¿Qué es la transformada de Fourier?

La transformada de Fourier, uno de los algoritmos más potentes, se utiliza ampliamente en física, procesamiento de señales, probabilidad, estadística, criptografía, acústica, óptica y otros campos. Algunas personas dicen que si entiendes a Fourier, entenderás el mundo y eso puede cambiar la percepción que uno tiene del mundo.

No profundizaremos en ello aquí. No existe una derivación de fórmula matemática. Es simplemente una ciencia popular simple sobre lo que es la transformada de Fourier. Lo más interesante de la transformada de Fourier es que puede transformar la señal entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, así que primero expliquemos qué son el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.

①Dominio del tiempo

El dominio del tiempo describe la relación entre funciones matemáticas o señales físicas con el tiempo. Por ejemplo, la forma de onda en el dominio del tiempo de una señal puede expresar el cambio de la señal a lo largo del tiempo. . Por ejemplo, el siguiente diagrama en el dominio del tiempo vibra repetidamente 5 veces en 1 segundo, la frecuencia es 5 y la amplitud máxima es 1. La imagen completa describe el valor de la señal en cada momento:

②Dominio de frecuencia

El dominio de la frecuencia es un sistema de coordenadas utilizado para describir las características de frecuencia de una señal. El diagrama del dominio de la frecuencia muestra la cantidad de señal en cada banda de frecuencia dada dentro de un rango de frecuencia. El diagrama de dominio del tiempo anterior se expresa en el dominio de la frecuencia, que es la figura siguiente. La abscisa representa la frecuencia y la ordenada representa la amplitud. Esta imagen muestra: Aquí hay una onda con una frecuencia de 5 y una amplitud de 1.

Además, la representación en el dominio de la frecuencia también puede incluir la fase de cada sinusoide, lo que permite recombinar los componentes de la frecuencia para recuperar la señal temporal original. Las diferentes fases determinan la posición de la onda. Al restaurar la información del dominio de la frecuencia a la información del dominio del tiempo, la fase es muy importante.

Las ondas sinusoidales roja y azul tienen una diferencia de fase de θ

Transformada de Fourier

Primero, iluminemos la fórmula general de Fourier. (Para "fobia a las fórmulas", cierre los ojos y deslícese...)

La transformada de Fourier, por definición, significa que una función que cumple ciertas condiciones se puede expresar como una función trigonométrica o su integral lineal. combinación de. En pocas palabras, recorre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia y puede desmantelar infinitamente cualquier forma de señales periódicas en múltiples señales regulares de onda sinusoidal simple. (La onda sinusoidal es la proyección de un movimiento circular en línea recta, por lo que la unidad básica del dominio de la frecuencia también puede entenderse como un círculo que siempre está girando).

Animación de círculos de ondas cuadradas de la serie de Fourier

Por ejemplo, la siguiente forma de onda también es regular y se puede dividir en la superposición de varios grupos de ondas.

En otras palabras, la transformada de Fourier puede descomponer una onda compleja en una colección de ondas regulares y simples. Luego, al describir estas ondas regulares en el dominio de la frecuencia, podemos tener un diagrama espectral de la onda completa.

Como se muestra en la figura siguiente, la señal de onda cuadrada observada en el dominio del tiempo es la superposición de varias señales sinusoidales. Cuando se toma el tiempo como eje horizontal, se puede ver la imagen en el dominio del tiempo obtenida después de la acumulación. De estas señales. Desde otro ángulo, cuando se utiliza la frecuencia como coordenada, lo que se obtiene son pulsos con diferentes frecuencias. La conversión de una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia es la transformada directa de Fourier, y la representación del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo es la transformada inversa de Fourier. Por lo tanto, el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia representan la misma información desde perspectivas completamente diferentes. (De repente quiero recitar un poema: Visto horizontalmente, hay crestas y picos, con diferentes alturas cerca y lejos...)

Muchas operaciones que parecen imposibles en el dominio del tiempo son muy fáciles en el dominio de la frecuencia. dominio. , aquí es donde se necesita la transformada de Fourier. En particular, eliminar algunos componentes de frecuencia específicos de una determinada curva, lo que en ingeniería se denomina filtrado, es uno de los conceptos más importantes en el procesamiento de señales y sólo se puede lograr fácilmente en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, en el procesamiento de imágenes, los elementos de baja frecuencia determinan la forma general de la imagen, mientras que los elementos de alta frecuencia proporcionan detalles. Al controlar el filtro, se puede filtrar información de diferentes frecuencias, determinando así el efecto de la imagen de salida.