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¿Qué son el método de los elementos finitos y el método de las diferencias finitas?

1. Método de elementos finitos

El método de elementos finitos es un método de cálculo numérico de alta eficiencia y de uso común. En el campo de la informática científica, a menudo es necesario resolver varias ecuaciones diferenciales, y las soluciones analíticas de muchas ecuaciones diferenciales generalmente son difíciles de obtener. Después de discretizar las ecuaciones diferenciales utilizando el método de elementos finitos, se pueden compilar programas y soluciones asistidas por computadora. se puede utilizar.

El método de elementos finitos se desarrolló inicialmente basándose en el principio variacional, por lo que se usa ampliamente en varios campos físicos descritos por la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson (dichos campos están estrechamente relacionados con el valor extremo problema de funcionales).

Desde 1969, algunos estudiosos también han obtenido ecuaciones de elementos finitos aplicando el método de Galerkin o el método de mínimos cuadrados en el método del resto ponderado en mecánica de fluidos, por lo que el método de los elementos finitos se puede aplicar en todo tipo de física. campos descritos por cualquier ecuación diferencial, ya no es necesario que dichos campos físicos estén relacionados con el problema de valores extremos de los funcionales.

Idea básica: Resolver la ecuación de Poisson dada se transforma en resolver el problema de valores extremos del funcional.

2. Método de diferencias finitas

El problema de solución definida de ecuaciones diferenciales consiste en encontrar la solución de la ecuación diferencial bajo ciertas condiciones de solución definida. Las condiciones de solución definida que deben satisfacerse en los límites de la región espacial se denominan condiciones de frontera.

Los problemas con solución definida muchas veces no tienen solución analítica, o sus soluciones analíticas son difíciles de calcular. Por lo tanto, se deben utilizar soluciones numéricas factibles. El método de diferencias finitas es un método de solución numérica. Su idea básica es mallar primero el dominio de definición del problema y luego reemplazar la derivada en el problema de solución definida con la diferencia en los puntos de la cuadrícula de acuerdo con la fórmula empresarial diferencial numérica apropiada. .

De esta forma, se discretiza el problema original en un formato diferencial y se obtiene la solución numérica. Además, también debemos estudiar la existencia y unicidad de la solución del esquema en diferencias, el método para encontrar la solución, la estabilidad numérica de la solución, la estimación del error entre la solución del esquema en diferencias y la solución verdadera del original. solución y el tamaño de la cuadrícula de la solución del esquema de diferencias, si tiende a la solución verdadera (es decir, convergencia) cuando se acerca a cero, etc.

El método de diferencias finitas es sencillo, flexible y versátil, y puede implementarse fácilmente en un ordenador.