Matemáticas de séptimo grado (Parte 2) Concepto de edición de la Universidad Normal de Beijing

Matemáticas Volumen 2 para 7.° grado (Propiedades, teoremas, conceptos) -----Edición de la Universidad Normal de Beijing

(Nota: ※ indica la parte clave; ¤ indica la parte entendida ; ◎ indica Solo como referencia;)

Capítulo 1 Operación de números enteros

1. Enteros

※1. La expresión algebraica formada por el producto de letras se llama monomio. Un solo número o letra también es un monomio.

②El coeficiente de un monomio es el factor numérico del monomio. Como coeficiente del monomio, debe ir acompañado del símbolo de propiedad delante del número si un monomio es solo el producto de letras. , no tiene ningún coeficiente.

③En un monomio, la suma de los exponentes de todas las letras se llama grado del monomio.

※2.

①La suma de varios monomios se llama polinomio. En un polinomio, cada monomio se llama término de un polinomio. Entre ellos, los términos que no contienen letras se llaman términos constantes. El término con mayor grado se llama grado del polinomio.

② Tanto los monomios como los polinomios tienen grados, y los que contienen letras. Los monomios tienen coeficientes, pero los polinomios no tienen coeficientes. Cada término de un polinomio es un. monomio, y el número de términos de un polinomio es el número de monomios para los cuales el polinomio sirve como sumando. Cada término de un polinomio tiene su propio grado, pero sus grados es imposible que todos sean el grado de este polinomio. es solo un grado de un polinomio, que es el grado más alto entre los grados de los términos que contiene.

※3 Los monomios y polinomios enteros se denominan colectivamente expresiones enteras.

2. . Suma y resta de expresiones enteras

¤1. La suma y resta de expresiones enteras consiste esencialmente en combinar términos similares después de eliminar los corchetes, y el resultado de la operación es un polinomio o un monomio.

¤2. Hay un signo "-" delante de los corchetes. Al quitar los corchetes, los signos de los elementos entre corchetes cambiarán cuando un número se multiplica por un polinomio. los elementos entre paréntesis se multiplicarán.

3. Multiplicación de potencias con la misma base

※ Reglas para la multiplicación de potencias con la misma base: (m, n son ambos números positivos ) es la regla más básica en operaciones de poder. Al aplicar las reglas, al hacer esto, debe prestar atención a los siguientes puntos:

① El requisito previo para el uso de la regla es: cuando las bases de. las potencias son iguales y se multiplican, la base a puede ser una letra numérica específica, o puede ser un solo término o Polinomio;

②Cuando el exponente es 1, no pienses erróneamente que hay sin exponente;

③No confundas la multiplicación de potencias con la misma base con la suma de números enteros. Para la multiplicación, siempre que la base tenga el mismo exponente, para la suma se pueden sumar no solo las bases; son iguales, pero también es necesario sumar los exponentes;

④Cuando se multiplican tres o más potencias con la misma base, la regla se puede generalizar a (donde m, n, p son todos números positivos );

⑤La fórmula también se puede utilizar a la inversa: (m, n son ambos números enteros positivos)

IV. La potencia de la potencia y la potencia del producto

※1. La regla de multiplicación de potencia: (m, n son números positivos) se deriva de la regla de multiplicación de potencia, pero las dos no se pueden confundir. /p>

※2.

※3. Cuando la base tiene un signo negativo, preste atención durante la operación. Cuando la base es a y (-a), no son iguales. base, pero puedes usar el método de multiplicación. Entonces se convierte en la misma base,

Por ejemplo, (-a)3 se convierte en -a3

※4. Las bases a veces tienen diferentes formas, pero se pueden hacer iguales.

※5. Cabe señalar que la diferencia entre (ab)n y (a+b)n tiene significados diferentes, y no piense erróneamente que (a+b)n=an+bn (ni a ni b son cero).

※6. La regla de multiplicación de productos: La potencia de un producto equivale a multiplicar cada factor del producto y luego multiplicar las potencias resultantes, es decir (n es un número entero positivo).

※7. Las reglas para aumentar potencias y multiplicar productos se pueden aplicar a la inversa.

5. División de potencias con la misma base

※1. Reglas de división para potencias con la misma base: Al dividir potencias con la misma base, la base se mantiene sin cambios y los exponentes. se restan, es decir (a≠0, m y n son números positivos y m>n).

※2. >

El requisito previo para el uso de la regla es "el mismo número base" "División de potencias" y 0 no se puede utilizar como divisor, por lo que en la regla a≠0.

②La potencia 0 de cualquier número que no sea igual a 0 es igual a 1, es decir, por ejemplo, (-2.50=1), entonces 00 no tiene sentido.

③La potencia -p de cualquier número que no sea igual a 0 (p es un entero positivo) es igual al recíproco de la potencia p de este número, es decir (a≠0, p es un entero positivo), y 0-1, 0-3 no tienen sentido cuando a>; 0, el valor de a-p debe ser positivo; cuando a <0, el valor de a-p puede ser positivo o negativo, por ejemplo,

④ Preste atención al orden de las operaciones

6. Multiplicación de números enteros

※1. Regla de multiplicación de monomios: Multiplica monomios, y suma sus coeficientes y multiplica las mismas letras, para las letras contenidas únicamente en un monomio, junto con su exponente. factor del producto.

Al aplicar la regla de multiplicación de monomios se deben tener en cuenta los siguientes puntos:

① El coeficiente del producto es igual al producto de los coeficientes de cada factor. Se debe determinar el signo. primero, y luego se puede calcular el valor absoluto. Un error común en esta época es confundir la multiplicación de coeficientes con la suma de exponentes;

② Al multiplicar letras iguales, utilice la regla de multiplicación con la misma base

③Solo; uno Las letras contenidas en un monomio deben usarse junto con su exponente como factor del producto

④La regla de multiplicación de monomios también es aplicable a la multiplicación de tres o más monomios; >⑤Multiplicación de monomios Con un monomio, el resultado sigue siendo un monomio.

※2． Multiplicar un monomio por un polinomio

La multiplicación de un monomio por un polinomio es utilizar la ley distributiva de la multiplicación a la suma para convertirlo en un monomio multiplicado por un monomio, es decir, la multiplicación de un monomio por un polinomio es usar el monomio para multiplicar cada término del polinomio por un término y luego sumar los productos resultantes.

Al multiplicar un monomio y un polinomio, presta atención a los siguientes puntos:

① Cuando se multiplica un monomio por un polinomio, el producto es un polinomio y su número de términos es igual al número de términos del polinomio;

p>

②Al realizar operaciones, preste atención al signo del producto. Cada término del polinomio incluye el signo anterior;

③Al realizar operaciones mixtas, preste atención al orden de las operaciones.

※3. Multiplicar polinomios por polinomios

Para multiplicar polinomios por polinomios, multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio y luego suma los productos resultantes.

Al multiplicar polinomios y polinomios, preste atención a los siguientes puntos:

① Para evitar que falten términos al multiplicar polinomios y polinomios, el método de verificación es: antes de fusionar términos similares, el producto El número de términos debe ser igual al producto de los términos de los dos polinomios originales

② Al multiplicar polinomios, se debe prestar atención a fusionar términos similares

③ Para; coeficientes de términos lineales que contienen la misma letra Es el producto de dos binomios lineales de 1. El coeficiente del término cuadrático es 1. El coeficiente del término lineal es igual a la suma de los términos constantes en los dos factores La constante. El término es el producto de los términos constantes de los dos factores. Para dos binomios lineales (mx+a) y (nx+b) cuyo coeficiente de término lineal no es 1, se puede obtener la multiplicación

7. Fórmula de diferencia cuadrada

¤1. Fórmula de diferencia cuadrada: el producto de la suma de dos números y la diferencia de los dos números es igual a su diferencia cuadrada,

※Es decir.

¤ Sus características estructurales son:

① El lado izquierdo de la fórmula es la multiplicación de dos binomios El primer término de los dos binomios es igual y el segundo término es el. opuestos entre sí. ;

②El lado derecho de la fórmula es la diferencia de cuadrados de los dos términos, es decir, la diferencia entre el cuadrado del mismo término y el cuadrado del término opuesto.

8. Fórmula del cuadrado perfecto

¤1. Fórmula del cuadrado perfecto: el cuadrado de la suma (o diferencia) de dos números es igual a la suma de sus cuadrados, más (o restando) 2 veces su producto,

¤ es decir

¤Sentencia Oral: Primer cuadrado, último cuadrado, 2 veces el producto en el centro;

¤2. Características estructurales:

①El lado izquierdo de la fórmula es el cuadrado perfecto del binomio

②Hay tres términos en el lado derecho de la fórmula, que es la suma de los cuadrados; de los dos términos del binomio, más Suma o resta 2 veces el producto de estos dos términos.

¤3. Cuando utilices la fórmula del cuadrado perfecto, presta atención al signo del término medio en el lado derecho de la fórmula y evita este tipo de errores.

Nueve. División de números enteros

¤1. División de monomios Monomios

Para dividir monomios se dividen los coeficientes y potencias con la misma base respectivamente como factores del cociente. Para letras que solo están incluidas en el dividendo, se utilizan junto con sus exponentes como factor. del cociente.

¤2. Dividir un polinomio entre un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio, primero se divide cada término del polinomio entre el monomio, y luego se suman los cocientes resultantes. La característica es que el polinomio dividido entre el monomio es. convertido en monomio dividido por el monomio, el número de términos del cociente resultante es el mismo que el número de términos del polinomio original y se debe prestar especial atención al signo.

Capítulo 2 Rectas paralelas y rectas que se cruzan

1. Esquinas de la mesa de billar

※1． Conceptos y propiedades relevantes de los ángulos suplementarios y de los ángulos suplementarios

Si la suma de dos ángulos es 90° (o un ángulo recto), entonces los dos ángulos son ángulos suplementarios;

Si el la suma de dos ángulos es 180° (o ángulo llano), entonces los dos ángulos son ángulos suplementarios;

Nota: Estos dos conceptos son para dos ángulos, y Los dos conceptos enfatizan la relación cuantitativa entre los dos ángulos y no tienen nada que ver con la posición mutua de los dos ángulos.

Sus principales propiedades: los ángulos suplementarios de ángulos iguales o iguales son iguales;

Los ángulos suplementarios de ángulos iguales o iguales son iguales.

2. Explora las condiciones para que dos rectas sean paralelas

※Las condiciones para que dos rectas sean paralelas entre sí son los teoremas de determinación para que dos rectas sean paralelas entre sí. Hay tres:

① Las dos rectas tienen ángulos iguales Paralelas;

②Los ángulos interiores son iguales y las dos rectas son paralelas;

③Los ángulos interiores del mismo lado son complementarios y las dos rectas son paralelas.

3. Características de las rectas paralelas

※Las características de las rectas paralelas son las propiedades de las rectas paralelas. Hay tres teoremas:

①Dos rectas son paralelas y tienen ángulos iguales;

② Dos rectas son paralelas y sus ángulos internos son iguales;

③ Dos rectas son paralelas y sus ángulos internos son complementarios.

Cuatro. Usa una regla y un compás para dibujar segmentos de línea y ángulos

※1. Acerca de dibujar con regla y compás

Dibujar con regla y compás se refiere a dibujar solo con un compás y una regla sin graduaciones.

※2. Acerca de la función de la regla

La función de la regla es conectar un segmento de línea entre dos puntos y extender el segmento de línea en dos direcciones.

La función de un compás es: dibujar un círculo con cualquier punto como centro y cualquier longitud como radio; dibujar un arco con cualquier punto como centro y cualquier longitud como radio;

Capítulo 3 Datos en la vida

※1. Notación científica: cualquier número positivo se puede escribir en la forma a×10n, donde 1≤a<10 yn es un número entero. Este método de notación se llama notación científica.

¤2. Cuando se utiliza el método de redondeo para aproximar un número, el dígito que se redondea es el dígito preciso del número aproximado, para un número aproximado, comience desde el primer dígito de la izquierda que no sea 0 y termine con el dígito preciso, todo. los números se llaman dígitos significativos de este número.

¤3. El trabajo estadístico incluye:

① Establecer objetivos; ② Recopilar datos; ③ Organizar datos; ④ Expresar y describir datos;

Capítulo 4 Probabilidad

¤1. La probabilidad de que ocurra o no ocurra un evento aleatorio no siempre es del 50%, sino del 50%.

※2. Hay una gran cantidad de eventos inciertos en la vida real y la probabilidad es una disciplina que estudia eventos inciertos.

※3. Comprender la probabilidad de eventos inevitables e imposibles.

La probabilidad de que ocurra un evento necesario es 1, es decir, P (evento necesario) = 1; la probabilidad de que ocurra un evento imposible es 0, es decir, P (evento imposible) = 0; A es un evento incierto, entonces 0

※4. Comprender el método de cálculo de problemas como la probabilidad geométrica

Probabilidad del evento =

1. Entendiendo los triángulos

1. Sobre el concepto de triángulos y su clasificación por ángulos

Se llama triángulo a una figura compuesta por tres segmentos de recta que no están en la misma recta y conectados extremo con extremo.

Aquí cabe señalar dos puntos:

① Los tres segmentos de recta que forman el triángulo deben "no estar en la misma recta" si están en la misma recta; , el triángulo no existe;

②Tres segmentos de línea están "conectados de principio a fin en secuencia", lo que significa que hay un punto final común entre dos de los tres segmentos de línea, y este punto final común es el vértice del triángulo.

Los triángulos se pueden dividir en tres categorías según el tamaño de sus ángulos interiores: triángulos agudos, triángulos rectángulos y triángulos obtusos.

2． Respecto a la relación entre los tres lados de un triángulo

Según el axioma "el segmento de recta que conecta dos puntos es el más corto", podemos obtener un teorema de propiedad de la relación entre los tres lados de un triángulo, es decir, la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado.

Otra propiedad de la relación entre los tres lados de un triángulo: la diferencia entre dos lados cualesquiera de un triángulo es menor que el tercer lado.

De estas dos propiedades es necesario conocer y dominar plenamente su esencia, para no cometer errores a la hora de aplicarlas.

Supongamos que las longitudes de los tres lados del triángulo son a, b y c respectivamente:

① Generalmente, para un determinado lado a del triángulo, debe haber |b-c |

②Especialmente, si se sabe que el segmento de línea a es el más grande, si se cumple b + c>a, entonces los tres segmentos de línea a, b y c pueden formar un triángulo si el segmento de línea conocido a es el más pequeño, siempre que se sepa que el segmento de línea a es el más grande; |b-c|

3. Sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo

La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°

①Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios;

②En un triángulo, como máximo Hay un ángulo recto o un ángulo obtuso;

③Al menos dos ángulos interiores en un triángulo son ángulos agudos.

4． Acerca de la línea media, la altura y la línea media de un triángulo

①La bisectriz del ángulo, la línea media y la altura de un triángulo son todos segmentos de línea, no líneas rectas ni rayos;

②Cualquier triángulo tiene tres ángulos bisectrices, tres líneas medias y tres alturas;

③Las tres bisectrices de los ángulos y las tres líneas medias de cualquier triángulo están todas dentro del triángulo. Pero las alturas de los triángulos tienen diferentes posiciones: las tres alturas de un triángulo agudo están todas dentro del triángulo, como se muestra en la Figura 1, la altura de un triángulo rectángulo está dentro del triángulo, y las otras dos alturas son exactamente sus dos; lados, como se muestra en la Figura 2; una altura de un triángulo obtuso está dentro del triángulo y las otras dos alturas están fuera del triángulo, como se muestra en la Figura 3.

④En un triángulo, las tres líneas medias se cruzan en un punto, las tres bisectrices de los ángulos se cruzan en un punto y las tres rectas de altura se cruzan en un punto.

2. Congruencia de Figuras

¤ Las figuras que pueden superponerse completamente se llaman formas congruentes. Las figuras congruentes tienen la misma forma y tamaño. Es solo que las formas son iguales pero los tamaños son diferentes, o que dos figuras con la misma área pero diferentes formas no son figuras congruentes.

Cuatro. Triángulos congruentes

¤1. Sobre el concepto de triángulos congruentes

Dos triángulos que pueden superponerse completamente se llaman triángulos congruentes. Los vértices que se superponen entre sí se llaman puntos correspondientes, los lados que se superponen entre sí se llaman lados correspondientes y los ángulos que se superponen entre sí se llaman ángulos correspondientes

La llamada "superposición completa" significa que todos los lados son iguales y cada ángulo también es igual. Por lo tanto, también se puede decir que dos triángulos con lados iguales y ángulos iguales se llaman triángulos congruentes.

※2． Los lados correspondientes de triángulos congruentes son iguales y los ángulos correspondientes son iguales.

¤3． Las propiedades de los triángulos congruentes se utilizan a menudo para demostrar que dos segmentos de recta son iguales y dos ángulos son iguales.

5. Explorando las condiciones para la congruencia de triángulos

※1. Dos triángulos con tres lados iguales son congruentes, abreviado como "lado-lado-lado" o "SSS"

※2. Dos triángulos congruentes con dos lados iguales y sus ángulos incluidos se abrevian como "lado-ángulo-lado" o "SAS"

※3. Los dos ángulos y sus lados incluidos corresponden a dos triángulos congruentes, los cuales se abrevian como "ángulo lateral del ángulo" o "ASA"

※4. Dos triángulos son congruentes si los dos ángulos y el lado opuesto de uno de los ángulos son iguales, abreviado como "ángulo lado ángulo" o "AAS"

6. Haz un triángulo

1. Dados dos ángulos y sus lados incluidos, se construye un triángulo utilizando la condición de congruencia de triángulo "ángulo-lado-ángulo" ("ASA").

2． Dados dos lados y sus ángulos, el triángulo se construye utilizando la condición de congruencia del triángulo "Lado, Ángulo, Lado" ("SAS").

3. Dados tres lados, el triángulo se construye utilizando la condición de congruencia del triángulo "lado-lado-lado" ("SSS").

8. Explora las condiciones de congruencia de triángulos rectángulos

※1. Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un cateto derecho son iguales. Denominado "hipotenusa, ángulo recto" o "HL". Esto sólo es válido para los triángulos rectángulos.

※2. El triángulo rectángulo es un tipo de triángulo. Tiene las propiedades de un triángulo general, por lo que también puede determinarse mediante "SAS", "ASA", "AAS" y "SSS".

Otros métodos de determinación de triángulos rectángulos se pueden resumir de la siguiente manera:

① Dos lados rectángulos correspondientes a dos triángulos rectángulos iguales son congruentes

② Hay; es un ángulo agudo Dos triángulos rectángulos cuyos lados son iguales son congruentes.

③ Dos triángulos rectángulos de tres lados iguales son congruentes.

Capítulo 7 Simetría axial en la vida

※1. Si una figura se dobla a lo largo de una línea recta y las partes a ambos lados de la línea recta se superponen, entonces la figura se llama figura axialmente simétrica; esta línea recta se llama eje de simetría;

※2. Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de ambos lados del ángulo.

※3. La distancia desde cualquier punto de la bisectriz perpendicular de un segmento de recta a ambos puntos extremos del segmento de recta es igual.

※4. Los ángulos, los segmentos de recta y los triángulos isósceles son figuras axialmente simétricas.

※5. El vértice bisectriz de un triángulo isósceles, la altura de la base y la línea media de la base coinciden entre sí, lo que se denomina "tres líneas en una".

※6. Los segmentos de línea que conectan puntos correspondientes en una figura axialmente simétrica son bisecados perpendicularmente por el eje de simetría.

※7． En una figura axialmente simétrica, los segmentos de línea correspondientes son iguales y los ángulos correspondientes son iguales.

Fin