Demostración del teorema del ángulo de Zhang
La demostración del teorema del ángulo de apertura es la siguiente:
El teorema del ángulo de apertura, también conocido como teorema de la desviación del haz, es uno de los teoremas básicos en óptica. Este teorema describe la ley de desviación de la luz al pasar a través de la interfaz de dos medios planos. La siguiente es una prueba del teorema del ángulo de apertura.
1. Introducción al problema
Supongamos que hay dos medios planos en contacto A y B, donde el índice de refracción del medio A es n y el índice de refracción del medio B es n. ?. Ahora considere la situación en la que la luz del medio A con un ángulo de incidencia θ ingresa al medio B a través de la interfaz del medio y forma un ángulo de refracción θ? Deseamos demostrar que cuando los rayos de luz pasan de un medio a otro, siguen una ley de refracción específica.
2. Análisis de diferencia de caminos ópticos
Considerando los caminos de propagación de la luz en dos medios, podemos considerarlo como una propagación en la línea recta ACDB. Supongamos que la distancia de propagación de la luz en el medio A es s? y la distancia de propagación de la luz en el medio B es s?.
Dado que AB es una interfaz plana, la velocidad de propagación de la luz en el medio A y en el medio B son v? y v? respectivamente, y v?/v?=n?/n? índice de refracción). De acuerdo con la relación de que el tiempo es igual a la velocidad por el tiempo, podemos obtener: s?/v?=s?/v?.
3.Principio de Fermat
Según el principio de Fermat, en la trayectoria de propagación de la luz desde el punto A al punto B, la trayectoria óptica real tiene la propiedad mínima. En otras palabras, el camino de la luz sigue el principio del camino óptico más corto.
4. La diferencia de ruta óptica es la más pequeña
Exprese la ruta óptica como s=s? s?, combinada con los resultados de la derivación en el paso 2, podemos obtener s=n. ?s?n ?s?. Según el principio de Fermat, cuando el camino óptico es mínimo, la variación del camino óptico con respecto al camino debe ser cero. Es decir, δs=δ(n?s? n?s?)=0. Para cualquier variación δs? y δs?, tenemos δs=n?δs?
5. Análisis de la dirección normal
Considere la dirección normal en un determinado punto P de la interfaz. Supongamos que el ángulo de incidencia de la luz es θ y el ángulo de refracción es θ?. Se puede ver a partir de la relación geométrica que el ángulo entre la superficie de refracción de la luz y la línea normal es (90 ° -θ?), y el ángulo entre la superficie de refracción de la luz y la línea normal es (90 °-θ?).
La dirección de propagación de la luz es coherente con la normal a la superficie incidente y a la superficie refractiva. Según la relación geométrica, podemos obtener: el ángulo entre δs? y la dirección normal en el punto P es θ?, y el ángulo entre δs y la dirección normal en el punto P es θ?.