¿Qué son los puntos de inflexión, los puntos extremos y los puntos estacionarios?

1. Diferentes definiciones

1. Punto extremo: Si f(a) es el valor máximo o mínimo de la función f(x), entonces a es la función f( El extremo puntos, puntos máximos y puntos mínimos de x) se denominan colectivamente puntos extremos. El punto extremo es la abscisa del punto máximo o mínimo dentro de un determinado subintervalo de la imagen de la función. El punto extremo aparece en el punto estacionario de la función (el punto donde la derivada es 0) o en el punto indiferenciable (la función derivada no existe, y también se puede obtener el valor extremo, en cuyo caso el punto estacionario no existe ).

2. Punto estacionario: el punto donde la primera derivada de la función es 0 (el punto estacionario también se llama punto estable o punto crítico). Para funciones multivariadas, el punto estacionario es el punto donde todas las derivadas parciales de primer orden son cero.

3. Punto de inflexión: También conocido como punto de inflexión, matemáticamente se refiere al punto que cambia la dirección hacia arriba o hacia abajo de la curva. Intuitivamente hablando, el punto de inflexión es el punto donde la tangente cruza la curva. curva (es decir, el arco cóncavo de la curva continua y el punto divisorio del arco convexo).

2. Diferentes propiedades

1. La monotonicidad en el punto estacionario puede cambiar y la concavidad y convexidad en el punto de inflexión.

2. Punto de inflexión: el punto que cambia la concavidad y convexidad de la función.

3. Punto estacionario: la primera derivada es cero.

3. Características diferentes

1. El punto extremo no es necesariamente un punto estacionario. Por ejemplo, y=|x| no es diferenciable en el punto x=0, por lo que no es un punto estacionario, sino un punto de valor mínimo (mínimo).

2. El punto estacionario no es necesariamente el punto extremo. Por ejemplo, y=x?, la derivada es 0 en x=0, que es un punto estacionario, pero no hay un valor extremo, por lo que no es un punto extremo.

3. La función de esta gráfica de curva tiene una derivada de segundo orden en el punto de inflexión, y la derivada de segundo orden tiene un signo diferente (de positivo a negativo o de negativo a positivo) o no. existen en el punto de inflexión.

Información ampliada:

1. El punto cero, el punto estacionario y el punto extremo se refieren a una abscisa x0 de la función y=f(x), y el punto de inflexión se refiere. a la función Un punto en la imagen de y=f(x)

2. Punto estacionario y punto extremo: El punto extremo de una función diferenciable f(x) debe ser su punto estacionario, pero a la inversa, la función El punto estacionario de no es necesariamente el punto extremo. Por ejemplo, en el ejemplo anterior de y=x3, x=0 es el punto estacionario de la función f(x), pero no es un punto extremo. Además, una función también puede obtener un valor extremo cuando su primera derivada no existe. Por ejemplo, y=|x|, la derivada no existe en x=0, pero el punto extremo es x=0.

3. El punto estacionario y el punto extremo están relacionados con la primera derivada de la función, y el punto de inflexión está relacionado con la segunda y tercera derivada de la función.

Referencia: Enciclopedia Baidu - Punto extremo

Referencia: Enciclopedia Baidu - Punto estacionario

Referencia: Enciclopedia Baidu - Punto de inflexión