¿Qué es el teorema de Cauchy? ¿Para qué sirve?
El teorema del valor medio de Cauchy es una extensión del teorema del valor medio de Lagrange y es uno de los teoremas básicos del cálculo diferencial.
Teorema del valor medio de Cauchy
Cauchy
Supongamos que las funciones f(x) y g(x) satisfacen
⑴Continua en el plano cerrado intervalo [a, b];
⑵ Diferenciable en el intervalo abierto (a, b
⑶ Para cualquier x∈(a, b) Si g'(x)≠; 0,
entonces existe ξ∈(a, b), tal que
[f(b)-f(a)]/[g(b )-g(a )]=f'(ξ)/g'(ξ)
Prueba:
Como función auxiliar F(x)=f(x)-[f (a)- f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]
Obviamente, F(a)=F(b)=[f(a)g (b)- f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]
Según el teorema del valor medio de Rolle: existe ξ∈ (a, b), tal que F'( ξ)=0.
Entonces F'(ξ)=f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a) -g( b)]=0, es decir, f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
La proposición está probada.
Relación con el teorema de Lagrange:
En el teorema del valor medio de Cauchy, si se toma g(x)=x, la forma de conclusión es la misma que la del teorema del valor medio de Lagrange. La conclusión es de la misma forma.
Por lo tanto, el teorema del valor medio de Lagrange es un caso especial del teorema del valor medio de Cauchy; a la inversa, el teorema del valor medio de Cauchy puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio de Lagrange.
Significado geométrico:
Si u=f(x), v=g(x), esta forma puede entenderse como una ecuación paramétrica, y [f(a)-f ( b)]/[g(a)-g(b)] es la pendiente del punto final de la curva del parámetro de conexión, f'(ξ)/g'(ξ) representa la pendiente tangente en un cierto punto de la curva, bajo las condiciones del teorema, se pueden entender de la siguiente manera:
Existe al menos un punto en la curva representada por una ecuación paramétrica, y su tangente es paralela a la cuerda donde se ubican los dos puntos extremos.
Uso para juzgar la monotonicidad de una función:
La monotonicidad de una función es el aumento o disminución de una función. ¿Cómo podemos juzgar el aumento o disminución de una función?
Sabemos que si una función aumenta (o disminuye) monótonamente en un determinado intervalo, la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en ese intervalo es positiva (o negativa), es decir, la derivada de la función en este intervalo Todas toman valores positivos (o valores negativos). Por lo tanto, podemos determinar el aumento o disminución de la función determinando el signo de la derivada de la función.
Ejemplo 1 Supongamos. f(0)=0, f(x) en Aumenta monótonamente en (0, ∞). Prueba: f(x)x aumenta monótonamente en (0, ∞).
Demuestre eso a partir de la media de Cauchy. teorema del valor, se puede concluir que f(x)x=f( x)-f(0)x-0=f′(ξ)1=f′(ξ),0lt;;ξlt;x, de lo cual Se puede ver que f(x)x′gt;0. Esto puede probar que f( X) Los límites de la fórmula se registran respectivamente como 00, ∞∞, 0/∞, ∞-∞ y ∞∞-; escriba infinitivos.
Observe cuidadosamente la forma de la expresión del teorema del valor medio de Cauchy, puede ver dos La razón de una expresión funcional se puede convertir en la razón de las derivadas de dos funciones en condiciones de movimiento. De esta manera, es posible realizar la función representada por el numerador y denominador de una fracción no formulada. Usaremos el teorema del valor medio diferencial como base teórica. A través de la derivación se establece un método simple y efectivo para encontrar límites no indeterminados. . Obtenemos el siguiente teorema:
⑴Las dos funciones f(x) y g(x) son diferenciables en el intervalo abierto (a , b), y en este intervalo abierto, la derivada de g(x). ) no es igual a 0;
⑵Existe un límite limx→a 0f′(x)g′(x)=A, donde A es una constante finita Entonces, bajo las siguientes circunstancias: limx→a. 0f(x)=0 y limx→a 0g(x)=0 o limx→a 0g(x)=∞ Entonces hay: limx→a 0f(x)g(x)=limx→a 0f′(x. )g′(x)=A. A su vez, existe un resultado similar en el otro punto final del intervalo. Este teorema se llama ley de Robida, que puede aplicarse eficazmente a cálculos de límites no formulados.
La ley de Robida puede. Se puede aplicar a 7 cálculos de límites no formulados, y solo hay dos formas no formuladas más básicas: tipos 00 y ∞∞.00 y ∞∞. Todos lo sabemos, por lo que no las presentaremos aquí. Otras formas indefinidas se pueden transformar en estas dos. formas:
①0; ∞ tipo.
A través de la identidad: f( x)·g(x)=f(x)1g(x), obteniendo así las dos formas básicas de 00 o ∞∞.
Tipo ②∞-∞.
Identidad aprobada: f(x)-g(x)=1g(x)-1f(x)1f( x)×1g(x), obteniendo así el tipo 00.
③00,∞0,1∞ Tipo.
A través de la identidad f(x)g(x)=elnf( x)g(x)=eg(x)lnf(x), obtenemos 00; 0-∞,∞-∞, 00, ∞0, 1∞ tipo. Luego se puede convertir en dos formas básicas: 00 o. ∞∞.
Para las formas no finalizadas de las dos formas básicas, basta con aplicar directamente la ley de Lópida, que se expresa como limf(x)g(x)=limf′(x)g′(x)= A.
Obviamente la condición en este momento es que existan f′(x) y g′(x), y g′(x)≠0 es otra área que no es muy obvia, por lo que los principiantes. A menudo comete errores, es exigir que f (x) y g (x) tengan 0 o ∞ como límites al mismo tiempo. Al resolver el problema, se debe tener cuidado de verificar estas tres condiciones en cualquier momento, de lo contrario. definitivamente cometerás errores.
Ejemplo 2 Demuestra: limx→0 x1-ex=-1.
Demuestra que sea t=x, cuando x→0, hay t→ 0, entonces podemos obtener:
limx→0 x1-ex=limx→0 t1-et
=limx→0 1-et=-1. Derivación de la fórmula de la mediana Ejemplo 3 Suponga que f(x) es dos veces diferenciable en el intervalo abierto (a, b), demuestre: cualquier x, x0∈ (a, b), existe. ξ∈(x, x0), de modo que f(x)=f(x0) f′(x0)(x-x0) 12f″(ξ)(x-x0)2 se cumple (esta es la expansión de primer orden de Fórmula de Taylor).
La prueba se puede ver en la pregunta. Solo necesitamos probar el caso de xgt; f(x0)-f′（ x0)(x-x0), G(x)=12(x-x0)2.
La derivada se puede obtener como F′(x)=f′ (x)-f′(x0), G′(x)=x-x0.
Porque F(x0)=G(x0)=0, F′(x0)=G′(x0 )=0 se aplica dos veces al teorema del valor medio de Cauchy, puedes obtener:
f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F (x)G(x)=F(x )-F(x0)G(x)-G(x0)=F′(n)G′(n)=F′(n)-F′(x0)G ′(n)-G′(x0)= F″(ξ)G″(ξ)=F″(ξ).
Donde eta∈(x,x0), ξ∈(x0,η ), entonces f(x)=f(x0 ) f′ (x0) (x-x0) 12f″ (ξ) (x-x0)2 Por tanto, la proposición queda demostrada. Estudia algunas características de la función ⑴. Demostrar la existencia del punto mediano
Ejemplo 4[1] Supongamos que la función f es continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b), entonces ?ξ∈(a, b ), tal que f(b)-f(a)= ξlnbaf′(ξ).
Demuestre que suponiendo g(x)=lnx, obviamente satisface las condiciones del teorema del valor medio de Cauchy junto con f en [a, b], entonces existe ξ∈(a, b) , tal que f(b)-f(a)lnb-lna=f′(ξ)1ξ, es decir, existe ξ∈(a, b) tal que f(b)-f(a)=ξf′(ξ)lnba.
⑵ Demostrar la identidad
Ejemplo 5 Demostrar: arcsinx arccosx=π2, x∈ [0, 1].
Demuestre que f(x)=arcsinx arccosx, Entonces f′(x)=11-x2-11-x2≡0,?x∈(0,1), ya que f(x) es continua en [0,1], por lo que f(x)≡f(0)= π2.