La función cúbica se parece a

1. Conceptos y propiedades básicos

Se llama a una función de la forma y=ax^3 bx^2 cx d (a≠0, b, c, d son constantes). una función cúbica.

La imagen de la función cúbica es una curva, una parábola de regresión (diferente de una parábola ordinaria), que es bastante especial.

La función y=f(x)=ax^3 px, donde la imagen de la función de p=(3ac-b^2)/(3a) se traslada hacia arriba (2b^3 27da^2-9abc )/ (27a^2) unidades, y desplazando b/(3a) unidades hacia la izquierda, se puede obtener la función y=ax^3 bx^2 cx d.

Aquí tomamos f(x)=ax^3 px como ejemplo. Otras funciones cúbicas complejas se pueden traducir a esta forma y, por lo general, solo aparecen en aplicaciones y se pueden ignorar.

La función f(x)=ax^3 px tiene como máximo 2 vértices. Aquí solo analizamos el correcto.

*Cuando ap≤0, las coordenadas del vértice son [(-3ac)^(0.5)/(3a), 2b(-3ac)^(0.5)/(9a)]

*Cuando ap≥0, el vértice coincide con el pseudovértice, que es (0, 0)

2. Método de búsqueda del punto cero

Para encontrar el punto cero de la función, se puede utilizar la fórmula de Sheng Jin: Fórmulas de Sheng Jin o soluciones tradicionales

La aplicación de la fórmula de Shengjin, el método de discriminación de Shengjin y el teorema de Shengjin se le presentarán desde aquí

Cúbico Las ecuaciones se utilizan ampliamente. Usar la raíz cuadrada para resolver una ecuación cúbica de una variable, aunque existe la famosa fórmula de Cardan y su correspondiente método de discriminación, usar la fórmula de Cardan para resolver problemas es más complicado y carece de intuición. Fan Shengjin derivó un conjunto de nuevas fórmulas para encontrar raíces para fórmulas generales de ecuaciones cúbicas de una variable en una forma más simple expresada directamente en términos de a, b, cyd, y estableció un nuevo método de discriminación.

1. Fórmula de Shengjin

Ecuación cúbica unidimensional aX3+bX2+cX+d=0, (a, b, c, d∈R y a≠0).

Discriminante de doble raíz:

A=b2-3ac;

B=bc-9ad;

C=c2-3bd,

Discriminante total: Δ=B2-4AC.

Cuando A=B=0, fórmula Shengjin ①:

X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c.

Cuando Δ=B2-4ACgt;0, fórmula Shengjin ②:

X1=(-b-(Y11/3+Y21/3))/(3a);

p>

X2, 3=(-2b＋Y11/3＋Y21/3±31/2

(Y11/3-Y21/3)i)/(6a);

Entre ellos, Y1, 2=Ab+3a

(-B±(B2-4AC)1/2)/2, i2=-1.

Cuando Δ=B2-4AC=0, fórmula Shengjin ③:

X1=-b/a+K; X2=X3=-K/2,

donde K=B/A, (A≠0).

Cuando Δ=B2-4AClt;0, fórmula Shengjin ④:

X1=

(-b-2A1/2cos(θ/3)

)/(3a);

X2, 3=

(-b＋A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/ 3) ))/(3a);

Donde θ=arccosT, T=

(2Ab-3aB)/(2A3/2), (Agt; 0, -1lt; Tlt; 1).

2. Método de identificación de Shengjin

①: Cuando A=B=0, la ecuación tiene una raíz real triple;

②: Cuando Δ=B2 - 4ACgt; cuando 0, la ecuación tiene una raíz real y un par de raíces imaginarias de yugo;

③: Cuando Δ=B2-4AC=0, la ecuación tiene tres raíces reales, una de las cuales tiene dos raíces múltiples;

④: Cuando Δ=B2-4AClt;0, la ecuación tiene tres raíces reales desiguales.

3. Teorema de Shengjin

Cuando b=0, c=0, la fórmula de Shengjin ① no tiene sentido cuando A=0, la fórmula de Shengjin ③ no tiene sentido cuando A≤0, La fórmula Shengjin ④ no tiene sentido; cuando T <-1 o T>1, la fórmula Shengjin 4 no tiene sentido.

Cuando b=0, c=0, ¿se establece la fórmula ① de Shengjin? ¿Existe algún valor de A≤0 para la fórmula Shengjin ③ y la fórmula Shengjin ④? ¿La fórmula ④ de Shengjin tiene un valor de T<-1 o T>1? El teorema de Shengjin da la siguiente respuesta:

Teorema 1 de Shengjin: Cuando A=B=0, si b=0, entonces debe haber c=d=0 (en este momento, la ecuación tiene un triple real Raíz 0, la fórmula Shengjin ① aún se mantiene).

Teorema 2 de Shengjin: cuando A=B=0, si b≠0, entonces debe haber c≠0 (en este momento, se usa la fórmula ① de Shengjin para resolver el problema).

Teorema 3 de Shengjin: cuando A=B=0, entonces debe haber C=0 (en este momento, se usa la fórmula ① de Shengjin para resolver el problema).

Teorema 4 de Shengjin: cuando A = 0, si B≠0, entonces debe haber Δ>0 (en este momento, se usa la fórmula ② de Shengjin para resolver el problema).

Teorema 5 de Shengjin: cuando A <0, debe haber Δ>0 (en este momento, se usa la fórmula ② de Shengjin para resolver el problema).

Teorema 6 de Shengjin: cuando Δ=0, si B=0, entonces debe existir A=0 (en este momento, se utiliza la fórmula ① de Shengjin para resolver el problema).

Teorema 7 de Shengjin: Cuando Δ=0, si B≠0, la fórmula ③ de Shengjin no debe tener un valor A≤0 (en este momento, se utiliza la fórmula ③ de Shengjin para resolver el problema).

Teorema 8 de Shengjin: Cuando Δ<0, la fórmula ④ de Shengjin no debe tener un valor A≤0. (En este momento, se debe utilizar la fórmula ④ de Shengjin para resolver el problema).

Teorema 9 de Shengjin: Cuando Δ<0, la fórmula ④ de Shengjin no debe tener un valor de T≤-1 o T≥1, es decir, el valor de T debe ser -1

Obviamente, cuando A≤0, existe una fórmula Shengjin correspondiente para resolver el problema.

Nota: Lo contrario del teorema de Shengjin puede no ser cierto. Por ejemplo: cuando Δ>0, A<0 no es necesariamente el caso.

El teorema de Shengjin muestra que la fórmula de Shengjin siempre sigue siendo significativa. Cualquier ecuación cúbica de una variable con coeficientes reales se puede resolver intuitivamente utilizando la fórmula de Shengjin.

Cuando Δ=0(d≠0), usar la fórmula de Cardan para resolver problemas todavía tiene raíz cúbica. En comparación con la fórmula de Kaldan, la forma de expresión de la fórmula de Shengjin es más simple y el uso de la fórmula de Shengjin para resolver problemas es más intuitivo y eficiente; la solución de la ecuación discriminante de Shengjin es más intuitiva. El discriminante de raíz múltiple A=b2-3ac; B=bc-9ad; C=c2-3bd es la fórmula más concisa, y el discriminante total Δ=B2-4AC compuesto por A, B y C también es la fórmula más concisa. ( es una fórmula muy hermosa), su forma es la misma que la del discriminante de las raíces de una ecuación cuadrática la fórmula (-B±(B2-4AC)1/2)/2 en la fórmula de Shengjin ② tiene una ecuación cuadrática En; En forma de fórmulas para encontrar raíces, estas expresiones encarnan el orden, la simetría, la armonía y la belleza de la simplicidad en matemáticas.

4. Métodos de solución tradicionales

Además, la fórmula para encontrar la raíz de una ecuación cúbica de una variable no se puede obtener mediante el pensamiento deductivo ordinario. Es similar a la fórmula para encontrar la raíz de. una ecuación cuadrática de una variable. El método de comparación solo puede formalizar la ecuación cúbica estándar de tipo ax^3 bx^2 cx d 0 en el tipo especial x^3 px q=0.

La solución a la fórmula de solución de una ecuación cúbica de una variable solo se puede obtener mediante el pensamiento inductivo, es decir, basándose en la forma de la fórmula de búsqueda de raíces de una ecuación lineal de una variable, una ecuación cuadrática ecuación de una variable y una ecuación especial de orden superior, se resume la solución de la ecuación cúbica de una variable en la forma de la fórmula raíz.

La forma de la fórmula para encontrar la raíz de una ecuación cúbica de una variable resumida en la forma

x^3 px q=0 debe ser x=A^(1/3) B^(1/3) , es decir, es la suma de dos cubos. Se ha resumido la forma de la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cúbica de una variable. El siguiente paso es encontrar el contenido de la raíz cúbica, es decir, usar p y q para representar A y B. El método es el siguiente:

(1) Cubo ambos lados de x=A^(1/3) B^(1/3) al mismo tiempo para obtener

( 2) x^3=( A B) 3(AB)^(1/3)(A^(1/3) B^(1/3))

(3) Dado que x=A^ (1/3) B^ (1/3), por lo que (2) se puede reducir a

x^3=(A B) 3(AB)^(1/3)x, que puede ser obtenido desplazando términos

(4) x^3-3(AB)^(1/3)x-(A B)=0, comparado con la ecuación cúbica de una variable y el tipo especial x^ 3 px q=0, se puede ver

(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A B)=q, simplificar para obtener

(6)A B=-q, AB=-(p/3) ^3

(7) De esta manera, la fórmula para encontrar raíces de una ecuación cúbica de una variable en realidad se transforma en la Fórmula para encontrar raíces de una ecuación cuadrática, porque A y B pueden considerarse como las dos raíces de una ecuación cuadrática, y (6) es el teorema védico sobre las dos raíces de una ecuación cuadrática de la forma ay^2 por c. =0, es decir,

(8) y1+y2=-(b/a), y1*y2=c/a

(9) Comparando (6) y ( 8), A=y1, B=y2, q=b/a, -(p/3)^3 =c/a

(10) Dado que la fórmula raíz de una ecuación cuadrática de tipo ay ^2 por c=0 es

y1=-(b+(b^2- 4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b- (b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

Se puede transformar en

(11)y1=-(b/2a)-(( b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2＝-(b/2a) ((b/2a)^2-(c/a))^ (1/2)

Establezca A＝y1 y B＝y2 en (9), q=b/a, -(p/3)^3=c/a Sustituyendo en (11) podemos obtener

(12)A=-(q/2)-((q/2) ^2＋（p/3）^3）^(1/2)

B ＝－(q/2) ((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1 /2)

(13) Sustituye A y B en x=A^(1 /3) B^(1/3) para obtener

(14)x=(-( q/2)-((q/2)^2＋(p/3)^3)^( 1/2))^(1/3) (-(q/2) ((q/2)^2＋( p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

La fórmula

(14) es solo una solución raíz real de las tres ecuaciones de una variable, según Wei. Según el teorema de Veda, una ecuación cúbica de una variable debe tener tres raíces. Según el teorema de Veda, una ecuación cúbica de una variable sólo requiere una de las raíces, y las otras dos raíces son fáciles de encontrar.