¿Cómo resolver la convolución?
La convolución (también conocida como convolución) y la deconvolución (también conocida como deconvolución) son métodos matemáticos de transformación integral y se han utilizado ampliamente en muchos aspectos. El método de convolución se ha utilizado para resolver problemas de interpretación de pruebas y ha logrado buenos resultados. Hasta hace poco, Schroeter, Hollaender y Gringarten resolvieron el problema de estabilidad de su método de cálculo, lo que provocó que el método de deconvolución atrajera rápidamente una atención generalizada en el campo de las pruebas de pozos. Algunos expertos creen que la aplicación de la deconvolución es otro salto importante en la historia del desarrollo de métodos de interpretación de pruebas de pozos. Predicen que con el aumento y la aplicación de nuevas herramientas y tecnologías de prueba, así como una integración más estrecha con otros resultados de investigación profesional, el papel y la importancia de las pruebas de pozos en la caracterización de yacimientos de petróleo y gas seguramente aumentarán [1].
2 Connotación básica
Definición simple: la convolución es una operación importante en matemáticas analíticas.
Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones integrables en R1 y realizamos la integración:
Se puede demostrar que la integral anterior existe para casi todos los números reales x . De esta manera, con diferentes valores de x, esta integral define una nueva función h(x), llamada convolución de las funciones F y G, denotada como h(x) = (F * G) (x).
Es fácil demostrar que (f * g) (x) = (g * f) (x), y (f * g) (x) sigue siendo una función integrable. Es decir, el espacio l 1 (r 1) no es una multiplicación, sino un álgebra, incluso un álgebra de Banach.
La convolución está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier. Muchos problemas del análisis de Fourier se pueden simplificar utilizando la propiedad de que el producto de la transformada de Fourier de dos funciones es igual a la transformada convolutiva de Fourier.
La función f*g obtenida por convolución suele ser más suave que f y g. En particular, cuando g es una función suave con un conjunto compacto y f es localmente integrable, su convolución f*g también es una función suave. Usando esta propiedad, para cualquier función integrable f, podemos simplemente construir una serie de secuencias de funciones suaves fs que se aproximan a f, lo que se denomina suavizado o regularización de la función.
El concepto de convolución también se puede extender a secuencias, medidas y funciones generalizadas.
3 Definición
La convolución es el resultado de la multiplicación y suma de dos variables dentro de un rango determinado. Si las variables de la convolución son las secuencias x(n) y h(n), el resultado de la convolución
,
donde el asterisco * indica convolución. Cuando la secuencia n=0, la secuencia h(-I) es el resultado de la inversión de la secuencia I de h(I); la inversión de la serie de tiempo hace que h(I) gire 180 grados alrededor del eje vertical, entonces el cálculo de la suma después de la multiplicación El método se llama suma convolucional, o convolución para abreviar. Además, n es el desplazamiento de h (-I), y n diferente corresponde a diferentes resultados de convolución.
Si las variables de la convolución son funciones x(t) y h(t), el cálculo de la convolución se convierte en
,
donde p es una Variable entera, el número entero también es una suma, t es la cantidad de desplazamiento de la función h (-p) y el asterisco * indica convolución.
Consulte las páginas 55, 188 y 264 de "Digital Signal Processing" de Yang Yiming, publicado por Machinery Industry Press en 2012.
4 propiedades
Cada una
Reverberación de convolución espacial perfecta
Todos los operadores de convolución satisfacen las siguientes propiedades:
Ley conmutativa Ley asociativa Ley distributiva Ley asociativa multiplicativa Donde a es cualquier número real (o número complejo).
Teorema diferencial, donde Df representa el diferencial de f. Si está en el dominio discreto, se refiere al operador de diferencia, incluida la diferencia hacia adelante y la diferencia hacia atrás.
5 Teorema de Convolución
El teorema de convolución establece que la transformada de Fourier de la convolución de una función es el producto de la transformada de Fourier de la función. Es decir, una convolución en un dominio es equivalente a un producto en otro dominio, por ejemplo, una convolución en el dominio del tiempo corresponde a un producto en el dominio de la frecuencia.
F(g(x)*F(x)) = F(g(x))F(F(x))
Donde f representa la transformada de Fourier.
El teorema también se aplica a varias variantes de la transformada de Fourier, como la transformada de Laplace, la transformada bilateral de Laplace, la transformada z, la transformada de Merlin y la transformada de Hartley (ver teorema de inversión de Merlin). En análisis armónico, también se puede generalizar a transformadas de Fourier definidas en grupos abelianos localmente compactos.
El teorema de convolución puede simplificar la operación de convolución. Para una secuencia de longitud n, el cálculo de acuerdo con la definición de convolución requiere 2n-1 conjuntos de multiplicaciones de alineamiento, y su complejidad computacional es: Sin embargo, después de transformar la secuencia al dominio de frecuencia usando la transformada de Fourier, solo se necesita un conjunto de alineamientos. multiplicación. Después de utilizar el algoritmo rápido de la transformada de Fourier, la complejidad computacional total es. Este resultado se puede aplicar a cálculos de multiplicación rápidos.
6 grupos de convoluciones
Análisis de convolución y correlación》.
Pregunta 2: ¿Cómo operar la convolución bidimensional? a =【100, 100, 100
100,100,100
100,100,100]
b =【1/9, 1/9, 1/9
1/9,1/9,1/9
1/9,1/9,1/9]
c = con v2 (A, B)
Pregunta 3: ¿Cómo calcular la convolución de dos funciones?
Simplemente usa la función conv.
Ejemplo:
u = unidades(1,100);
v = 2 * u;
w = conv;
Plot(w);
Pregunta 4: ¿Qué es la convolución matricial? No hay convolución matricial, solo convolución vectorial. Por supuesto, si insistes en entender el vector como una matriz 1*n, eso también es correcto.
La llamada convolución de dos vectores es simplemente una multiplicación polinomial.
Por ejemplo, p = [123], q = [11] son dos vectores. La convolución de pyq es la siguiente:
Toma los elementos de p como coeficientes. de un polinomio y el polinomio Ordene en potencia ascendente (o potencia descendente), por ejemplo, escriba el polinomio correspondiente en potencia ascendente: 1+2x+3x ^ 2 de manera similar, ordene los elementos de Q en los coeficientes del polinomio en orden ascendente y escribe el polinomio correspondiente: 1 +x x.
Convolución es "multiplicar dos polinomios para obtener un coeficiente".
（1+2x+3x^2)×(1+x)=1+3x+5x^2+3x^3
Entonces, el resultado de la convolución de p y q es 【1 3 5 3】.
Recuerde que al determinar si ordenar en orden ascendente o descendente, lo siguiente también debe organizarse de esta manera; de lo contrario, el resultado será incorrecto.
También puedes probar matlab.
p =【1 2 3】
q =【1 1】
conv
Mira si es igual que el resultado calculado.
Pregunta 5: ¿Cómo encontrar la convolución de dos funciones? borrar;
clc todo apagado;
x = 0:0.1:12;
y = gaus * * * f (x, [140 6]) ;
Gráfica;
plot(x, y);
ys = trapz(x, y)% encuentra el área de y a x.
z = gaus * * * f (x, [9 6]);
Gráfico
gráfico (x, z
);conv(y, z);
n = linspace(0, 12, longitud(es));
ss = trapz(n, S)% encuentra S para área de x.
Sspsys = ss/ys% Encuentra la relación entre el área S y el área Y.
Pruébelo como se indicó anteriormente.
Pregunta 6: Con respecto a la convolución, ¿cómo dibujar la convolución de estos dos gráficos? Voltea la segunda forma para obtener el rectángulo rojo.
Luego traduce la unidad de prueba.
(En t0, muévase hacia la derecha, rectángulo azul)
Discusión de los valores de t en diferentes circunstancias
La convolución se obtiene mediante la integración de el área donde se cruzan las gráficas.
El gráfico de convolución es trapezoidal.
La convolución se calcula de la siguiente manera:
La imagen convolucionada es trapezoidal.
El esquema es el siguiente:
Pregunta 7: ¿Qué es la convolución? ¿Cómo encontrar la convolución de dos funciones? 15 Introducción a las integrales
La convolución (también conocida como convolución) y la deconvolución (también conocida como deconvolución) son métodos matemáticos de transformación integral y se han utilizado ampliamente en muchos aspectos.
El método de convolución se ha utilizado para resolver problemas de interpretación de pruebas y ha logrado buenos resultados. Hasta hace poco, Schroeter, Hollaender y Gringarten resolvieron el problema de estabilidad de su método de cálculo, lo que provocó que el método de deconvolución atrajera rápidamente una atención generalizada en el campo de las pruebas de pozos. Algunos expertos creen que la aplicación de la deconvolución es otro salto importante en la historia del desarrollo de métodos de interpretación de pruebas de pozos. Predicen que con el aumento y la aplicación de nuevas herramientas y tecnologías de prueba, así como una integración más estrecha con otros resultados de investigación profesional, el papel y la importancia de las pruebas de pozos en la caracterización de yacimientos de petróleo y gas seguramente aumentarán [1].
2 Connotación básica
Definición simple: la convolución es una operación importante en matemáticas analíticas.
Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones integrables en R1 y realizamos la integración:
Se puede demostrar que la integral anterior existe para casi todos los números reales x . De esta manera, con diferentes valores de x, esta integral define una nueva función h(x), llamada convolución de las funciones F y G, denotada como h(x) = (F * G) (x).
Es fácil demostrar que (f * g) (x) = (g * f) (x), y (f * g) (x) sigue siendo una función integrable. Es decir, el espacio l 1 (r 1) no es una multiplicación, sino un álgebra, incluso un álgebra de Banach.
La convolución está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier. Muchos problemas del análisis de Fourier se pueden simplificar utilizando la propiedad de que el producto de la transformada de Fourier de dos funciones es igual a la transformada convolutiva de Fourier.
La función f*g obtenida por convolución suele ser más suave que f y g. En particular, cuando g es una función suave con un conjunto compacto y f es localmente integrable, su convolución f*g también es una función suave. Usando esta propiedad, para cualquier función integrable f, podemos simplemente construir una serie de secuencias de funciones suaves fs que se aproximan a f, lo que se denomina suavizado o regularización de la función.
El concepto de convolución también se puede extender a secuencias, medidas y funciones generalizadas.
3 Definición
La convolución es el resultado de la multiplicación y suma de dos variables dentro de un rango determinado. Si las variables de la convolución son las secuencias x(n) y h(n), el resultado de la convolución
,
donde el asterisco * indica convolución. Cuando la secuencia n=0, la secuencia h(-I) es el resultado de la inversión de la secuencia I de h(I); la inversión de la serie de tiempo hace que h(I) gire 180 grados alrededor del eje vertical, entonces el cálculo de la suma después de la multiplicación El método se llama suma convolucional, o convolución para abreviar. Además, n es el desplazamiento de h (-I), y n diferente corresponde a diferentes resultados de convolución.
Si las variables de la convolución son funciones x(t) y h(t), el cálculo de la convolución se convierte en
,
donde p es una Variable entera, el número entero también es una suma, t es la cantidad de desplazamiento de la función h (-p) y el asterisco * indica convolución.
Consulte las páginas 55, 188 y 264 de "Digital Signal Processing" de Yang Yiming, publicado por Machinery Industry Press en 2012.
4 propiedades
Cada una
Reverberación de convolución espacial perfecta
Todos los operadores de convolución satisfacen las siguientes propiedades:
Ley conmutativa Ley asociativa Ley distributiva Ley asociativa multiplicativa Donde a es cualquier número real (o número complejo).
Teorema diferencial, donde Df representa el diferencial de f. Si está en el dominio discreto, se refiere al operador de diferencia, incluida la diferencia hacia adelante y la diferencia hacia atrás.
5 Teorema de la Convolución
El teorema de la convolución establece que la transformada de Fourier de la convolución de una función es el producto de la transformada de Fourier de la función. Es decir, una convolución en un dominio es equivalente a un producto en otro dominio, por ejemplo, una convolución en el dominio del tiempo corresponde a un producto en el dominio de la frecuencia.
F(g(x)*F(x)) = F(g(x))F(F(x))
Donde f representa la transformada de Fourier.
El teorema también se aplica a varias variantes de la transformada de Fourier, como la transformada de Laplace, la transformada bilateral de Laplace, la transformada z, la transformada de Merlin y la transformada de Hartley (ver teorema de inversión de Merlin). En análisis armónico, también se puede generalizar a transformadas de Fourier definidas en grupos abelianos localmente compactos.
El teorema de convolución puede simplificar la operación de convolución. Para una secuencia de longitud n, el cálculo de acuerdo con la definición de convolución requiere 2n-1 conjuntos de multiplicaciones de alineamiento, y su complejidad computacional es: Sin embargo, después de transformar la secuencia al dominio de frecuencia usando la transformada de Fourier, solo se necesita un conjunto de alineamientos. multiplicación.
Después de utilizar el algoritmo rápido de la transformada de Fourier, la complejidad computacional total es. Este resultado se puede aplicar a cálculos de multiplicación rápidos.
6 grupos de convoluciones
Análisis de convolución y correlación》.
Pregunta 8: ¿Cómo calcular la convolución de u(t)*u(t-1)? u(t)*u(t-1)=u(t)*u(t)*δ(t-1)
= tu(t)*δ(t-1)
=(t-1)u(t-1)
Pregunta 9: Señal y sistema: ¿qué es la convolución? El cartel, déjame decir algunas palabras:
La convolución es una fórmula (muy importante en señales)... Generalmente se usa para operaciones, como brindarle los detalles específicos de f 1 (t) y F2. (t) Función que permite encontrar la convolución de f 1(t) y F2(t). Solo recuerda la fórmula y pon F65438+.
El significado práctico de la convolución: tiene muchas aplicaciones en señales y sistemas: respuesta de estado cero = respuesta de impulso de convolución de excitación; con respecto a la prueba de la señal de Wu Dazheng y la integral de convolución del sistema lineal P60 referenciado por el cartel (prueba) Hay demasiados, así que no los escribiré). ...
Si tienes alguna pregunta, por favor contáctame nuevamente. ...
Pregunta 10: Cómo entender la integral de convolución. Para los estudiantes que no son matemáticos, siempre que sepan cómo usar la convolución, tiene poca importancia estudiar qué es la convolución. multiplicación de elementos infinitesimales y una forma limitante de acumulación. La convolución en sí es solo una operación matemática. Al igual que la "operación mariposa", cómo demostrarlo es trabajo de la gente del departamento de matemáticas.
En señales y sistemas, la respuesta de estado cero y(t) de f(t) se puede resolver mediante la integral de convolución de f(t) y su respuesta de impulso unitario h(t), es decir , y(t) ) = f(t)*h(t). Cualquiera que haya estudiado señales y sistemas debe saber que la convolución del dominio del tiempo es igual al producto del dominio de la frecuencia, es decir, existe Y (s) = F (s) × H (s). (s=jw, la función después de la transformada de Laplace es en realidad la expresión en el dominio de frecuencia de la señal)
Una cosa que debes entender es que en los sistemas de comunicación, lo que nos importa y estudiamos es el dominio de frecuencia de una señal, no el dominio del tiempo, porque la frecuencia de una señal es la cantidad que transporta información.
Por lo tanto, lo que necesitamos es la expresión Y(s), pero de hecho, a menudo no podemos obtener fácilmente las dos expresiones F(s) y H(s), pero sí podemos fácilmente. obtenga F (t) y H (t) directamente, por lo que para encontrar la correspondencia entre Y (s) e Y (t), necesitamos usar la operación de convolución.
Dominio de frecuencia complejo.
S=jw, donde j es una unidad compleja, por lo que se utiliza el dominio de frecuencia complejo. El método de explicación popular es que, dado que existe inductancia, para distinguirlo del dominio del tiempo, se introducen operaciones con números complejos. Sin embargo, la forma de cálculo en el dominio de la frecuencia compleja aún satisface el teorema de Ohm, KCL, KVL y el método de superposición.
Frecuencia negativa.
La razón de la aparición de frecuencias negativas es solo el resultado de operaciones matemáticas. Solo existe en operaciones matemáticas. Las frecuencias negativas no aparecerán en la práctica.