¿Son correctas las conclusiones que los humanos sacan basándose en inferencias lógicas?

¿Qué es la prueba? Los filósofos han debatido durante siglos esta cuestión y lo que se considera probado. ¡Sin duda seguirán discutiendo! Los matemáticos, por otra parte, han utilizado durante mucho tiempo "definiciones de trabajo" para hacer avanzar las matemáticas.

A partir de esta pregunta, PASS Maths ha publicado una serie de artículos que presentan las ideas básicas detrás de las pruebas y el razonamiento lógico y su importancia en matemáticas. En este artículo, daremos una breve introducción al razonamiento deductivo y examinaremos una de las primeras demostraciones matemáticas conocidas.

Razonamiento deductivo

Dado un conjunto de proposiciones que se sabe o se supone que son verdaderas, el razonamiento deductivo es una forma poderosa de ampliar esas proposiciones. En el razonamiento deductivo, pensamos que si se sabe o se supone que la premisa P es verdadera, entonces podemos llegar a la conclusión C. La Tabla 1 a continuación brinda varias formas de argumentación y la Tabla 2 brinda ejemplos específicos:

Tabla 1 Diferentes tipos de razonamiento deductivo

P no puede deducir C

P puede deducir C

P es falso

No válido

Válido y poco confiable

P es verdadero

No válido

Válido y confiable

Tabla 2 Algunos ejemplos de argumentos deductivos

Premisa inválida, falsa

P: El pez es un mamífero.

P: Los peces son animales de sangre caliente.

C: Los mamíferos son animales de sangre caliente.

Eficaz, poco fiable

P: Los mamíferos son animales de sangre fría.

P: Los humanos somos mamíferos.

C: Los humanos somos animales de sangre fría.

Premisa inválida y correcta

P: Los peces son animales de sangre fría.

P: Los humanos no somos peces.

C: Los humanos somos animales de sangre caliente.

Eficaz y fiable

P: Los humanos somos animales de sangre caliente.

P: Los pescadores son seres humanos.

C: Los pescadores son animales de sangre caliente.

En la tabla, dos argumentos inválidos no significan que la conclusión sea necesariamente incorrecta, sino que no puede juzgarse a partir de los argumentos.

El comienzo: la geometría euclidiana

Euclides nació en Alejandría, Egipto, alrededor del año 365 a.C. y murió alrededor del 300 a.C. Poco se sabe sobre su vida excepto que enseñó matemáticas en Alejandría. Euclides escribió numerosas obras, pero la más famosa es sus Elementos, una obra sobre geometría que se utilizó como libro de texto durante más de 2000 años. El contenido de este libro no es el trabajo original de Euclides, sino un resumen del conocimiento de la geometría en ese momento. Pero contienen una de las primeras pruebas de la historia de las matemáticas.

En "Elementos de geometría", Euclides comenzó con 23 definiciones que describen puntos, rectas, planos, círculos, ángulos obtusos, ángulos agudos, etc. Las definiciones de Euclides no eran ni correctas ni incorrectas; simplemente explicaban, como un diccionario, el significado de los términos que utilizaba. Luego anotó varias hipótesis más. Cinco de ellos no se limitan a la geometría, los llamó axiomas:

Dos cantidades que son iguales a la misma cantidad también son iguales.

2. Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales, la suma es igual.

3. Si a la misma cantidad se le resta la misma cantidad, la diferencia es la misma.

4. Las figuras geométricas que pueden superponerse entre sí son congruentes.

5. El todo es mayor que las partes. ?

Los cinco supuestos restantes están relacionados con la geometría, a los que llama postulados:

Dos puntos pueden determinar una línea recta.

2. Una línea recta se puede extender infinitamente tanto hacia adelante como hacia atrás.

3. Dado cualquier segmento de línea, puedes usar uno de sus puntos finales como el centro del círculo y el segmento de línea como el radio para dibujar un círculo.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Una recta corta a otras dos rectas en el mismo plano. Si la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado de la recta es menor que 180°, entonces las otras dos rectas. debe cruzarse.

Estos diez elementos juntos constituyen el sistema de axiomas de la geometría euclidiana. Un axioma se refiere a un principio lógico que se supone correcto. No es necesario demostrar que es correcto. Puede usarse como premisa para el razonamiento deductivo.

El sistema de axiomas de Euclidiano es un "primer principio" que utiliza el razonamiento deductivo para derivar otros contenidos. Por supuesto, todos los argumentos deductivos sólo son sólidos si los axiomas y postulados de Euclides son correctos. Proposiciones y pruebas

Euclide derivó una gran cantidad de proposiciones geométricas en "Elementos" y utilizó el razonamiento deductivo para demostrar que eran correctas dentro de su sistema de axiomas.

Un ejemplo es la Proposición 6: "Si dos ángulos en un triángulo son iguales, entonces los lados opuestos a los dos ángulos también son iguales".

La prueba euclidiana es la siguiente:

Figura 1: Proposición 6

“Considere el triángulo ABC y ∠ABC es igual a ∠ACB; entonces el lado AB es igual a AC. Si AB no es igual a AC, uno de ellos lo será. sea ​​más largo que el otro; supongamos que AB es más largo; corte BD de AB con la misma longitud que AC y conecte DC. Debido a que DB es igual a AC y BC es común, DB es igual a AC, y BC es igual a CB. ∠DBC es igual a ∠ACB.

Por lo tanto, DC es igual a AB, por lo que el triángulo DBC es igual al triángulo ACB. Obviamente no son del mismo tamaño, por lo que hay una contradicción, por lo que AB solo puede ser igual a AC. .

Euclidiano. ¿Es correcto el postulado de?

Todos los griegos durante la época de Euclides y los matemáticos árabes posteriores creían intuitivamente que el quinto postulado en realidad se puede derivar de los cinco axiomas y los primeros cuatro postulados.

Muchas personas han intentado probar el quinto postulado y, por lo general, una prueba generalmente aceptada permanece aceptada durante mucho tiempo hasta que se demuestra que es errónea. Normalmente, las pruebas defectuosas implican "argumentos circulares": primero asumen que el postulado 5 es verdadero de todos modos para demostrar que lo es.

De hecho, el postulado 5 es verdadero independientemente de si es verdadero o falso, no puede derivarse de otros postulados y axiomas. Los matemáticos han estado fascinados durante mucho tiempo por el quinto postulado, pero no fue hasta los siglos XIX y XX que aprendimos acerca de las geometrías en las que el quinto postulado no se cumple (geometrías no euclidianas).

En geometría euclidiana, el quinto postulado es verdadero. Sin embargo, esto no es cierto en muchos otros tipos de geometría. Esto es obvio, basta con considerar la geometría de una esfera.

Es imposible dibujar una verdadera línea recta en una esfera, por lo que en geometría esférica la idea euclidiana de línea se convierte en un círculo máximo. Puedes pensar en la situación en la Tierra. La longitud es un círculo máximo, al igual que el ecuador. De hecho, el camino más corto entre dos puntos de la esfera es un círculo máximo.

Un corolario de los primeros cuatro postulados de Euclides es que dos líneas rectas diferentes sólo pueden cruzarse en un punto. En un círculo, esta afirmación también es problemática, porque diferentes círculos máximos siempre se cruzan en dos puntos. ¡Dos longitudes diferentes pasan por el Polo Sur y el Polo Norte!

Pero recuerda, ¡aún no hemos dicho a qué corresponden los puntos en la geometría euclidiana en la esfera! Si definimos dos puntos enfrentados como un punto de la esfera, el problema desaparece.

Según la definición número 23 de Euclides, "Las líneas rectas paralelas son líneas rectas que se extienden infinitamente hasta ambos extremos en el mismo plano y no pueden cruzarse".

Según esta definición, es fácil Puede verse que los primeros cuatro postulados de Euclides siguen siendo válidos. Pero el quinto postulado falla porque no se pueden trazar dos líneas que no se cruzan. No hay líneas paralelas en geometría esférica.

El resultado del fracaso del quinto postulado es que la suma de los ángulos interiores de un triángulo en la esfera ya no siempre es 180 grados. De hecho, uno de los acertijos mentales tiene que ver con la geometría no euclidiana.

El cazador salió de su casa y caminó una milla hacia el sur. Luego caminó una milla al oeste y mató a un oso, y finalmente caminó una milla al norte de regreso a casa. ¿De qué color es el oso?

Razonamiento euclidiano y deductivo

La historia de la geometría euclidiana y el posterior descubrimiento de la geometría no euclidiana ilustra los beneficios y desventajas del uso de axiomas para el razonamiento deductivo.

Utilizar definiciones, axiomas y postulados como un sistema. Euclides pudo derivar una gran cantidad de proposiciones geométricas mediante el razonamiento deductivo. Sus axiomas y demostraciones se convirtieron en herramientas útiles para los matemáticos a lo largo de los siglos y demostraron el poder del razonamiento deductivo.

Sin embargo, el largo y doloroso proceso de descubrimiento de la geometría no euclidiana demostró las limitaciones del razonamiento deductivo: todas las pruebas en un sistema axiomático no pueden ir más allá del propio sistema axiomático. En el plano euclidiano, el quinto postulado de Euclides es correcto y su demostración es válida y fiable. Sin embargo, en geometrías no euclidianas, como la geometría esférica, el quinto postulado es falso, por lo que la prueba de Euclides no es confiable.