La teoría de la aproximación diofántica se basa en el teorema de Liouville sobre la aproximación algebraica de números, el cual se describe brevemente a continuación:
Teorema de Supongamos que el número irracional α es la raíz de un polinomio de. grado n con coeficientes enteros, Entonces hay una constante A gt 0, de modo que para dos números enteros cualesquiera p, q gt 0 siempre existe
Como se muestra en la esquina superior derecha
El teorema de Liouville se puede utilizar para construir directamente números trascendentales. Antes de esto, los matemáticos habían deducido muchas propiedades de aproximación sobre raíces cuadradas y otros números irracionales cuadráticos mediante fracciones continuas. Este resultado fue posteriormente mejorado por Axel Thue y otros, y condujo al teorema de Roth: reducir el exponente n en el teorema de Liouville del grado algebraico a un 2 ε arbitrario (donde εgt; 0 más tarde extendió esto a una aproximación sincrónica); Estas pruebas son bastante difíciles y no se puede obtener un límite superior claro, lo cual es una deficiencia importante en la aplicación. Después del teorema de Roth, los principales avances en la aproximación diofántica estuvieron relacionados con la teoría trascendental. La distribución uniforme está relacionada con la irregularidad de la distribución y, por tanto, tiene la naturaleza de combinatoria. Todavía quedan problemas sin resolver en la aproximación diofántica que son sencillos de enunciar, como la conjetura de Letwood.