Conocimiento hiperbólico

8.4 Propiedades geométricas simples de la hipérbola

1. Contenido principal de esta lección

1. Segunda definición de hipérbola

2, Geométrica. propiedades y aplicaciones de las hipérbolas

3. Relación posicional entre rectas e hipérbolas

2 Guía de estudio

1. Análisis de las propiedades geométricas de las hipérbolas. categorías principales

(1) Propiedades geométricas inherentes:

① Relación posicional: el centro es el punto medio de los dos focos y los dos vértices están en el eje real; eje real Perpendicular al eje imaginario; la hipérbola tiene dos asíntotas que pasan por el centro; la directriz es perpendicular al eje real

② Relación cuantitativa: la longitud del eje real, la longitud de el eje imaginario y la distancia focal son 2a y 2b respectivamente, 2c. La distancia entre las dos directivas es: Distancia focal (parámetro focal);

③ Excentricidad, e>1, cuanto mayor es e, más amplia es la apertura de la hipérbola.

(2) Propiedades analíticas (relacionadas con el sistema de coordenadas), la lista de comparación es la siguiente:

Hipérbola enfocada en el eje x Hipérbola enfocada en el eje y

Ecuación (a>0, b>0)

(a>0, b>0)

Vértice (±a, 0), (0 , ±b) (0, ±a), (±b, 0)

Enfoque F1 (-c, 0), F2 (c, 0) F1 (0, -c), F2 (0 , c)

Directriz x=± ​​

y=±

Asíntota y=±

y=±

Simetría: simetría axial con respecto al eje x y al eje y, y simetría con respecto al centro del origen

Rango |x|≥a, y∈R |y|≥a, x ∈R

El radio de enfoque P está en la rama izquierda: |PF1|=-a-ex0, |PF2|=a-ex0

P está en la rama derecha: |PF1 |=exa, |PF2|=ex0-a P En la rama inferior: |PF1|=-a-ey0, |PF2|=a-ey0

P en la rama superior: |PF1 |=eya, |pF2|=ey0-a

2. La segunda definición de hipérbola es la misma que la segunda definición de elipse, consulte el libro de texto P112. La relación entre la primera definición y la segunda definición se muestra en el contenido de la elipse anterior.

3. El estudio de la relación posicional entre una recta y una hipérbola es completamente similar al de una recta y una elipse. Sin embargo, como la hipérbola tiene más asíntotas, cuando la recta y la hipérbola tienen un punto común, se dan dos situaciones: una es que la recta es tangente a la hipérbola, en cuyo caso las ecuaciones de la recta y la hipérbola se combinan. El discriminante de la ecuación cuadrática sobre x (o y) obtenido después de la eliminación es △=0; el segundo es que la línea recta corta a la hipérbola, específicamente, la línea recta es paralela a la asíntota de la hipérbola. En este momento, la ecuación sobre x (o y) obtenida después de la eliminación simultánea de las ecuaciones de la línea recta y de la hipérbola es una ecuación lineal.

Cuando una línea recta intersecta una hipérbola, hay dos formas básicas de tratarla: una es enumerar un sistema de ecuaciones; la otra es usar el método de diferencia de puntos. No importa el enfoque que adoptes, debes fortalecer la idea de arreglar las cosas sin pedirlas.

4. En (a>0, b>0), si a=b, la hipérbola es una hipérbola equiaxial y su excentricidad es .

5. Hipérbola y se llaman hipérbolas de yugo.

5. Los vértices de sus ejes reales y los vértices de sus ejes imaginarios se intercambian; sus círculos de enfoque e1 y e2 satisfacen =1;

6. Si se sabe que la ecuación de la hipérbola es , entonces su ecuación asíntota es ; si se sabe que la ecuación de la hipérbola es , entonces la ecuación de la hipérbola correspondiente es