Gráficos y propiedades de funciones cuadráticas de una variable

Las propiedades de una función cuadrática de una variable son las siguientes:

1. Dirección de apertura: el coeficiente a del término cuadrático determina la dirección de apertura de la función. Cuando a>0, la función se abre hacia arriba; cuando a<0, la función se abre hacia abajo. Vértice: Las coordenadas del vértice de la función cuadrática son (-b/2a, (4ac-b?)/4a). Cuando b = 0, la imagen de la función es simétrica con respecto al eje y; cuando a = 0, la imagen de la función es paralela al eje x; cuando c = 0, la imagen de la función pasa por el origen.

2. Discriminante: Discriminante Δ=b?-4ac. Cuando Δ>0, la función tiene dos raíces reales; cuando Δ=0, la función tiene dos raíces reales iguales; cuando Δ<0, la función no tiene raíces reales. Simetría: El eje de simetría de una función cuadrática es x=-b/2a. Si a>0, entonces en el lado derecho del eje de simetría, y aumenta a medida que x aumenta.

3. Monotonicidad en el intervalo: si a>0, entonces la función es monótonamente decreciente en el intervalo (-∞, -b/2a), y en el intervalo (-b/2a, +∞). ) aumenta monótonamente; si a<0, entonces la función aumenta monótonamente en el intervalo (-∞, -b/2a) y decrece monótonamente en el intervalo (-b/2a, +∞).

El valor de la función cuadrática

1. Álgebra y ecuaciones. La función cuadrática es una forma funcional básica en álgebra. Se puede utilizar para representar variables en muchos problemas prácticos. . Al resolver ecuaciones cuadráticas de una variable, podemos obtener soluciones al problema, y ​​estas soluciones pueden corresponder a algún significado práctico.

2. Geometría y gráficos. Las funciones cuadráticas de una variable también se pueden utilizar para describir algunas propiedades de los gráficos geométricos. Por ejemplo, la imagen de la función cuadrática y=ax? +bx+c es una parábola. La forma y las propiedades de esta parábola pueden controlarse mediante los coeficientes a, b y c. En geometría, la parábola es una curva muy importante que se usa ampliamente en óptica, ingeniería, arquitectura y otros campos.

3. Aplicaciones de la estadística y la economía. Las funciones cuadráticas también tienen un valor importante en las aplicaciones de la estadística y la economía. Por ejemplo, en estadística, los modelos de regresión cuadrática se utilizan para describir relaciones no lineales entre una variable y una o más variables independientes. En la aplicación de la economía, las funciones cuadráticas también se utilizan para describir algunos fenómenos económicos, como la relación entre precio y demanda.

4. Aplicaciones en ingeniería y tecnología. Las funciones cuadráticas también se utilizan ampliamente en los campos de la ingeniería y la tecnología. Por ejemplo, en ingeniería mecánica, la imagen de una función cuadrática se utiliza a menudo para describir la trayectoria de movimiento de un objeto. Estas trayectorias pueden corresponder a la trayectoria de movimiento de un robot o al movimiento de un brazo robótico.