Por lo tanto, {bird,cat} se convierte en un subconjunto de Aω. Limitando el orden lexicográfico en Aω a este conjunto de caracteres, obtenemos bird) relaciones. Se puede demostrar que todos ellos son la instancia mínima única (en el sentido isomórfico) de un conjunto total ordenado con propiedades específicas (se dice que un orden total A es un orden total mínimo con propiedades específicas, lo que significa que mientras otros El orden total B tiene esta propiedad, y hay un isomorfismo de orden del subconjunto de A a B): El conjunto de números naturales es el conjunto de orden total más pequeño sin un límite superior. El conjunto de números enteros es el conjunto ordenado total más pequeño sin límite superior o inferior. El conjunto de números racionales es el conjunto ordenado total denso más pequeño dentro del conjunto de números reales. La densidad aquí significa que para cualquier número real a, b, existe un número racional q tal que a