¿Cuáles son las reglas de los triángulos?

¿Cuáles son las reglas de los triángulos?

Propiedades de los Triángulos

Ángulo

1 La suma de los ángulos interiores de un triángulo en el plano es igual a 180° (Teorema de la suma de los ángulos interiores)

2 In La suma de los ángulos exteriores de un triángulo en el plano es igual a 360° (Teorema de la suma de los ángulos exteriores);

3 El ángulo exterior de un triángulo en el plano plano es igual a la suma de sus dos ángulos interiores no adyacentes.

Corolario: Un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior que no sea adyacente a él.

4 Hay al menos dos ángulos agudos entre los tres ángulos interiores de un triángulo.

5 En el triángulo, al menos un ángulo es mayor o igual a 60 grados, y al menos un ángulo es menor o igual a 60 grados.

Lados

6 La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado, y la diferencia entre dos lados cualesquiera es menor que el tercer lado.

7 En un triángulo rectángulo, si un ángulo es igual a 30 grados, entonces el lado derecho opuesto al ángulo de 30 grados es la mitad de la hipotenusa.

8 La suma de los cuadrados de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa (teorema de Pitágoras).

*Teorema inverso del teorema de Pitágoras: Si las longitudes de los tres lados de un triángulo a, b y c satisfacen a? b?=c?, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

9 La línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa.

10 Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, las rectas de las tres líneas de altitud se cortan en un punto y las tres líneas medias se cortan en un punto.

11 La suma de los cuadrados de las longitudes de las tres líneas medias de un triángulo es igual a 3/4 de la suma de los cuadrados de las longitudes de sus tres lados.

12 Los triángulos con bases iguales y alturas iguales tienen áreas iguales.

13 La razón de las áreas de triángulos con bases iguales es igual a la razón de sus alturas, y la razón de las áreas de triángulos con alturas iguales es igual a la razón de sus bases.

14 Cualquier línea media de un triángulo divide el triángulo en dos triángulos con áreas iguales.

15 La bisectriz del vértice de un triángulo isósceles, la altura de la base y la línea media de la base están en una línea recta (tres líneas combinadas en una). ¿Cuáles son las reglas del triángulo de Yang Hui?

1. Cada fila de números es simétrica, comienza en 1 y gradualmente se hace más grande, luego se hace más pequeña y regresa a 1. 2. El número de números en la enésima fila es n. 3. La suma de los números de la enésima fila es 2^(n-1). 4. Cada número es igual a la suma de los números izquierdo y derecho de la fila anterior. El triángulo de Pascal completo se puede escribir usando esta propiedad.

5. Conecte el primer número de la línea 2n1, el tercer número de la línea 2n2, el quinto número de la línea 2n3... en una línea. La suma de estos números es el segundo número de Fibonacci. Coloque el segundo número en la fila 2n, el cuarto número en la fila 2n 1, el sexto número en la fila 2n 2... la suma de estos números es el número de Fibonacci 2n-1. 6. El primer número de la enésima fila es 1, el segundo número es 1×(n-1), el tercer número es 1×(n-1)×(n-2)/2 y el cuarto número es 1 ×(n-1)×(n-2)/2 El número es 1×(n-1)×(n-2)/2×(n-3)/3… y así sucesivamente.

El triángulo de Yang Hui es una tabla numérica triangular ordenada por números. La forma general es la siguiente:

1 n=0

1 1 n=1<. /p >

1 2 1 n=2

1 3 3 1 n=3

1 4 6 4 1 n=4

1 5 10 10 5 1 n=5

1 6 15 20 15 6 1 n=6

…

Los números en cada fila de esta secuencia son exactamente binomios Después de elevar a b a la potencia, expande los coeficientes de cada término.

Por ejemplo:

(a b)^1=a^1 b^1

(a b)^2=a^2 2ab b^2

( a b )^3=a^3 3a^2b 3ab^2 b^3

……

(a b)^6=a^6 6a^5b 15a^4b^2 20a ^3b^3 15a^2b^4 6ab^5 b^6 (presta atención para descubrir las reglas)

...

¿Cuáles son las reglas para contar segmentos de recta? ¿Ángulos y triángulos?

Para contar segmentos de línea, cuente el número de puntos en el segmento de línea, incluidos los puntos finales, y divida la diferencia entre el número de puntos por el número de puntos menos uno por dos, es decir: n ×﹙n-1﹚÷2 Número Las fórmulas para contar ángulos y segmentos de recta son las mismas ¿Cuáles son las reglas para resolver triángulos?

Haz las preguntas tú mismo y presta atención al resumen;

La línea media de un lado del triángulo se corta en 2:1 por la otra línea media. Proporción, la longitud del lado cercano al vértice

El triángulo se divide en dos triángulos con áreas iguales.

¿Cuáles son las reglas para la suma de los ángulos interiores de triángulos como los paralelogramos extendiendo la línea media?

La regla es: la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° ¿Existe alguna regla para la regla del triángulo?

El centro de gravedad, circuncentro, centro perpendicular, incentro y paracentro de un triángulo se llaman los cinco centros del triángulo. El teorema de los cinco centros de un triángulo se refiere al nombre general del teorema del centroide del triángulo, teorema del circuncentro, teorema de la perpendicular, teorema del centro interno y teorema del paracentro.

2. Teorema del centro de gravedad

Las líneas medias de los tres lados de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se llama centro de gravedad del triángulo. Se puede demostrar mediante el teorema de la cola de golondrina que las tres líneas medias se cruzan en un punto, lo cual es muy simple. (El centro de gravedad es originalmente un concepto físico. Para una lámina triangular de igual espesor y masa uniforme, el centro de gravedad es exactamente la intersección de las tres líneas centrales del triángulo, de ahí el centro de gravedad).

Propiedades del centro de gravedad:

1. La relación entre la distancia del centro de gravedad al vértice y la distancia del centro de gravedad al punto medio del lado opuesto es 2: 1.

2. Las áreas de los tres triángulos formados por el centro de gravedad y dos vértices cualesquiera del triángulo son iguales. Es decir, la distancia desde el centro de gravedad a los tres lados es inversamente proporcional a la longitud de los tres lados.

3. La suma de los cuadrados de las distancias desde el centro de gravedad a los tres vértices del triángulo es la más pequeña.

4. En el sistema de coordenadas plano rectangular, las coordenadas del centro de gravedad son la media aritmética de las coordenadas del vértice, es decir, las coordenadas del centro de gravedad son ((X1 X2 X3)/ 3, (Y1 Y2 Y3)/ 3).

5. La suma de los tres vectores que parten del centro de gravedad y terminan en los tres vértices del triángulo es igual al vector cero.

3. Teorema del circuncentro

El centro de la circunferencia circunstante de un triángulo se llama circuncentro del triángulo.

Propiedades del circuncentro:

1. Las bisectrices perpendiculares de los tres lados de un triángulo se cortan en un punto, que es el circuncentro del triángulo.

2. Si O es el circuncentro de △ABC, entonces ∠BOC=2∠A (∠A es un ángulo agudo o recto) o ∠BOC=360°-2∠A (∠A es un ángulo ángulo obtuso).

3. Cuando el triángulo es agudo, el circuncentro está dentro del triángulo; cuando el triángulo es obtuso, el circuncentro está fuera del triángulo; cuando el triángulo es rectángulo, el circuncentro es; en la hipotenusa, y Los puntos medios de las hipotenusas coinciden.

4. Para calcular las coordenadas del circuncentro, primero debes calcular las siguientes variables temporales: d1, d2 y d3 son los productos puntuales de los vectores que conectan los tres vértices del triángulo con los otros dos. vértices. c1=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2; Coordenadas circulares: ((c2 c3)/2c, (c1 c3)/2c, (c1 c2)/2c).

5. Las distancias del circuncentro a los tres vértices son iguales

4. Teorema del centroide vertical

Las tres alturas (rectas) de un triángulo se cortan en un punto, que se llama triángulo del corazón.

Propiedades del centro vertical:

1. Un triángulo tiene tres vértices, tres catetos verticales, y estos 7 puntos del centro vertical pueden producir 6 círculos de cuatro puntos.

2. El circuncentro O, el centro de gravedad G y el centro vertical H del triángulo son rectas *** de tres puntos, y OG:GH = 1:2. (Esta línea recta se llama línea de Euler de un triángulo)

3. La distancia desde el centro perpendicular a un vértice del triángulo es el doble de la distancia desde el circuncentro del triángulo al lado opuesto al vértice .

4. El producto de las dos partes de cada línea vertical divididas verticalmente es igual.

Demostración del teorema

Conocido: En ΔABC, AD y BE son dos alturas, AD y BE se cruzan en el punto O, conectan la línea CO y se extienden hasta cruzar AB en el punto F. Verificar ：CF⊥AB

Prueba:

Conecta la línea DE ∵∠ADB=∠AEB=90 grados ∴A, B, D, E círculo de cuatro puntos *** ∴∠ ADE= ∠ABE

∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ ADE= ∠ABE

Y ∵∠ABE ∠BAC=90 grados ∴∠ACF ∠BAC=90 grados ∴CF⊥AB

Por lo tanto, ¡el teorema del centro vertical se cumple!

5 Teorema del Incentro

El centro de la circunferencia inscrita de un triángulo se llama incentro del triángulo.

Naturaleza del corazón:

1. Las tres bisectrices interiores de un triángulo se cortan en un punto. Este punto es el centro del triángulo.

2. La distancia desde el incentro a los lados de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la diferencia entre la suma de los dos lados rectángulos menos la hipotenusa.

3. P es cualquier punto del espacio donde se encuentra ΔABC, y la condición necesaria y suficiente de que el punto 0 sea el centro de ΔABC es: vector P0=(a×vector PA b×vector PB c ×vector PC)/(a b c) .

4. O es el centro del triángulo, A, B y C son los tres vértices del triángulo respectivamente. Si AO se extiende para intersecar el lado BC en. N, luego AO: ON=AB:BN=AC:CN =(AB AC): BC

5. (Teorema de Eula) En ABC, R y r son los radios del círculo circunscrito y del inscrito círculo respectivamente, O e I son el circuncentro y el incentro respectivamente, entonces OI^2=R^2-2Rr.

6. (La relación entre las longitudes de las bisectrices del ángulo interior y los tres lados)

En △ABC, 0 es el centro interior, y las bisectrices del ángulo interior de ∠A , ∠B y ∠C intersectan a BC y AC, AB están en Q, P, R, entonces BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

7. La distancia desde el centro a los tres lados del triángulo es igual.

Teorema del 6 Paracentro

El centro del circuncentro de un triángulo (el círculo tangente a un lado del triángulo y la extensión de los otros dos lados) se llama circuncentro del triángulo.

Propiedades del circuncentro:

1. Si la bisectriz de un ángulo interior de un triángulo corta con las bisectrices de los ángulos exteriores de los otros dos vértices, ese punto es el circuncentro del triángulo.

2. Cada triángulo tiene tres circuncentros.

3. Las distancias desde el pericentro a los tres lados son iguales.

Como se muestra en la figura, el punto M es el centro de △ABC. La intersección de las bisectrices exteriores de dos ángulos cualesquiera de un triángulo y la bisectriz interior del tercer ángulo. Un triángulo tiene tres circuncentros y deben estar fuera del triángulo.

Adjunto: El centro de un triángulo: Sólo un triángulo equilátero tiene centro. En este momento, el centro de gravedad, el centro interior, el centro exterior y el centro vertical están todos en uno.

7 Poemas Relacionados

La Canción de los Cinco Corazones de un Triángulo (el énfasis está en el exterior y el interior)

El triángulo tiene cinco corazones, el énfasis está en el exterior, el interior y los lados. Cinco La naturaleza de la mente es muy importante. Domínala con cuidado y no la olvides.

Centro de gravedad

Las tres líneas centrales deben cruzarse. La ubicación de la intersección es realmente inteligente. El punto de intersección se denomina "centro de gravedad". la gravedad debe ser clara.

El centro de gravedad divide los segmentos de la línea central y el número La proporción de párrafos se puede entender de oído, la proporción entre longitud y longitud es de dos a uno, y puede ser. dominado con flexibilidad.

Circuncentro

Un triángulo tiene seis elementos, y sus tres ángulos interiores tienen tres lados. Dibuja el centro perpendicular de los tres lados y las tres líneas se cruzan en un punto.

Este punto se define como el circuncentro, y con él se puede dibujar un círculo circunscrito. No olvides mezclar tu corazón interior y exterior. Cortar por dentro y conectar por fuera es la clave.

Centro vertical

Dibuja tres alturas en el triángulo. Las tres alturas deben cruzarse en el centro vertical. La línea alta divide el triángulo y aparecen tres pares de ángulos rectos.

Hay doce triángulos rectángulos, formando seis pares de formas similares. Hay diagramas circulares de cuatro puntos, y tú. Puede encontrarlos claramente mediante un análisis cuidadoso.

Corazón interior

Un triángulo corresponde a tres vértices y cada esquina tiene una bisectriz. La intersección de las tres líneas determina un punto, que es. Se llama "corazón interior" y tiene su origen;

Desde el punto hasta los tres lados, es igual. La distancia se puede utilizar como un círculo inscrito en un triángulo. El centro de este círculo se llama ". centro". Esta definición es natural.

Es realmente bueno recordar la naturaleza de los cinco corazones. ¿Existen reglas para que los niños en edad preescolar cuenten triángulos?

Mi hijo sabe contar uno por uno. ¿Cuáles son las reglas para dibujar varios triángulos rectángulos en un círculo?

Respuesta: Las reglas para dibujar varios triángulos rectángulos en un círculo:

Toma cualquier punto C en la circunferencia del círculo y muévalo hacia cualquier parte del círculo. Dibuja dos líneas AC y BC que conecten los dos extremos de un diámetro AB, y el △ABC dibujado es un triángulo rectángulo. La hipotenusa es el diámetro AB, y AC y BC son dos lados rectángulos. En matemáticas de primaria, ¿cuáles son las reglas para contar triángulos?

Tomemos como ejemplo "Un triángulo grande se compone de 100 triángulos equiláteros pequeños idénticos. ¿Cuántos triángulos hay en este triángulo grande?"

100 triángulos equiláteros idénticos están dispuestos en un gran triángulo de 10 pisos.

(1) Cuente el número de triángulos simples 10×10=100.

(2) Cuente el número de triángulos que apuntan hacia arriba. Para calcular el número de triángulos que apuntan hacia arriba también se utiliza el método de sumar números enteros al revés. La clave es determinar el número principal. Primero cuente el número de triángulos que apuntan hacia arriba compuestos por 4 triángulos pequeños: comience desde 9 (9 es el primer número, el primer número es 1 menos que el número de capas) y agregue hacia atrás hasta sumar 1 (9 8 7 6 5 4 3 2 1=45); luego cuente el número de triángulos que apuntan hacia arriba compuestos por 9 triángulos pequeños: comience desde 8 y sume hacia atrás hasta 1 (8 7 6 5 4 3 2 1=36); triángulos con punta hacia arriba compuestos por 16 triángulos pequeños: comience desde 7 y agregue hacia atrás hasta 1, (7 6 5 4 3 2 1 = 28); triángulos: comienza desde 6 y suma hacia atrás hasta 1 (6 5 4 3 2 1 = 21)... Calcula el número de triángulos hacia arriba compuestos por 81 triángulos pequeños: comienza desde 2 y suma hacia atrás hasta llegar a 1 (2 1 = 3); finalmente cuenta el número de triángulos que apuntan hacia arriba compuestos por 100 triángulos pequeños: es 1. (3) Cuente el número de triángulos invertidos. Partiendo del triángulo invertido compuesto por 4 triángulos pequeños, también utilizamos el método de suma hacia atrás. La clave es saber cuál es el número principal. Te diremos la razón entre el número principal y el total del triángulo invertido compuesto por 4. triángulos pequeños El número es 3 menos, es decir, 10-3=7, y el número es: 7 6 5 4 3 2 1=28.

En el futuro, al calcular el número de triángulos invertidos, el primer número será menor que 2 cada vez, es decir, el número de triángulos invertidos compuestos por 9 triángulos pequeños debe comenzar desde 5 y sumarse al revés, es decir, 5 4 3 2 1 = 15, 16 triángulos pequeños El número de triángulos invertidos compuestos por triángulos debe comenzar desde 3 y sumar hacia atrás, es decir, 3 2 1 = 6. El número de triángulos invertidos compuestos por 25 triángulos pequeños es 1. Es imposible tener 36 o 49. Aún más triángulos pequeños forman el triángulo invertido. (4) Sume el número de triángulos simples, triángulos regulares y triángulos invertidos para obtener el número total de triángulos.