A qué subcampo de las matemáticas pertenecen los números ordinales
Teoría ordinal
La teoría ordinal es una rama de las matemáticas que utiliza relaciones binarias (como mayor que, mejor que) para estudiar el concepto intuitivo de orden. Proporciona un marco formal para describir afirmaciones como "esto es menor que" o "esto es antes". Este artículo presenta este campo de investigación y proporciona definiciones básicas. Puede encontrar una lista de términos de teoría ordinal en el Glosario de teoría ordinal.
En matemáticas y campos relacionados como la informática, el concepto de orden es omnipresente. El primer orden que a menudo se discute es el orden estándar de los números naturales que se aprenden en la escuela primaria, como "2 es mayor que 3", "10 es mayor que 5" o "¿Tengo más galletas que tú?". Este concepto intuitivo se puede extender a órdenes de otros conjuntos de números, como los números enteros y reales. La idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas numéricos (en comparación con los sistemas de notación) (aunque normalmente uno está interesado en la diferencia real de dos números, que no viene dada por el orden) . Otros ejemplos familiares de ordenamiento son el orden alfabético en un diccionario y la antigüedad en una familia.
El concepto de números ordinales es muy general y va más allá de tener un sentido directo e intuitivo de secuencia o cantidad relativa. En otros casos, los números ordinales pueden capturar conceptos de contención o especialización. De manera abstracta, este tipo de ordenamiento equivale a relaciones de subconjunto, como "un pediatra es un médico" y "un círculo es sólo un caso especial de una elipse".
Algunos órdenes, como "menor que" para los números naturales literales y el orden alfabético, tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento, es decir, es más pequeño (antes) que más grande. Consideremos, por ejemplo, el orden de los subconjuntos en el conjunto de conjuntos: aunque el conjunto de aves y el conjunto de perros son ambos subconjuntos del conjunto de animales, ni los pájaros ni los perros forman un subconjunto del otro. Aquellos números ordinales que se asemejan a una relación de "subconjunto" en la que hay elementos incomparables se denominan números ordinales parciales en los que cada par de elementos son comparables son números ordinales perfectos.
La teoría ordinal captura las intuiciones sobre los números ordinales que surgen de estos ejemplos en condiciones generales. Esto se logra especificando propiedades de que las relaciones, como "≤", deben ser números ordinales matemáticos. Este enfoque más abstracto tiene sentido porque se pueden derivar muchos teoremas en un entorno general sin centrarse en los detalles de ningún orden particular. Estos conocimientos pueden luego transferirse fácilmente a muchas aplicaciones menos abstractas.
Impulsados por el uso práctico generalizado de los números ordinales, se han definido muchos tipos especiales de conjuntos ordinales, algunos de los cuales se han convertido en áreas propias de las matemáticas. Además, la teoría ordinal no se limita a varios tipos de relaciones de ordenamiento, sino que considera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo sencillo de las propiedades teóricas ordinales de las funciones proviene del análisis donde a menudo se encuentran funciones monótonas.