Comenzar a cepillar: "Señales y Sistemas" Lec #10 Transformadas y series de Fourier en tiempo discreto

El libro de texto es la segunda edición de "Signals and Systems" de Oppenheim publicado por Electronic Industry Press, traducido por Liu Shutang.

Las lecciones en vídeo se pueden ver en los cursos abiertos de NetEase. Buscar señales y sistemas del MIT. El profesor es el autor del libro de texto.

p.133 - p.147

p.150 - p.152

p.155 - p.159

p .227 - p.236

Primero, demostramos que la señal exponencial compleja es la función característica del sistema LTI. Supongamos que la respuesta al impulso unitario del sistema LTI es entrada, luego la salida puede ser. obtenido por suma de convolución,

Sea, entonces

Se demuestra que es la función característica del sistema LTI discreto y es el valor característico.

En el análisis de Fourier sólo se considera el caso de, es decir, por lo que sólo se consideran funciones complejas de la forma.

Recuerde que al estudiar señales periódicas de tiempo discreto en el Capítulo 1, una diferencia muy importante con respecto a las señales periódicas de tiempo continuo es que solo hay una señal periódica que tiene una relación armónica, porque la diferencia en frecuencia es ¡Un múltiplo entero de señales exponenciales complejas de tiempo discreto son exactamente iguales! Entonces esto significa que la serie de Fourier de una señal periódica de tiempo discreto es una serie de términos finitos.

Defina una señal periódica de tiempo discreto.

El período de onda fundamental es el entero positivo más pequeño que hace que la fórmula anterior sea verdadera, y la frecuencia de onda fundamental es. En el análisis de Fourier, utilizamos una función exponencial compleja, que es una señal periódica de tiempo discreto típica. La siguiente fórmula define una señal exponencial compleja con una relación armónica. Todas son periódicas y sus frecuencias fundamentales son todas múltiplos de

Porque para las funciones armónicas, la diferencia de frecuencia es un número entero cuando durante la suma. el límite de suma es, que puede ser de 0 a 1, o cualquier otro número entero consecutivo.

Para una señal periódica como una exponencial compleja, las variables independientes se suman dentro de un período.

Observe cuidadosamente la fórmula de suma anterior. En ese momento, es una constante 1. En esta vez, el resultado de la suma es; y cuando se toman otros valores, es una señal periódica con un período de, entonces el resultado de la suma es 0 dentro del período.

Basándonos en la derivación anterior, encontremos ahora una manera de encontrar los coeficientes de la serie de Fourier. Reescribe la siguiente expresión de la serie de Fourier,

Primero, multiplica los lados izquierdo y derecho al mismo tiempo,

Luego suma las variables independientes dentro,

Intercambiando el orden de suma en el lado derecho del signo igual en la ecuación anterior, podemos obtener,

Si no comprende el cambio en el orden de suma anterior, puede expandir la suma de una manera estúpida y encuentre que el cambio en el orden de la suma no afecta el resultado de la suma. Mi entendimiento es encontrar la suma de los elementos de la matriz de una fila y una columna. Puede sumarlos horizontal o verticalmente o puede usar un bucle for en el programa para encontrar la suma de una matriz de segundo orden. para j, o puede hacerlo para j contiene para i, este orden de suma no afecta el resultado de la suma.

Volviendo a la ecuación anterior, hay una suma en el lado derecho del signo igual

En ese momento (o un múltiplo entero de la diferencia, seré simple y no riguroso aquí), esta suma El resultado es igual a si, el resultado de la suma es 0.

Entonces puedes escribir la siguiente fórmula,

De esta forma se pueden calcular los coeficientes de la serie de Fourier de la señal periódica de tiempo discreto,

Recordemos la continua período de tiempo La solución a los coeficientes de la serie de Fourier de la señal es exactamente la misma que la idea aquí. Aprovecha la propiedad de que el resultado de la suma de una señal periódica con un valor de CC de 0 dentro del período es igual a 0.

Además, excepto que la expresión de la serie de Fourier es una serie de términos finitos, a diferencia del tiempo continuo, porque

Entonces,

Es decir, digamos, el valor de es que el ciclo se repite.

Dado que la expresión de la serie de Fourier es una serie de términos finitos, no hay problema de convergencia en la serie de Fourier de señales periódicas de tiempo discreto y no existe el fenómeno de Gibbs.

La suma anterior es convolución periódica.

Al inicio de esta nota, definimos,

donde es la respuesta al impulso unitario del sistema LTI. se llama función del sistema, y ​​la función del sistema que está limitada a la forma se llama respuesta de frecuencia del sistema.

Sea la entrada del sistema LTI una señal periódica y su serie de Fourier se expresa como,

El resultado es:

Considere una secuencia, con duración finita, es decir, para suma de números enteros, fuera del rango de . Se puede formar una secuencia periódica a partir de esta señal no periódica, de modo que para , es un período de la misma. A medida que aumenta el período de, se vuelve igual a en un intervalo de tiempo más largo, y cuando , .

Escribe la expresión en serie de Fourier de la señal periódica,

Como está en el intervalo, se puede escribir como,

Y como fuera del intervalo, lo hay, entonces

Ahora define la función

Luego

donde representa el intervalo de muestra en el dominio de la frecuencia. Sustitúyalo nuevamente en la fórmula integral de la serie de Fourier,

Y porque,

A medida que la suma en la fórmula anterior evoluciona hacia una integral, el ancho integral es, porque La suma está hecha sobre un intervalo de ancho, por lo que el ancho de integración es.

La fórmula anterior es la transformada de Fourier en tiempo discreto.

En tiempo discreto, dado que las señales exponenciales complejas con diferentes frecuencias son exactamente iguales,

Si son absolutamente integrables, es decir,

o la la energía es limitada, es decir,

entonces la transformada de Fourier es convergente.

Para fórmulas integrales, debido a que el intervalo de integración es limitado, generalmente no hay problema de convergencia y no habrá fenómeno de Gibbs.

Al igual que el tiempo continuo, al expresar la transformación de una señal periódica como un tren de impulsos en el dominio de la frecuencia, la señal periódica de tiempo discreto también puede incluirse en el marco de la transformada de Fourier. Considere la siguiente señal,

Cuando estudiamos la transformada de Fourier de una señal periódica de tiempo continuo, sabemos que la transformada de Fourier de es un impulso que ocurre en . Entonces esperamos los mismos resultados en tiempo discreto. Sin embargo, la transformada de Fourier en tiempo discreto debe ser periódica para un par, con un período de La transformada de Fourier inversa de p> Esto prueba

Ahora consideramos una secuencia periódica con período y su serie de Fourier es

Entonces podemos escribir la transformada de Fourier