Introducción a las tres principales escuelas matemáticas de matemáticas

Antes de presentar las tres principales escuelas de matemáticas de mediados y principios del siglo XX, me gustaría mencionar las "escuelas" de matemáticas. Hay muchas más escuelas de matemáticas que escuelas de matemáticas. Una escuela suele ser una serie de investigaciones realizadas por muchos matemáticos conocidos en el mismo lugar y se adhiere a un determinado estilo escolar. En la "Enciclopedia de Matemáticas de Educación Básica" (Libro de Diseño), las escuelas matemáticas mencionadas son: Escuela Jónica, Escuela Pitagórica, Escuela Sofística, Escuela Homo Sapiens, Escuela Eleática, Escuela de Teoría Atómica, Escuela de Atenas, Escuela de Platón, Escuela de Aristóteles, Escuela de Alejandría, Escuela de Göttingen, Escuela de Berlín, Escuela de Petersburgo, Escuela Italiana de Geometría Algebraica, Escuela Francesa de Teoría de Funciones, Escuela de Intuicionismo, Escuela de Logicismo, Escuela Formalista, Escuela de Princeton, Escuela de Moscú, Escuela Funcional , Escuela de Topología, Escuela Analítica de Cambridge, Escuela Polaca, Escuela de Varsovia, Escuela de Lviv, Escuela Bourbaki, etc.

Se puede observar que las escuelas matemáticas y las escuelas filosóficas anteriores a la Edad Media casi se superpusieron. Puedes aprender muchas cosas relevantes estudiando "Historia de la Filosofía Occidental". Las matemáticas mismas derivan de la filosofía natural. Si bien la ciencia matemática se ha separado gradualmente de la filosofía, la base de las matemáticas todavía tiene un fuerte sabor filosófico. Hay una larga historia sobre cada escuela de pensamiento, y cada matemático tiene muchas obras interesantes e historias legendarias. Al leer los cuatro volúmenes "Ancient and Modern Mathematical Thought" de M. Klein y "Mathematical Elites" de E.T. Bell, podemos conocer las historias de muchos matemáticos.

Hasta los tiempos modernos, al consultar libros como "Élites de las matemáticas contemporáneas: biografía de los ganadores de la medalla Fields" y "Maestros de las matemáticas contemporáneas: los ganadores del premio Wolf y sus logros e ideas", uno puede aprender sobre 20 una comprensión general de las matemáticas desde hace siglos.

La Escuela de Moscú y la Escuela de Göttingen son mis dos escuelas favoritas. Ambos lugares han reunido a un gran número de matemáticos famosos y tienen una larga tradición histórica de matemáticas y una profunda cultura matemática.

Acerca de la Escuela de Göttingen:

La Escuela de Göttingen es una escuela que ha dominado durante mucho tiempo el desarrollo de las ciencias matemáticas en el mundo. La escuela insiste en la unidad de las matemáticas y sus pensamientos reflejan. La esencia de las matemáticas promueve el desarrollo de las matemáticas.

Gauss inició el inicio de la Escuela de Matemáticas de Gotinga y llevó las matemáticas modernas a un nuevo nivel. Riemann, Dirichlet y Jacobi heredaron el trabajo de Gauss e hicieron contribuciones en los campos del álgebra, la geometría, la teoría de números y el análisis. Klein y Hilbert llevaron a la Escuela de Matemáticas de Göttingen en Alemania a su apogeo. La universidad de Göttingen se ha convertido en un centro internacional. para la investigación y educación matemática.

La Escuela de Gotinga es la cuna y lugar sagrado de los matemáticos en el mundo, pero la llegada al poder de Hitler le asestó un golpe fatal. Un gran número de científicos de ascendencia judía se vieron obligados a huir a los Estados Unidos y la Escuela de Matemáticas de Gotinga se desintegró. 1

Acerca de la Escuela de Moscú:

Durante el siglo pasado, cientos de matemáticos de talla mundial surgieron en la Rusia soviética, incluidos Rukin, Alexandrov y Kolmer, Gorov, Gelfand, Shafarevich. , Arold, Novikov, Lyaplov, Fekhtingolz, Kovalevskaya, etc. son todos maestros matemáticos reconocidos. La mayoría de estos destacados matemáticos se graduaron en la Universidad de Moscú. El número y la calidad de los matemáticos destacados que surgieron de la Universidad de Moscú es tan grande que probablemente sea la única con excepción de la Universidad de Göttingen a finales del siglo XIX y principios del XX. En el siglo XX, ninguna otra universidad se atrevió a compararse con ella. Incluso la famosa Universidad de Princeton no produjo tantos matemáticos destacados. La Universidad Estatal de Moscú es bien merecida como la escuela de matemáticas número uno del mundo.

A Arnold lo admiro más entre la Escuela de Moscú. Todos los libros que escribe están en términos simples, escriben teorías matemáticas avanzadas en un lenguaje matemático simple y citan muchos ejemplos de la vida para conectarlas con las teorías matemáticas. Es un matemático con un conocimiento muy profundo de las matemáticas. Es un gran placer leer sus obras, como "Ecuaciones diferenciales ordinarias", "Sistemas dinámicos" y "Métodos matemáticos de la mecánica clásica".

Desafortunadamente, China nunca ha tenido una escuela de matemáticas tan famosa, y mucho menos una escuela. El desarrollo de las matemáticas en China todavía requiere la inversión y la lucha de más jóvenes.

Las tres escuelas principales que se analizan a continuación involucran a muchos de los matemáticos, lógicos y filósofos de primer nivel del mundo en ese momento. Han hecho grandes contribuciones a la mejora de los fundamentos de las matemáticas y aquí les rendimos un gran homenaje.

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1『Nota』Aquí solo necesitamos enumerar a los matemáticos y físicos que se refugiaron en los Estados Unidos desde Alemania (incluidos Austria y Hungría) Parte de la lista muestra la transferencia de talento.

Einstein (1879-1955, un gran físico); J. Franck (1882-1964. Ganó el Premio Nobel de Física en 1925); von Neumann (1903-1957, uno de los matemáticos más destacados)); director del Instituto de Matemáticas de Göttingen); Gödel (1906-1976, lógico matemático); teoría de procesos); Artin (1896-1962, uno de los fundadores del álgebra abstracta); K. Friedrichs (1901-1983, matemático aplicado); solucionador del tercer problema de Hilbert); además, Polya, Szeg, Hellinger (Hellinger), Ewald (Ewald), Nordheim (Nordheim), Debye (Debye), Wigner (Wigner), etc.

Introducción a las tres principales escuelas matemáticas de mediados y principios del siglo XX

Después de que Cantor estableciera la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX, el concepto de conjunto se convirtió en el más Concepto básico y ampliamente utilizado. Alguna vez se creyó que todas las teorías básicas de las matemáticas podían unificarse mediante el concepto de conjuntos. En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París, Poincaré dijo con confianza: "Ahora podemos decir que se ha logrado el rigor total". Sin embargo, menos de 3 años después de que se pronunciaran estas palabras, el matemático británico Russell, propuso una paradoja establecida en una carta al matemático alemán Frege en 1902, que sacudió los cimientos de las matemáticas. En palabras de Frege: "De repente, una de sus piedras angulares se derrumbó".

La paradoja establecida de Russell:

Los conjuntos se pueden dividir en dos categorías: Las características del primer tipo de conjuntos son que el conjunto en sí es un elemento del conjunto. Por ejemplo, la gente solía decir en ese momento que "todos los conjuntos están compuestos por las características de. El segundo tipo de conjunto es: el conjunto en sí no es un elemento del conjunto, como un conjunto de puntos en una línea recta. Evidentemente un conjunto debe y sólo puede ser uno de estos dos tipos de conjuntos. Entonces, ¿qué tipo de conjunto es R? Un término popular para la paradoja de Russell es la paradoja del barbero:

Hay un barbero en cierta ciudad. Su anuncio dice: "Mis habilidades como barbero son excelentes y soy muy conocido en todo el mundo". Ciudad. Afeitaré la cara de todas las personas de esta ciudad que no se afeitan. ¡Les doy mi más cordial bienvenida a todos! ¡Hay un flujo interminable de personas que vienen a él para afeitarse y, naturalmente, todos lo son! los que no se afeitan. Sin embargo, un día, el barbero vio en el espejo que le había crecido la barba e instintivamente agarró una navaja. ¿Crees que podría afeitarse solo? Si no se afeita, es una "persona que no se afeita" y tiene que afeitarse. Pero ¿y si se afeita? Como es una "persona que se afeita", no debería afeitarse.

La cuestión fundamental de por qué ocurren contradicciones en la teoría de conjuntos involucra la credibilidad del razonamiento lógico matemático y la verdad de las proposiciones matemáticas, y pertenece a la categoría de filosofía matemática.

En los 30 años transcurridos entre 1900 y 1930, muchos matemáticos participaron en una discusión sobre los fundamentos de la filosofía matemática y gradualmente formaron debates sobre diferentes escuelas de fundamentos matemáticos, principalmente el logicismo y el formalismo y las tres escuelas. del intuicionismo.

1. Logicismo

1. Orígenes históricos del logicismo

La formación del logicismo se remonta a la época de Leibniz. que incluye algunos principios que forman la base de todas las demás ciencias. Esta visión de que la lógica precede a todas las ciencias es el germen de los principios ideológicos del logicismo. Pero no logró hacer esto. En el siglo XIX, Dedekind, Frege, Piano y otros heredaron las ideas pioneras de Lei y las desarrollaron gradualmente, logrando todos logros considerables.

2. Ideas básicas del logicismo

El principal representante del logicismo es Russell, un famoso matemático, filósofo y lógico británico. Él y Whitehead completaron en 1913 la teoría de los Principios de las Matemáticas. obra maestra clásica del logicismo. En esta obra maestra de las matemáticas en tres volúmenes, el autor intenta explicar a la gente: todas las matemáticas pueden derivarse estrictamente de un sistema de axiomas lógicos, es decir, los conceptos matemáticos pueden derivarse de conceptos lógicos utilizando definiciones obvias a partir de proposiciones lógicas; , el uso de la deducción lógica pura conduce a teoremas matemáticos. Por tanto, todas las matemáticas pueden derivarse de conceptos lógicos básicos y reglas lógicas. De esta manera, las matemáticas pueden verse como una extensión o rama de la lógica. Por lo tanto, Russell dijo: "La lógica es la juventud de las matemáticas, y las matemáticas son la edad principal de la lógica". "Las matemáticas son lógica".

Russell en su libro "Introducción a la filosofía matemática" dio más detalles. sobre su propuesta: "Para lograr una abstracción cada vez mayor y una simplicidad lógica a través del análisis, debemos estudiar si podemos encontrar principios de pensamiento más generales y, en base a estas ideas y principios, podemos hacer que el punto de partida actual pueda definir y definir las cosas". deducido."

Entonces, ¿qué tipo de principios ideológicos son? Russell continuó diciendo: "Deberíamos partir de algunas premisas lógicas que hayan sido generalmente reconocidas y luego alcanzar esos resultados matemáticos obvios mediante la deducción". Es decir, atribuir la matematización a la lógica es su punto de vista básico.

En "Principios de Matemáticas", Russell y Whitehead derivaron rigurosamente las matemáticas de ese momento a través de la lógica pura y el axioma de elección y el axioma de infinito de la teoría de conjuntos, y lograron el éxito. Por lo tanto, Russell declaró: "Whitehead y yo hemos realizado en detalle el trabajo de desarrollar matemáticas puras a partir de la lógica en "Principios de Matemáticas". Sin embargo, este no es el caso. Russell utilizó conjuntos al derivar matemáticas de un sistema lógico. El axioma de elección y el axioma del infinito son indispensables, de lo contrario no se pueden completar. El sistema de números naturales, y mucho menos todas las matemáticas, no se puede construir sin el axioma del infinito. Por tanto, Russell no atribuyó la matematización a la lógica, sino que la redujo a la teoría de conjuntos.

Para deducir todas las matemáticas de la lógica, debemos desarrollar la teoría de conjuntos, y la teoría de conjuntos es autocontradictoria e incompatible. Sin embargo, las contradicciones no están permitidas en el sistema lógico, por lo tanto, se deben eliminar las paradojas. Sin embargo, el trabajo posterior realizado por Russell y Whitehead no resolvió bien este problema y encontraron muchas dificultades.

Los matemáticos básicos generalmente no aceptan la opinión de que "las matemáticas son lógica"; tampoco pueden aceptar la opinión de que "todo pensamiento matemático es pensamiento lógico". Pero sin embargo. El libro "Principios de Matemáticas", del que fueron coautores Russell y Whitehead, tuvo una gran influencia en el desarrollo de la ciencia y la tecnología en el siglo XX. Utilizó el lenguaje simbólico formal más riguroso de la época para enunciar el sistema lógico, las definiciones y los teoremas establecidos por el autor, marcando así el éxito del método de la lógica simbólica. También muestra la importancia de la investigación básica sobre lógica matemática, mostrando así aún más la importancia científica de la lógica moderna.

El libro "Principios de Matemáticas" se convirtió en una obra famosa. Aunque las proposiciones del logicismo no pueden realizarse y la visión matemática del logicismo no puede ser ampliamente aceptada por los estudiosos de las matemáticas básicas, no se puede ignorar la importancia metodológica de este libro. Han incorporado con bastante éxito las matemáticas clásicas en un sistema de axiomas unificados, lo que le permite partir de varios conceptos y axiomas lógicos. Junto con los axiomas infinitos de la teoría de conjuntos, se pueden derivar la teoría de conjuntos de Cantor, la aritmética general y la mayoría de las matemáticas. Esto ha desarrollado el razonamiento lógico a un nivel sin precedentes, permitiendo a la gente ver que muchos contenidos matemáticos se pueden deducir sobre la base de cálculos lógicos matemáticos, formando un sistema lógico de axiomas de la teoría de conjuntos. Este es un evento importante en la historia de la lógica. gran influencia en la historia de la lógica. La lógica matemática jugó un papel decisivo en el desarrollo posterior de la lógica matemática y fue un importante punto de partida para el método axiomático moderno.

2. Formalismo

En general, se cree que el fundador del formalismo es Hilbert, y las opiniones y fundamentos matemáticos de Hilbert se denominan "formalismo". Russell y Brouwer llamaron a Hilbert un representante. figura del formalismo, pero se referían al método formal de Hilbert para sentar las bases de las matemáticas, no necesariamente a algunas de sus proposiciones. El propio Hilbert no pretendía ser formalista, ni su alumno Bernays pensaba que Hilbert fuera un formalista.

1. La formación del formalismo

El sistema teórico formalista se formó tras el surgimiento de la geometría no euclidiana y en el ambiente de "reconstrucción de los fundamentos de las matemáticas" que impregnó la investigación. sobre matemáticas y filosofía matemática de.

Cuando la gente reconozca la geometría no euclidiana, es decir, cuando se demuestre que las dos geometrías que producen teoremas contradictorios no se contradicen entre sí, la gente se preguntará: ¿Dónde se refleja la verdad de las matemáticas? Imagínese, un tipo de geometría dice que sólo se puede trazar una línea recta a través de un punto fuera de la línea recta sin cruzar la línea recta original, otra teoría de la geometría dice que se pueden trazar al menos dos líneas rectas a través de un punto fuera de la línea recta; sin cruzar la línea recta original; y otra geometría dice que se pueden trazar al menos dos líneas rectas a través de un punto fuera de la línea recta sin cruzar la línea recta original. Una especie de teoría geométrica: no se puede trazar una línea recta a través de un punto fuera de la línea recta original. la recta que no corta a la recta original. ¿No están estas tres geometrías peleando entre sí? Al menos dos de ellas deberían estar equivocadas. ¿Por qué las tres geometrías son verdaderas?

El famoso matemático alemán Hilbert abogó por defender las matemáticas clásicas y los métodos matemáticos clásicos y desarrollarlos. Cree que las matemáticas clásicas, incluidas las nuevas direcciones matemáticas desarrolladas debido al surgimiento de la teoría de conjuntos, son la riqueza espiritual más valiosa de la humanidad; para evitar paradojas en las matemáticas, intenta demostrar absolutamente la no contradicción de las matemáticas. Colocar las matemáticas sobre una base axiomática estricta. Los axiomas y el razonamiento lógico de las matemáticas son tan importantes como el telescopio en manos de los astrónomos y no pueden descartarse. Para lograr este objetivo, Hilbert propuso el famoso Plan Hilbert en 1922.

2. La idea básica del formalismo

La idea principal del Plan Hilbert es: para sentar las bases de una matemática, la coordinación de esta matemática debe ser rigurosa. y propiedad matemáticamente probada (es decir, sin contradicción, consistencia y compatibilidad) el contenido matemático del plan de Hilbert es la teoría de la prueba en lógica matemática;

Los dos volúmenes "Fundamentos de las Matemáticas", en coautoría de Hilbert y Bernays, es la obra representativa del plan de Hilbert.

El plan de Hilbert formaliza cada rama de las matemáticas en un sistema formal y luego utiliza un método elemental para demostrar la compatibilidad de cada sistema formal, es decir, la ausencia de contradicciones, derivando así la inconsistencia de todas las matemáticas. Contradicción.

Distinguió tres tipos de teorías matemáticas: 1. Teorías matemáticas intuitivas e informales 2. Formalizar la primera teoría matemática para formar un sistema formal, integrando los conceptos básicos en teorías matemáticas intuitivas que se convierten en las iniciales; los símbolos en el sistema formal, las proposiciones se convierten en fórmulas simbólicas, las reglas de deducción se convierten en relaciones de deformación entre fórmulas simbólicas y las pruebas se convierten en secuencias finitas de fórmulas simbólicas 3. Describe y estudia la segunda teoría matemática, denominada; metamatemáticas, teoría de la prueba o metateoría. La metamatemática es una nueva matemática que toma como objeto de investigación los sistemas formales. Incluye la descripción y definición de sistemas formales, así como el estudio de las propiedades de los sistemas formales.

La propuesta del formalismo es el punto de inflexión más importante en la historia del desarrollo de las matemáticas. Marca el establecimiento de las metamatemáticas. Desde entonces, el desarrollo de las matemáticas ha entrado en una nueva etapa de estudio de sistemas formales.

Aquí tenemos que explicar una cosa: tanto el formalismo como el logicismo parten del sistema de axiomas. La diferencia es que cuando los lógicos persiguen el sistema de axiomas lógicos, ya no mantienen la creencia original en el sistema de axiomas. El punto de vista es que el sistema de axiomas lógicos debe tener contenido y probar todos los medios para explorar dónde se refleja la verdad de las leyes lógicas. Los formalistas no creen que los conceptos básicos del sistema de axiomas de las matemáticas o la lógica no tengan sentido. Sí, sus axiomas son simplemente líneas de símbolos. No importa si son verdaderos o falsos, siempre que se pueda demostrar que el sistema de axiomas es consistente y no se contradicen entre sí, se debe reconocer el sistema de axiomas. representa un cierto aspecto de la verdad. Incluso se considera que el sistema de axiomas lógicos no tiene contenido, y su verdad no puede ser garantizada por el contenido, por lo que sólo la "compatibilidad" o la "no contradicción" quedan como verdad.

Hilbert originalmente imaginó que las pruebas de compatibilidad matemática podrían limitarse a un rango finito de métodos constructivos. Pero las investigaciones muestran que este alcance debería ampliarse. El teorema de incompletitud de Gödel establece: "En cualquier teoría matemática formal consistente, siempre que sea lo suficientemente fuerte como para definir el concepto de números naturales en ella, es posible construir proposiciones que no pueden ser probadas ni refutadas en el sistema. ", "No se puede utilizar ningún sistema formal coherente para demostrar su propia compatibilidad". Este teorema destrozó por completo los ideales formalistas de Hilbert. Sin embargo, las ideas matemáticas básicas de Hilbert desarrollaron la metamatemática, lo que impulsó a la psicología formal un paso adelante y promovió el desarrollo de las matemáticas. La metamatemática (teoría de la prueba) se ha convertido en una de las cuatro ramas principales de la lógica matemática.

Entre los representantes del formalismo se encuentran los matemáticos estadounidenses Robinson y Cohen. Creen que las matemáticas deben verse como un puro juego de símbolos sobre el papel, y el único requisito para esta forma es que no dé lugar a contradicciones.

Sin embargo, este pensamiento formalista es obviamente diferente de la propuesta de Hilbert.

3. Intuicionismo

1. Las raíces históricas del intuicionismo

La idea del intuicionismo se remonta a la época de Aristóteles. Primer filósofo de la historia que se opuso al infinito real y sólo reconoció el infinito potencial. La visión filosófica del intuicionismo se deriva directamente de la creencia de Kant y Brouwer de que los números naturales se originan a partir de la "intuición original", es decir, la proposición de Kant de que "los números naturales se derivan de la intuición del tiempo".

En el siglo XIX, Kronecker enfatizó la viabilidad, diciendo que muchos teoremas en ese momento eran solo juegos de símbolos y no tenían significado práctico. Él cree: "Dios creó los números naturales, y todo lo demás es obra del hombre. Los números enteros son intuitivamente claros, por lo que son aceptables, mientras que los demás son cuestionables. Esto significa que sólo los números naturales son reales y el resto lo son". solo hecho por el hombre. Solo algunos símbolos de texto hechos. También abogó por construir todas las matemáticas sobre la base de números naturales.

A principios del siglo XX, Poincaré también sostenía la opinión de que los números naturales son la intuición más básica y el potencial infinito. Otros semiintuicionistas como Baurel, Lebesgue y Rugin o el empirismo francés también enfatizan el concepto de viabilidad.

Niega abiertamente el axioma de elección y cree que un conjunto basado en el axioma de elección simplemente no es factible y no puede admitir su existencia. Proponen el concepto de viabilidad y no reconocen su existencia sin viabilidad. Ambos fueron pioneros del intuicionismo. Todo esto proporciona una premisa directa para el intuicionismo de Brouwer. Brouwer reunió los logros de sus predecesores y proporcionó sistemáticamente las proposiciones del intuicionismo.

2. El concepto matemático del intuicionismo

El fundador y figura representativa del intuicionismo es el matemático holandés Brouwer. De 1907, se publicó la tesis doctoral de Brouwer "A partir de "Los fundamentos de las matemáticas". Los intuicionistas elaboraron gradual y sistemáticamente sus puntos de vista sobre las matemáticas y sus propuestas para reconstruir los fundamentos de las matemáticas.

Sus opiniones sobre las matemáticas incluyen los siguientes aspectos:

(1) Sus opiniones sobre los objetos matemáticos.

Propuso un lema famoso: "Exister es construir". Creía que la comprensión de las matemáticas por parte de las personas no se basa en la lógica y la experiencia del lenguaje, sino en la "intuición original" (es decir, lo que todos hacen). tiene una habilidad), la matemática pura es "la construcción matemática de la mente misma", una "construcción reflexiva", que "comienza con los números naturales", no la teoría de conjuntos. El hecho de que esta estructura matemática se convierta en una estructura no tiene nada que ver con la naturaleza de la estructura, ya sea independiente del conocimiento de la gente o de los puntos de vista filosóficos que la gente sostiene. Las estructuras deberían ser lo que son y los juicios matemáticos deberían ser verdades eternas.

Por tanto, Brouwer no admite que exista objetivamente un sistema infinito real cerrado y completo.

Los teóricos del infinito real creen que "el conjunto completo de los números naturales" se refiere al conjunto de los números naturales {0, 1, 2, 3,...}, que es un conjunto completo que sí existe y puede y debe utilizarse como objeto de estudio matemático.

Los teóricos del infinito potencial niegan la realidad del infinito y creen que el infinito es sólo potencial, no una entidad cerrada completa, sino infinita en términos de su desarrollo. En su opinión, la naturaleza, 0, 1, 2, 3,... sólo puede estar en un proceso de construcción y generación constante, y no una entidad completa y cerrada.

Por lo tanto, conceptos como "todos los números naturales" no tienen sentido.

(2) Opiniones sobre la lógica utilizada en matemáticas.

Las opiniones de Brouwer sobre los objetos matemáticos derivan directamente de su visión de la lógica utilizada en matemáticas; cree que "la lógica no es una herramienta absolutamente confiable para descubrir la verdad" y cree que no puede usarse en demostraciones matemáticas reales. La ley del medio excluido se utiliza porque la ley del medio excluido y otras leyes lógicas clásicas se abstraen de conjuntos finitos, por lo que no se pueden aplicar a conjuntos infinitos sin restricciones. Asimismo, no podrá utilizarse la prueba por contradicción.

El intuicionismo tuvo una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. Después de la década de 1930, gracias al trabajo de Gödel, muchos matemáticos comenzaron a prestar atención al intuicionismo. Los matemáticos han intentado utilizar métodos de construcción para establecer la teoría de los números reales, el análisis matemático e incluso todas las matemáticas, y han obtenido muchos resultados importantes.

Las matemáticas constructivas se han convertido en un importante grupo de materias matemáticas en las ciencias matemáticas y están estrechamente relacionadas con la informática. En 1967, el matemático estadounidense Bishop completó y publicó el libro "Análisis constructivo", que inició el período constructivista de la escuela intuicionista.

La historia ha demostrado que las tres escuelas principales tienen sus propias ventajas y desventajas, pero han compensado muchas deficiencias en los fundamentos de las matemáticas y han proporcionado símbolos y lenguaje más precisos para el rigor de las matemáticas.

Permítanme terminar este artículo con una frase de G. H. Hardy: "La belleza es la primera prueba: no hay un lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas".