¿Qué son los números primos?
El número primo más pequeño es el 2, que además es el único número par. El primer grupo de números primos se ordena de la siguiente manera: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...
Los números enteros positivos que no son primos y son mayores que 1 se llaman compuestos números.
Para conocer los números primos en la tabla de números primos, consulte la tabla de números primos.
Según la fórmula definida:
Supongamos que A=n2 b=(n-x)(n y), no existe ningún número entero positivo excepto n-x=1. Por lo tanto, existen:
y = (b NX)/(n-x)(x lt; N-1) No existe un entero positivo, entonces A es un número primo.
Porque x
Consulta la enciclopedia interactiva de distribución de números primos y ecuaciones indefinidas para obtener más detalles.
[Editar este párrafo] Teorema fundamental de la aritmética
Teorema fundamental de la aritmética:
Cualquier número entero positivo n mayor que 1 se puede expresar de forma única como un número finito de números primos Producto: n=p_1p_2...p_s, donde p_1≤p_2 ≤...≤p_s es un número primo.
Esta expresión también se llama descomposición estándar de n.
El Teorema Fundamental de la Aritmética es el teorema más básico de la teoría elemental de números. A partir de este teorema se pueden redefinir los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números enteros.
1 no puede considerarse número primo porque debe garantizar la unicidad que exige el teorema fundamental de la aritmética. Esta explicación se puede encontrar en la "Introducción a la teoría de números" de Hua.
[Editar este párrafo] Problema de distribución de números primos
La distribución de números primos se refiere a la distribución de números primos en el conjunto de enteros positivos o sus subconjuntos especiales, como el número de números primos. números, etc Los resultados son los siguientes:
(1) Euclides utilizó la prueba por contradicción para demostrar que el número de números primos es infinito; Euler también utilizó métodos analíticos para demostrar esta conclusión.
(2) Gauss propuso el famoso teorema de los números primos (era una conjetura en ese momento, pero luego se demostró): Supongamos que π(x) es el número de números primos que no exceden x, entonces el límite (x tiende a infinito).
lim π(x)/(x/Ln x)=1
Una fórmula mejor aproximada es la función li(x) propuesta por Gauss, es decir, lim π(x )/lix=1.
En...
(3) Dirichlet demostró cualquier secuencia aritmética: a, a d, a 2d,...a nd,...(donde a y d son relativamente primo) contiene infinitos números primos.
(4) Conjetura de Lambert (comprobada): Debe haber un número primo entre n y 2n, donde n es un entero positivo mayor que 1.
Distribución y probabilidad de números primos dentro de mil millones
"10" |4 |40
"100" |25 |25
"1000" |168 |16.8
"10000" |1229 |12.29
"100000" |9592 |9.592
"1000000" |78498 |7.8498
"2000000" |148933 |7.44665
"10000000" |664579 |6.64579
"100000000" |5761455 |5.761455
" 200000000 " |11078937 |5.5394685
"300000000" |16252325 |5.41744167
"400000000" |21336336 |5.334084
"500000000" |263558 77 |5,27 11754< /p >
"600000000" |31324713 |5.2207855
"700000000" |36252941 |5.17899157
"800000000" |41146189 |5.143273625
"900000 000" | 46009225 |5.1121361
"1000000000" |50847544 |5.0847544
Se puede observar que la proporción de números primos disminuye, pero el número total aumenta.
Se puede observar que el número de números primos es infinito. Esta conclusión ha sido demostrada por el antiguo matemático griego Euclides en su obra "Elementos de geometría" utilizando el método de reductio ad absurdum.
[Editar este párrafo] Construcción de números primos
Cómo construir números primos, es decir, encontrar una fórmula que solo pueda producir números primos, es un tema importante en la teoría de números clásica . Muchos matemáticos han intentado este problema. A continuación se muestran algunos ejemplos clásicos.
(1) El número de Fermat f _ n = 2 (2 n) 1 definido por Fermat. Conjeturó que el número de Fermat era un número primo. Pero Euler demostró que 641 es divisible por F5. Hasta ahora no ha sido posible demostrar si existen infinitos números primos de Fermat. Algunas personas especulan que casi todos los números de Fermat son números compuestos.
(2) Gauss demostró que se puede dibujar un N-gón regular con una regla si y sólo si todos los factores primos impares de N son primos de Fermat. En particular, puedes usar una regla para hacer un heptágono regular.
(3)M_p = 2 p-1 definido por Mason. Supuso que cuando p es un número primo, m_p también es un número primo, llamado número primo de Mersenne. Pero esta conclusión también fue rechazada. Una pregunta importante es: ¿hay infinitos números primos de Mersenne? Esta conjetura aún no ha sido confirmada.
(4) Un número n es incluso perfecto si y sólo si n puede escribirse como n = 2 {p-1} M_p, donde p y el número de Mersenne M_p son números primos. Una pregunta importante es: ¿Existen números perfectos impares?
(5) Euler y Fermat construyeron algunos polinomios, todos los cuales toman números primos dentro de un cierto rango, tales como: f(n)= n ^ 2-n 41, n=1,2 Todos son números primos,..., 40. Una pregunta interesante es que hay infinitos números primos que se pueden escribir en la forma n^2 1.
(6) Una fórmula que sólo produce números primos es fácil de construir, pero no tiene significado teórico. Por ejemplo, sea B_n=((n-1)! 1)/n, donde {x} representa la parte decimal de x, [x] representa la parte entera de x. Entonces, la función f(n)=n (n. -2)[{ -B_n}] produce solo números primos. Esta es la aplicación del famoso teorema de Wilson, es decir, "n es un número primo si y sólo si (n-1)! 1 se puede dividir entre n".
(7) El método de selección tradicional utiliza un teorema: "N es un número primo si no es divisible por ningún número primo no mayor que la raíz de N". "Diccionario algebraico", Shanghai Education Press, 1985, página 259. Consulte la fórmula general de números primos de Baidu que se puede expresar mediante una fórmula; consulte el siguiente método de detección.
[Editar este párrafo] Varias conjeturas sobre los números primos
Hemos mencionado varias conjeturas anteriormente, como la conjetura de los primos infinitos de Mersenne, la conjetura de los primos finitos de Fermat, etc. Aquí hay algunas otras conjeturas importantes.
(1) Hipótesis de Riemann. Riemann descubrió a través de una investigación que la mayoría de las conjeturas sobre la distribución de números primos dependen de la posición del punto cero de la función zeta de Riemann ζ(s). Conjeturó que todos esos puntos cero no triviales caen en el plano complejo y están en línea recta con la parte real de 1/2. Esto se conoce como uno de los siete principales problemas matemáticos del milenio y también es un tema importante. en teoría analítica de números.
(2) Conjetura de los primos gemelos. Si P y p 2 son números primos, entonces se llaman primos gemelos. Una pregunta importante es: ¿Existen infinitos pares de primos gemelos? Este problema aún no se ha resuelto.
(3) Conjetura de Goldbach (a) Todos los números pares no menores a 6 pueden expresarse como la suma de dos números primos impares (generalmente representados por el código "1 1").
(b) Todo número impar no menor que 9 se puede expresar como la suma de tres números primos impares.
La segunda parte del problema, estimada mediante el método del círculo en teoría analítica de números, ha sido probada. La verdadera dificultad es la primera parte.
[Editar este párrafo] Progreso histórico de la conjetura de Goldbach
La conjetura de Goldbach fue propuesta por el matemático alemán C. Goldbach (1690-1764) en junio de 1742 Fue propuesta en una carta a el gran matemático Euler el día 7, por eso se la llama conjetura de Goldbach. El 30 de junio del mismo año, Euler respondió que esta conjetura podría ser cierta, pero no pudo probarla. Desde entonces, este problema matemático ha atraído la atención de casi todos los matemáticos. Por tanto, la conjetura de Goldbach se ha convertido en una "joya" inalcanzable en la corona de las matemáticas.
En los siglos XVIII y XIX, todos los expertos en teoría de números no lograron avances sustanciales en la demostración de esta conjetura hasta el siglo XX. Para demostrar directamente que la conjetura de Goldbach no se cumple, la gente adoptó una "táctica de desvío", es decir, primero consideró expresar números pares como la suma de dos números, cada número es el producto de varios números primos, llamados "números casi primos", es decir Es decir, los píxeles son muy pequeños. Si la proposición "Todo número par grande puede expresarse como la suma de un número con no más de un factor primo y un número con no más de b factores primos" se registra como "a b", entonces la conjetura de Coriolis queda demostrada "1 1 "Establecido.
“Un número par suficientemente grande” Chen Jingrun se refiere al 10 elevado a la potencia de 5.000.000, es decir, 10 más 500.000 ceros. No ha habido avances sustanciales en la conjetura de Goldbach.
En 1920, Noruega Brown demostró "9 9".
En 1924, el Latmach de Alemania demostró "7 7".
En 1932, el británico Esterman demostró "6 6".
En 1937, la italiana Lacey demostró sucesivamente "5 7", "4 9", "3 15" y "2 366".
En 1938, Buxitab de la Unión Soviética demostró "5 5".
En 1940, Buxitab de la Unión Soviética demostró "4 4".
En 1948, Rini de Hungría demostró "1 c", donde c es un número natural grande.
En 1956, Wang Yuan de China demostró "3 4".
En 1957, Wang Yuan de China demostró "3 3" y "2 3" sucesivamente.
En 1962, Pan Chengdong de China y Barba de la Unión Soviética demostraron "1 5", y Wang Yuan de China demostró "1 4".
En 1965, los soviéticos Buchsh Taber y Vinogradov Jr., así como el italiano Pemberley, demostraron "1 3".
En 1966, Chen Jingrun de China demostró “1 2”.
[Editar este párrafo] Varias explicaciones en inglés de los números primos
1 En matemáticas, un número primo (o número primo) es un número natural mayor que uno, y su único positivo. El divisor es El número es uno y él mismo. En resumen: un número primo es un número natural que tiene exactamente dos factores naturales. Los números naturales mayores que uno y que no son primos se llaman números compuestos. Los números 0 y 1 no son números primos ni compuestos. La propiedad de los números primos se llama primalidad. Los números primos son muy importantes en la teoría de números. [De Wikipedia]
2. Un número entero que no es divisible por ningún número entero excepto por sí mismo y uno sin resto. [Del American Heritage Dictionary]
3. Cualquier número entero distinto de 0 o 1 que no sea divisible sin resto por ningún otro número entero excepto 1 y el número entero mismo. [¿Colegial del diccionario Merriam-Webster? Diccionario]
4. Un número que sólo se puede dividir por sí mismo y el número. Por ejemplo, tres y siete son números primos. [Extraído del Diccionario Longman de Inglés Contemporáneo]
[Editar este párrafo] Método de detección
El método de detección es un método para encontrar todos los números primos que no excedan el número natural n ( norte > 1). Se dice que fue inventado por Eratóstenes (aproximadamente 274 ~ 194 a. C.) en la antigua Grecia, también conocido como tamiz de Eratóstenes.
El método específico es: primero ordene n números naturales. El 1 no es un número primo ni un número compuesto, por lo que conviene tacharlo. El segundo número, 2, es un número primo. Después del 2, se tachan todos los números que se pueden dividir entre 2. El primer número sin cruzar después del 2 es 3, deja 3 y luego tacha todos los números después del 3 que sean divisibles por 3. El primer número sin cruzar después del 3 es 5, deja 5 y luego tacha todos los números después del 5 que sean divisibles por 5. Si continuaras haciendo esto, filtrarías todos los números compuestos hasta n, dejando todos los números primos hasta n, porque los griegos escribían números en tablillas de cera, y cada vez que tachaban un número, escribían en él un punto. . Una vez completado el trabajo de encontrar números primos, muchos puntos actúan como un tamiz, por lo que el método de Eratostheian se llama "tamiz de la eratostesia", o simplemente "método del tamiz". Otra explicación es que los números de la época se escribían en papiro, y cada vez que se tachaba un número, se extraía uno nuevo. Una vez finalizado el trabajo de encontrar números primos, estos agujeros actúan como un tamiz. )
La relación entre los métodos de detección y las fórmulas;
Fórmula general de los números primos: en el año 250 a.C., el antiguo matemático griego Eratóstenes propuso un método de detección:
p>
(a) "Para obtener todos los números primos no mayores que un número natural N, simplemente tacha todos los múltiplos de números primos no mayores que √N en 2 - N."
(2) Conversión equivalente del contenido anterior: "Si n es un número compuesto, tiene un factor d que satisface 1
(3) Equivalencia del contenido de (2 ) Conversión de valencia: "Si el número natural N no es divisible por ningún número primo no mayor que (signo raíz)√N, entonces N es un número primo". Véase (Diccionario de Álgebra [Shanghai Education Press] 1985. "Cajón" editado). por Zhen Capítulo 259. página).
(4) Los caracteres chinos de esta oración se pueden convertir de manera equivalente a la fórmula expresada en letras inglesas:
n = p 1m 1 a. 1 = p2m 2 a2 = ......=pkmk ak .(1)
Donde p1, p2,...,pk representan los números primos secuenciales 2, 3, 5,,,, . Respuesta ≠0. Es decir, n no puede ser 2m 0, 3m 0, 5m 0,..., pkm 0. Si n al cuadrado (k 1) [Nota: los siguientes 1, 2, 3,... , K, (k 1) son todas huellas, y como no se puede imprimir, los números después de las letras o I y K son todas huellas], entonces n es un número primo
(5) (1 ) se puede convertir de manera equivalente en un conjunto de congruencias:
N≡a1(modp1), N≡a2(modp2),..., N AK(modpk) (2)
Por ejemplo, 29, 29 no puede tener raíz. Cualquier número primo menor de 29 es divisible por 2, 3 y 5, 29 = 2x 14 1 = 3x 9 2 = 5x 5 4.
29≡1 (módulo 2), 29≡2 (módulo 3), 29≡4 (módulo 5) es menor que 7 al cuadrado 49, por lo que 29 es un número primo.
Los siguientes cuadrados están representados por "*", es decir, ㎡=m*.
Debido a que (2) p1, p2,...,pk son primos mutuos por pares, según el teorema de Sun Tzu (teorema chino del resto), (2) tiene una solución única...PK en el rango de p1p2.
Por ejemplo, cuando k=1, N=2m 1, la solución es N=3, 5, 7. Se obtienen todos los números primos en el intervalo (3, 3 *).
Cuando k=2, N=2m 1=3m 1, la solución es n = 7, 13, 19; N=2m 1=3m 2, la solución es n = 5, 11, 17, 23 . Se obtienen todos los números primos en el intervalo (5, 5 *).
Cuando k=3,
- | 5m 1-|- 5m 2-| |
- | - | - | - | - |
n = 2m 1 = 3m 1 = |-31-|-7, 37-|-13, 19 - |
n = 2m 1 = 3m 2 = |-11, 41-|-17, 47-| - 23 - | 29 - |
-
Obtiene todos los números primos en el intervalo (7, 7 *).
Si seguimos así, podemos encontrar todos los números primos en cualquier número grande.