Educación matemática por Vladimir Arnold

Arnold no es sólo el creador de las matemáticas, sino también el creador de los matemáticos. Es el vínculo entre la Unión Soviética y la escuela rusa de matemáticas. Creía que las matemáticas eran parte de la física y que la esencia de la física era la geometría. Su famoso libro "Métodos matemáticos de la mecánica clásica" utilizó el marco de la geometría simpléctica para transformar la mecánica clásica. Este libro ha sido llamado la "Biblia de la Mecánica Geométrica". En matemáticas, defiende los métodos de pensamiento geométrico y físico, pero odia las matemáticas axiomáticas y formales y la educación matemática. Cree que este tipo de matemáticas corta la conexión con el mundo físico y elimina todos los sentimientos intuitivos, lo cual es feo. Este tipo de matemáticos son los monstruos que quedan. Este tipo de educación matemática tortura a los niños y es un crimen.

De hecho, siempre ha habido dos tradiciones en matemáticas. La geometría y el álgebra representan respectivamente su espíritu básico. Como dijo el ganador de la Medalla Fields, Michael Atiyah, desde los tiempos modernos, el grupo Newton-Poincaré-Arnold, que enfatiza el espíritu de la física y la geometría, se llama la escuela del intuicionismo matemático con Leibniz. La escuela Zhilbert-Bourbaki es una serie, que enfatiza la Espíritu axiomático y formal. Los altibajos entre los dos son la norma en la historia de las matemáticas. Las anomalías son menores y graves, y todas son causadas por la situación actual. Esto incluso se remonta a la geometría de los antiguos griegos y al álgebra de los antiguos indios y árabes. En cualquier caso, Arnold se convirtió en la encarnación de ese espíritu en la tradición matemática a la que pertenecía.

El siguiente contenido es del texto original de Arnold, que puede reflejar algunas de sus opiniones intuicionistas matemáticas sobre la educación matemática.

Las matemáticas son parte de la física. La física es una ciencia experimental y forma parte de las ciencias naturales. Las matemáticas son esa parte de la física donde la experimentación es barata. Por ejemplo, la identidad de Jacobi (que garantiza que las tres elevaciones de un triángulo se cruzan en un punto) es un hecho experimental, al igual que el hecho de que la Tierra es redonda (es decir, homeomorfa a una esfera). Pero descubrir lo primero requiere menos esfuerzo que descubrir lo segundo.

A mediados del siglo XX, se intentó distinguir estrictamente la física de las matemáticas. Las consecuencias son desastrosas. Toda una generación de matemáticos creció ignorante de la otra mitad de su propia ciencia y, ciertamente, de las demás ciencias. Estas personas comenzaron nuevamente a enseñar sus feas pseudomatemáticas académicas a sus estudiantes, y luego estas feas pseudomatemáticas fueron entregadas a niños de escuelas primarias y secundarias (quienes olvidaron por completo la advertencia de Hardy: Matemáticas feas en el sol Puede que no siempre haya una escondite).

Dado que las matemáticas académicas extraídas artificialmente de la física no son útiles para la enseñanza ni para otras ciencias, es concebible que personas en todo el mundo odien a los matemáticos (incluso incluyendo a los pobres niños de las escuelas a quienes enseñan y a las personas que usan estas feas matemáticas). Estos matemáticos deficientes están agotados por el síndrome estúpido que padecen y no pueden tener una comprensión básica de la física. Uno de los feos edificios que construyeron y que se recuerda con cariño es la "teoría estrictamente axiomática de los números impares".

Obviamente, es posible crear una teoría que dejaría a los escolares ingenuos asombrados por su perfección y la armonía de su estructura interna (por ejemplo, una teoría que define la suma de un número impar de términos y producto de cualquier número de factores). Desde esta perspectiva paranoica y estrecha de miras, los números pares se consideraban una "herejía" o, con el tiempo, se utilizaban para complementar varios objetos "ideales" en la teoría (para cumplir con las necesidades de la física y del mundo real). ). Desafortunadamente, esta teoría es sólo una construcción fea y pervertida en matemáticas, pero ha dominado nuestra educación matemática durante décadas. Se originó por primera vez en Francia, y esta tendencia maligna pronto se extendió a la enseñanza de matemáticas básicas, primero envenenando a los estudiantes universitarios, y luego los estudiantes de primaria y secundaria se vieron inevitablemente afectados (la zona del desastre fue Francia primero, y luego otros países, incluida Rusia). .

Si le preguntas a un alumno de primaria francés: "¿A cuánto es igual 2+3?", te responderá: "Es igual a 3+2, porque la operación de suma es conmutativa". ¡Él (ella) no tiene idea de cuánto equivale la suma y ni siquiera puede entender lo que le estás preguntando!

Algunos alumnos de primaria franceses definirán las matemáticas de esta manera (al menos creo que es muy probable): "Hay un cuadrado, pero no ha sido demostrado".

Según mi experiencia docente en Francia, los estudiantes de las universidades tienen una comprensión de las matemáticas similar a la de los estudiantes de primaria (incluso aquellos estudiantes que estudian matemáticas en la 'Ecole Normale Supérieure' (ENS) - Me siento extremadamente perdón por estos niños aparentemente inteligentes pero profundamente envenenados).

Por ejemplo, estos estudiantes nunca habían visto un paraboloide, y un problema que describe la forma de una superficie dada por la ecuación. Los estudiantes estuvieron aturdidos durante mucho tiempo y el siguiente problema: dibujar una curva; en el plano dado por una ecuación paramétrica (como x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2) es imposible de completar para los estudiantes (incluso para la mayoría de los profesores de matemáticas franceses). Desde los libros de texto de introducción al cálculo hasta los libros de texto escritos por Goursat, la capacidad de resolver estos problemas se considera una habilidad básica que todo matemático debería poseer.

Los entusiastas de las llamadas "matemáticas abstractas", a quienes les gusta desafiar el cerebro, excluyen de la enseñanza toda geometría que a menudo pueda estar relacionada con la física y la realidad en matemáticas. Los tutoriales de cálculo escritos por Goursat, Hermite, Picard y otros fueron considerados dañinos y casi fueron tirados como basura en las bibliotecas de las Universidades de París 6 y 7, pero sólo se salvaron gracias a mi intervención.

Los alumnos de la ENS que han realizado todos los cursos de geometría diferencial y geometría algebraica (impartidos por diferentes tutores de matemáticas) no están familiarizados con la ecuación determinada por la curva elíptica y^2 = x^3 + ax + b Superficies de Riemann, ni la clasificación topológica de superficies (y mucho menos las propiedades de grupo de integrales elípticas de primer tipo y curvas elípticas, es decir, el teorema de la suma de Euler-Abel). ¡Solo aprendieron estructuras de Hodge y grupos de Jacobi!

¡Un fenómeno así ocurre realmente en Francia! ¡Este país ha contribuido al mundo con grandes figuras como Lagrange, Laplace, Cauchy y Poincaré, Leray y Thom! Para mí, una explicación razonable proviene de I.G. Petrovskii, quien me enseñó en 1966: los verdaderos matemáticos nunca forman pandillas, sólo los débiles se unen a ellas para sobrevivir. Pueden conectar muchos aspectos

pero su esencia es siempre resolver problemas de supervivencia social.

Me gustaría mencionar a todos el consejo de L. Pasteur: nunca ha habido ni habrá la llamada "ciencia aplicada", sino sólo la aplicación de la ciencia (¡algo muy útil! )

Durante mucho tiempo he tenido dudas sobre las palabras de Petrovskii, pero ahora estoy cada vez más seguro de que tiene razón. Una parte considerable de esas actividades súper abstractas están degenerando en un saqueo desvergonzado de los logros de aquellos descubridores de manera industrializada, para luego organizarlos y diseñarlos sistemáticamente para convertirlos en promotores universales. Así como el Nuevo Mundo en el que se encuentra América no lleva el nombre de Colón, los resultados matemáticos casi nunca llevan el nombre de su descubridor real.

Para evitar que piensen que estoy diciendo tonterías, debo decir aquí que algunos de mis propios logros han sido expropiados de la manera mencionada anteriormente por razones inexplicables. A menudo les sucede a mis profesores (Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin) y a mis alumnos.

El profesor M. Berry propuso una vez los dos principios siguientes:

Principio de Arnold: si el nombre de una persona aparece en una idea, el nombre no debe pertenecer a la persona que descubrió la idea. nombre.

Principio de Berry: El Principio de Arnold se aplica a sí mismo.

Sin embargo, volvamos a la educación matemática francesa. Cuando era estudiante de primer año en el Departamento de Matemáticas y Mecánica de la Universidad Estatal de Moscú, el topólogo de teoría de conjuntos L.A. Tumarkin nos enseñó cálculo. Nos contó cuidadosamente la antigua y clásica versión Goursat del tutorial de cálculo francés una y otra vez. Nos dijo que la integral de una función racional a lo largo de una curva algebraica se puede encontrar si la superficie de Riemann correspondiente a la curva algebraica es una esfera.

En general, si el género de la superficie es mayor, no se obtendrá dicha integral. Sin embargo, para la esfera, es suficiente siempre que haya suficientes puntos dobles en la curva de un grado dado (es decir, la curva). Se requiere que sea unicursal: es decir, el punto real se puede dibujar de un solo trazo en el plano proyectivo).

Qué profunda impresión nos causan estos hechos (incluso si no se dan pruebas). Nos dan ideas muy hermosas y correctas de las matemáticas modernas, que son mejores que aquellos largos y dilatados tratados de la escuela Bourbaki. . Sé lo bueno que es. En serio, aquí vemos una conexión sorprendente entre cosas aparentemente dispares: por un lado, hay expresiones explícitas para las integrales y la topología de las superficies de Riemann correspondientes. Por un lado, también hay una conexión importante entre el número de puntos dobles; y el género de la superficie de Riemann correspondiente.

Estos ejemplos no son infrecuentes. Como señaló una vez Jacobi, una de las propiedades más fascinantes de las matemáticas: utilizando la misma función, se pueden comprender las propiedades de los números enteros que se pueden expresar como la suma de los cuadrados. de cuatro números. También puede describir el movimiento de un péndulo.

El descubrimiento de la conexión entre estos diferentes tipos de objetos matemáticos es como el descubrimiento de la conexión entre la electricidad y el magnetismo en la física, y es similar al descubrimiento de la conexión entre la costa este del continente americano. y el continente africano en geología. El descubrimiento de similitudes entre la costa occidental.

La apasionante importancia de estos hallazgos para la enseñanza es inconmensurable. Son ellos los que nos guían a estudiar y descubrir los fenómenos armoniosos y maravillosos del universo.

Sin embargo, la desgeometría de la educación matemática y su separación de la física han roto esta conexión. Por ejemplo, no sólo los estudiantes de matemáticas sino también la mayoría de los geómetras algebraicos ignoran el siguiente hecho de Jacobi: una integral elíptica del primer tipo expresa el correspondiente sistema hamiltoniano a lo largo de una fase elíptica: el tiempo que tarda el movimiento de la curva.

Sabemos que una hipocicloide es infinita al igual que un ideal en un anillo polinómico. Pero enseñar el concepto de ideales a un estudiante que nunca ha visto una hipocicloide es como enseñar la suma de fracciones a un estudiante que nunca ha cortado un pastel o una manzana en partes iguales (al menos mentalmente). No hay duda de que los niños se sentirán inclinados a sumar numerador más denominador más denominador al mismo tiempo.

Escuché de mis amigos franceses que este tipo de generalización súper abstracta es una característica tradicional de su país. No estoy en desacuerdo con la sugerencia de que esto puede ser un defecto hereditario, pero me gustaría enfatizar el hecho de que el pastel y las manzanas fueron tomados prestados de Poincaré.

La forma en que se construyen las teorías matemáticas no es diferente a la de otras ciencias naturales. Primero, consideraremos algunos objetos y observaremos algunos casos especiales. Luego intentamos encontrar algunas limitaciones en la aplicación de nuestros resultados observados, es decir, buscar contraejemplos que nos impidan extender incorrectamente nuestros resultados observados a un campo más amplio. Como resultado, declaramos lo más explícitamente posible hallazgos empíricos (como la conjetura de Fermat y la conjetura de Poincaré). A esto le seguirá la difícil fase de comprobar qué tan fiables son realmente nuestras conclusiones.

En este sentido, la comunidad matemática ha desarrollado un conjunto especial de técnicas. Esta técnica, cuando se aplica al mundo real, a veces resulta útil, pero también puede conducir al autoengaño. Estas técnicas se denominan "modelado". Al construir un modelo, se hace la siguiente idealización: ciertos hechos que sólo pueden conocerse con cierta probabilidad o cierta precisión a menudo se consideran "absolutamente" verdaderos y se aceptan como "axiomas". Esta "absolución" significa precisamente que, al llamar teoremas a todas las conclusiones que podemos sacar de estos hechos, nos permitimos aplicar estos "hechos" de acuerdo con las reglas de la lógica formal.

Obviamente, en cualquier vida diaria real, es imposible que nuestras actividades dependan exclusivamente de tales reducciones. La razón es al menos que los parámetros del fenómeno en estudio nunca pueden conocerse con absoluta precisión, y pequeños cambios en los parámetros (como pequeños cambios en las condiciones iniciales de un proceso) pueden cambiar completamente los resultados. Por esta razón podemos decir que cualquier pronóstico meteorológico a largo plazo es imposible, por muy sofisticados que hagamos nuestros ordenadores o por muy sensibles que sean nuestros instrumentos para registrar las condiciones iniciales, nunca será posible.

Exactamente de la misma manera, aunque se permite un pequeño cambio en los axiomas (aquellos de los cuales no estamos completamente seguros), en general los teoremas derivados de los axiomas aceptados conducirán a conclusiones completamente diferentes. Cuanto más larga y compleja sea la cadena de derivación (la llamada "prueba"), menos fiable será la conclusión final. Los modelos complejos son casi inútiles (excepto para los aburridos redactores de artículos).

Las técnicas de modelado matemático no saben nada de este problema y continúan alardeando de los modelos que han obtenido, como si realmente coincidieran con el mundo real. De hecho, desde el punto de vista de las ciencias naturales, este enfoque es obviamente incorrecto, pero a menudo conduce a muchos resultados físicamente útiles llamados "matemáticas con una validez increíble" (o "principio de Wigner").

Me gustaría mencionar nuevamente lo que dijo el Sr. Gelfond: Hay otro tipo de fenómeno que tiene una efectividad increíble similar a las matemáticas en física mencionadas por Wigner anteriormente, es decir, en biología. La matemática utilizada es igualmente increíblemente eficaz.

Para un físico, "los sutiles efectos venenosos causados ​​por la educación matemática" (palabras originales de F. Klein) se reflejan precisamente en los modelos absolutos extraídos del mundo real y ya no se corresponden con la realidad. Aquí hay un ejemplo simple: las matemáticas nos dicen que la solución de la ecuación de Malthus dx/dt = x está determinada únicamente por las condiciones iniciales (es decir, las curvas integrales correspondientes en el plano (t-x) no se cruzan entre sí). Las conclusiones de este modelo matemático parecen no tener relevancia para el mundo real. Las simulaciones por computadora muestran que todas estas curvas integrales tienen puntos comunes en el semieje negativo de t. De hecho, las curvas con las condiciones iniciales x(0) = 0 y x(0) = 1 se cruzan en t=-100. De hecho, en t=-100, no se puede insertar otro átomo entre las dos curvas. La geometría euclidiana no tiene descripción de las propiedades de este espacio a distancias pequeñas. La aplicación del teorema de unicidad en este caso obviamente va más allá de la precisión permitida por el modelo. En la aplicación real del modelo, se debe prestar atención a esta situación, de lo contrario puede causar graves problemas.

Lo que también quiero decir es que el mismo teorema de unicidad también puede explicar por qué la etapa de atraque antes de que atraque el barco debe depender de la operación manual: de lo contrario, si la velocidad de viaje es la suavidad de la distancia (lineal ), todo el proceso de acoplamiento tomará un tiempo infinito. Otro método factible es chocar con el muelle (por supuesto, debe haber objetos elásticos no ideales entre el barco y el muelle para crear un amortiguador). Por cierto, debemos prestar mucha atención a problemas como el aterrizaje en la Luna y Marte y el acoplamiento de una estación espacial; aquí el problema de la unicidad nos causará dolores de cabeza.

Desafortunadamente, en los libros de texto de matemáticas modernos, incluso en los mejores, no hay ningún ejemplo o discusión de los peligros ocultos en este admirable teorema. Incluso me he formado la impresión de que los matemáticos académicos (que no saben nada de física) están acostumbrados a las grandes diferencias entre las formas axiomáticas de las matemáticas y los modelos, y consideran que esto es muy común en las ciencias naturales. Sólo se necesitan experimentos posteriores para controlarlas. La deducción teórica.

Creo que no es necesario mencionar las características relativas de los axiomas iniciales, y la gente no olvidará que es inevitable cometer errores lógicos en discusiones largas (como cálculos causados ​​por rayos cósmicos o vibraciones cuánticas). colapsar). Todo matemático en activo sabe que si no se controla (preferiblemente usando ejemplos), la mitad de las anotaciones en todas las fórmulas serán incorrectas después de 10 páginas de discusión.

Las técnicas para combatir tales falacias también existen en cualquier ciencia experimental y deberían enseñarse a todos los estudiantes universitarios.

El intento de crear las llamadas matemáticas axiomáticas puramente deductivas hace que ya no utilicemos los métodos de investigación en física (observación - modelización - estudio de modelos - sacar conclusiones - utilizando más modelo de observación y prueba) se sustituye por este método: definición-teorema-prueba. Es imposible entender una definición sin motivación, pero no hay nada que podamos hacer para detener a estos culpables "algebraicos-axiomáticos". Por ejemplo, siempre quieren utilizar la regla larga de la multiplicación para definir el producto de números naturales. Sin embargo, es difícil demostrar la conmutatividad de la multiplicación de esta manera, pero aún es posible derivar dicho teorema a partir de un conjunto de axiomas.

Y es completamente posible obligar a esos estudiantes pobres a aprender este teorema y su demostración (el propósito no es más que mejorar el estatus social de esta materia y de las personas que la enseñan). Evidentemente, este tipo de definiciones y este tipo de pruebas son perjudiciales para la enseñanza y el trabajo práctico, pero no son útiles.

La única forma posible de entender la conmutatividad de la multiplicación es utilizar una analogía para contar el número de soldados en un conjunto cuadrado en orden de filas y columnas, o calcular el área de un rectángulo en dos maneras. Cualquier intento de hacer matemáticas sin abordar la física y el mundo real es sectario y aislacionista, y ciertamente destruirá la buena impresión de la creación matemática como una actividad humana útil a los ojos de todas las personas sensibles.

Revelaré algunos de estos secretos más (los estudiantes pobres estarán interesados ​​en esto).

El determinante de una matriz es el volumen (orientado) de un poliedro paralelo, y cada arista de este poliedro corresponde a una columna de la matriz. Si los estudiantes aprendieran este secreto (que se oculta cuidadosamente en la educación puramente algebraica), toda la teoría de los determinantes pasaría a formar parte de la teoría de las formas polilineales. Si los determinantes se definieran de otra manera, cualquier persona sensible odiaría para siempre tonterías como los determinantes, las fórmulas de Jacobi y los teoremas de funciones implícitas.

¿Qué es un grupo? Los algebristas lo enseñan de esta manera: es un conjunto de hipótesis con dos operaciones que satisfacen un conjunto de axiomas fáciles de olvidar. Esta definición fácilmente provoca una protesta natural: ¿Por qué una persona sensible necesitaría este par de operaciones? "Oh, vete al diablo con este tipo de matemáticas": esta es la reacción del estudiante (probablemente en el futuro se convertirá en un hombre fuerte en la ciencia).

Si nuestro punto de partida no es un grupo sino el concepto de transformación (un mapeo 1-1 de un conjunto respecto de sí mismo), entonces definitivamente obtendremos una situación diferente, que se parecerá más al desarrollo histórico. El conjunto de todas las transformaciones se denomina grupo en el que la composición de dos transformaciones cualesquiera permanece dentro de este conjunto y también lo hace la inversa de cada transformación.

Esta es la clave de la definición. Los llamados "axiomas" en realidad no son más que propiedades obvias de los grupos de transformación. Lo que los defensores de la axiomática llaman "grupos abstractos" son simplemente grupos de transformación de diferentes conjuntos en el sentido de permitir el isomorfismo de diferencias (preservando el mapeo 1-1 de operaciones). Como demostró Cayley, no hay grupos "más abstractos" en el mundo. Entonces, ¿por qué los algebraistas siguen torturando a sus sufridos estudiantes con definiciones abstractas?

Por cierto, en la década de 1960 enseñé teoría de grupos a estudiantes de primaria y secundaria en Moscú. Evité cualquier axioma y mantuve el contenido lo más cerca posible de la física. En medio año les enseñé el teorema de Abel sobre la insolubilidad de las ecuaciones quinticas generales (de la misma manera, también enseñé a estudiantes de primaria sobre números complejos, superficies de Li Mann). , grupos fundamentales y grupos monodromía de funciones algebraicas). El contenido de este curso fue organizado y publicado posteriormente por uno de mis oyentes, V. Alekseev, titulado El teorema de Abel en problemas.

¿Qué es una variedad suave? Aprendí por un libro americano que Poincaré no conocía bien este concepto (aunque lo introdujo), y que la llamada definición "moderna" no fue dada hasta la década de 1920 por Veblen: una variedad es un espacio topológico que satisface una larga lista de axiomas.

¿De qué son culpables los estudiantes de tener que sufrir estos axiomas retorcidos y deformados para comprender este concepto? De hecho, en la obra original de Poincaré "Analysis Situs" (Analysis Situs), hay una definición absolutamente clara de variedad suave, que es mucho más útil que esta cosa abstracta.

Una subvariedad suave de k dimensiones en un espacio euclidiano R^N es un subconjunto tal que una vecindad de cada punto es suave desde R^k hasta R^(N-k) La imagen del mapa ( donde R^k y R^(N - k) son subespacios de coordenadas). Esta definición es una generalización directa de la mayoría de las curvas suaves habituales en el plano (como un toro x^2 + y^2 = 1) o curvas y superficies en el espacio tridimensional.

Las asignaciones suaves entre variedades suaves se definen de forma natural. El llamado difeomorfismo es un mapeo suave y su inverso también lo es.

La denominada variedad suave "abstracta" es una subvariedad suave en el espacio euclidiano que permite una diferencia de un homeomorfismo diferencial. No existe en el mundo una variedad suave de dimensión finita llamada "más abstracta" (teorema de Whitney). ¿Por qué siempre torturamos a los estudiantes con definiciones abstractas? ¿No sería mejor mostrar a los estudiantes la prueba del teorema de clasificación para variedades (superficies) bidimensionales cerradas? Es precisamente este maravilloso teorema (es decir, cualquier superficie orientable conectada de forma compacta es una esfera más una serie de asas en forma de anillo) el que nos da una impresión correcta de lo que son las matemáticas modernas. Por el contrario, los de La generalización súper abstracta de. Las subvariedades simples del espacio euclidiano en realidad no aportan nada nuevo. Solo se utilizan para mostrar los malos logros de esos estudiosos axiomáticos.

El teorema de clasificación de superficies curvas es un logro matemático de primer nivel, comparable al descubrimiento del continente americano o de los rayos X. Este es un verdadero descubrimiento en la ciencia matemática y es difícil decir si el hecho en sí ha hecho una mayor contribución a la física o a las matemáticas. Su extraordinaria importancia para las aplicaciones y el desarrollo de una visión correcta del mundo supera actualmente a otros "logros" en matemáticas, como la demostración del último teorema de Fermat y el hecho de que cualquier número entero suficientemente grande se puede expresar como tres números primos y esta prueba de hecho. Para ganar protagonismo, los matemáticos contemporáneos a veces muestran algunos logros de "deporte y estilo" y afirman que son los últimos problemas difíciles en su disciplina. Es concebible que tal enfoque no solo no contribuya a la apreciación de las matemáticas por parte de la sociedad, sino que, por el contrario, haga que la gente dude si es necesario gastar energía en una práctica de problema de striptease tan inútil (como la escalada en roca).

El teorema de clasificación de superficies debería incluirse en los cursos de matemáticas de la escuela secundaria (sin demostración), pero por alguna razón no se puede encontrar ni siquiera en los cursos de matemáticas de la universidad (por cierto, en Francia en las últimas décadas es dijo que algunos cursos de geometría están prohibidos).

En todos los niveles, la transformación de la educación matemática de un carácter académico a uno que exprese la importancia de las ciencias naturales es un tema extremadamente candente para Francia. Lo que me llama la atención es que los mejores y más importantes libros de matemáticas, bien organizados, son casi desconocidos para los estudiantes de aquí (y, que yo sepa, todavía no han sido traducidos al francés). Estos libros incluyen "Números y figuras" de Rademacher y Tö; "plitz, Geometría y la imaginación" de Hilbert y Cohn-Vossen; "¿Qué son las matemáticas?" " y "Matemáticas y razonamiento plausible"; "Desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX" escrito por F. Klein.

Recuerdo claramente la fuerte impresión que me dejó en la escuela el tutorial de cálculo de Hermite (disponible en traducción al ruso). Recuerdo que las superficies de Riemann aparecieron en uno de los primeros apuntes (por supuesto, todo el contenido del análisis es para variables complejas, como debe ser). El contenido de la asintótica integral se estudia mediante el método de deformación de la carretera en superficies de Riemann (hoy llamamos a este método teoría de Picard-Lefschetz; por cierto, Picard es el yerno de Hermite; las habilidades matemáticas a menudo las heredan los yernos). -ley: La dinastía Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch es otro ejemplo de este tipo en la Academia de Ciencias de París).

Los llamados tutoriales "obsoletos" escritos por Hermite hace más de cien años (y quizás hace mucho tiempo tirados a la basura en las bibliotecas de estudiantes de las universidades francesas) son en realidad más difíciles de leer que aquellos que atormentan estudiantes de hoy. El libro de texto de cálculo más aburrido jamás se ha modernizado.

Si los matemáticos no despiertan, todavía será necesaria una teoría matemática moderna (en el sentido más positivo), y al mismo tiempo serán inmunes a características axiomáticas inútiles (estas son las características de cualquier persona perceptiva). ) los consumidores no dudarán en expulsar de estas escuelas a los pedantes con poca educación.

Si un profesor de matemáticas no domina al menos algunos volúmenes de los libros de texto de física de Landau y Lifshitz, se convertirá en un raro superviviente en el campo de las matemáticas, al igual que una persona que todavía no domina Alguien ¿Quién sabe la diferencia entre conjuntos abiertos y cerrados?