Alusiones al teorema chino del resto
China ha logrado logros brillantes en las matemáticas antiguas. Hoy, el Sr. Wu y la Sra. Wu presentarán el teorema del resto de China, que es muy famoso en la historia de las matemáticas chinas.
1 Han Xin El problema de ordenar tropas
Esta pregunta comienza con una historia llamada "Han Xin ordena tropas"
Al final de la dinastía Qin, Chu y Han estaban peleando. Xin, uno de los tres héroes de principios de la dinastía Han, una vez dirigió 1.500 soldados. Los soldados lucharon y murieron entre cuatrocientas y quinientas personas. Para contar el número de soldados restantes, Han Xin ordenó tres soldados en una compañía, dos. más; cinco hombres seguidos, cuatro más; siete hombres seguidos, seis más. Esto rápidamente indicó el número de personas: 1049. El ejército Han estaba muy convencido del general Han Xin, y luego se convenció de que Han Xin era un. "Dios del cielo, con planes inteligentes", por lo que la moral del ejército Han aumentó enormemente, y los tambores de guerra sacudieron el cielo a cada paso del camino. Presionando con fuerza, el ejército de Chu cayó en el caos y huyó. en todo el mundo y fue aclamado como el "Soldado Inmortal" y "El Dios Hermoso" por las generaciones posteriores.
Entonces, ¿cómo calculó rápidamente Han Xin el problema de los soldados? descrito en lenguaje matemático moderno como: si el número de soldados es 0, divídalo por 3 dividido por 2, divídalo por 5 dividido por 4 y divídalo por 7 dividido por 6. También podemos usar la congruencia para expresar este problema:
Encontramos que si puede ser divisible por 3, 5 y 7 al mismo tiempo, es decir,
Entonces debe ser 3, 5, el múltiplo entero del menor múltiplo común de 7. Debido a que 3, 5 y 7 son números primos, entonces
Por lo tanto
Es decir,
Entonces, ¿dónde están los números enteros positivos?
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De esta manera, Han Xin calculó el número de soldados restantes.
2 El problema de la ignorancia de los cálculos de Sun Tzu
Este tipo de problema en realidad se resuelve en primaria. Teoría de números En la historia de las matemáticas, el problema de señalar al soldado de Han Xin también se llama el problema del gobernador, que se registró por primera vez en "El arte de la guerra" hace más de mil años:
"
No sé cuánto está pasando hoy. ¿Cuál es la geometría de las cosas?
Traducido al lenguaje matemático moderno, es resolver la fórmula de congruencia que satisfacen los números enteros.
Este problema es similar al problema de Han Xin de ordenar tropas mencionado anteriormente, pero no es tan bueno como el anterior, porque no importa si suma o resta un número, no puede ser divisible entre 3, 5 , o 7 al mismo tiempo. Entonces, ¿cómo solucionar este problema?
Qin, un matemático de la dinastía Song, dio una respuesta completa y sistemática a la pregunta "las cosas se desconocen" en el primer y segundo volumen de "Nueve capítulos de Shu Shu" (1247). El matemático de la dinastía Ming, Cheng Dawei, compiló esta respuesta en una canción pegadiza en "El arte de la guerra":
"
Los tres estaban en los Setenta, Cinco Árboles y Veinte- una Sociedad (21), Siete hijos reunidos durante medio mes, divididos por ciento cinco
El significado de este poema es: el resto se obtiene al dividir 3 entre 70, el resto se obtiene al dividir 5. entre 21, y el resto obtenido al dividir 7. El resto obtenido al dividir todo entre 105 es la respuesta
Según este algoritmo, podemos obtener:
Entonces, el más pequeño. La solución entera positiva al problema desconocido es, de hecho, 23 que realmente cumple con los requisitos de dividir entre 3 y 2, dividir entre 5 y 3 y dividir entre 7 y 2. La solución general a este problema es la siguiente. >
dónde está un número natural.
3 Teorema chino del resto
¿Cómo abordar este problema si es un caso general? Por ejemplo, si hay congruencia:
Descomponemos este problema en tres ecuaciones de congruencia
p>Entonces el problema inicial tiene la solución entera positiva más pequeña
Así que siempre que pueda encontrar la condición. , por ejemplo, de la fórmula de congruencia,
Por lo tanto
Entonces existe tal que
Por lo tanto
Su existencia se puede probar porque del siguiente teorema:
"
Si eso es correcto, debe haber algo que haga
Para la demostración de este teorema, podemos considerar el mínimo positivo entero en el conjunto, siempre y cuando se demuestre que este entero positivo más pequeño es 1.
Considere el entero positivo más pequeño, , porque es primo relativo, por lo que solo puede ser 1.
Esta cuestión se puede probar por contradicción: si es inseparable, debe ser separable.
Por lo tanto
Entonces, el resto también se puede expresar en forma de un número entero multiplicado por otro número entero, y como es menor que, esto contradice la suposición original de que es el más pequeño. entero positivo, así debe ser.
Por tanto, la existencia está probada.
De hecho, este tipo de problema no solo existe, sino que también es fácil de encontrar. 70 es el número entero positivo más pequeño que puede ser divisible por 5 y 7 al mismo tiempo y dividido por 3 con resto. de 1, por lo que se puede obtener usando el mismo método, por lo que existe una solución general para este tipo de problemas:
Resulta que los tres números 70, 21 y 15 en el poema antiguo arriba provienen de esto!
En general, dados números primos diferentes, la ecuación de congruencia
debe tener solución. Para resolver este problema, sólo necesitamos construir el sistema de solución básico:
Entonces los hay
Debido a que todos son números primos, su existencia es obvia.
El proceso y método para resolver los problemas anteriores se denominan "Teorema del resto chino" y "Teorema de Sun Tzu".
La difusión del teorema del resto chino fue difundida por primera vez en Europa en 1852 por el misionero británico en China, William Alexander. En 1874, el matemático británico Ma Xisen señaló que este método era consistente con el teorema general de soluciones congruentes obtenido por Gauss en 1801. Por lo tanto, en Occidente se le llamó "teorema chino del resto" y se convirtió en un teorema muy importante en la enseñanza elemental. teoría de números.