Determinación del factor de intensidad del estrés
Para las áreas de punta de grietas de tipo I, II y III, los componentes de la tensión se pueden escribir de manera uniforme en la forma de la ecuación (2-20):
Fractura y daño de la roca
En la fórmula: fij (θ) es la función de distribución del ángulo polar θ, que se denomina función de distribución angular, Km representa la fuerza del campo de tensiones en el área cercana a la punta de la grieta, donde m= Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ son KⅠ, KⅡ y KⅢ, respectivamente. Representa la fuerza del campo de tensión en la punta de las grietas de tipo I, II y III y se denomina factor de intensidad de tensión (factor K). se define de la siguiente manera:
Fractura y daño de la roca
donde La variable ξ se muestra en la Figura 2-4.
Si se conoce el campo de tensiones, el factor de intensidad de tensiones se puede calcular utilizando la ecuación (2-22):
Fractura y daño de la roca
Figura 2- 4 Punta de grieta Coordenadas cercanas
Las dimensiones de K son: [fuerza] [longitud]-3/2; SI: N·m-3/2 (10-6MPa·m1/2). Los métodos para determinar los factores de intensidad del estrés incluyen métodos analíticos, métodos numéricos, métodos de medición reales, etc. Esta sección presenta los métodos para determinar los factores de intensidad del estrés respectivamente.
1. Método analítico
El método analítico se puede dividir en el método de función variable compleja y el método de transformación integral. El método de función variable compleja puede utilizar la función de tensión de Westergaard o la de Muskhelishvili. Método, que resuelve principalmente problemas bidimensionales. El método de transformación integral puede resolver problemas bidimensionales y tridimensionales. Dado que las formas de contorno y las condiciones de contorno de los componentes estresados en ingeniería son muy complejas, es difícil satisfacer con precisión las condiciones de contorno al resolver ecuaciones diferenciales parciales. Por lo tanto, el método analítico sólo es adecuado para problemas donde la geometría del objeto es relativamente simple y la geometría del objeto es relativamente simple. las condiciones de contorno son fáciles de satisfacer. A continuación solo se presentan los métodos de funciones de variables complejas de uso común.
Fractura y daño de la roca
Satisfacer todas las condiciones de contorno del problema, sustituyendo en la ecuación anterior se puede obtener
Fractura y daño de la roca
Lo siguiente utiliza este método. Este método resuelve los factores de intensidad del estrés de varios problemas comunes.
1. En la placa plana "infinita" que se muestra en la Figura 2-5, hay una grieta con una longitud de 2a que penetra el espesor de la placa. Un par de fuerzas concentradas de espesor unitario actúan en x. =±b en la superficie de la grieta P
De la fórmula (2-7) →∞, σx=σy=τxy=0.
Figura 2-5 Dos pares de fuerzas concentradas que actúan sobre la superficie de la grieta de la placa plana "infinita"
Seleccione la función analítica compleja:
Fractura de roca y daño
p>Condiciones de contorno:
En a.b., la grieta es una superficie libre, σy=τxy=0.
c. Si se corta una placa delgada del primer cuadrante en el sistema de coordenadas xy, la suma de las fuerzas internas en la sección donde se encuentra el eje x es P.
Después de la prueba, la función analítica Z satisface tres condiciones de contorno.
Sustituyendo z=ξ a en la función analítica compleja, obtenemos
Fractura y daño de la roca
2. Como se muestra en la Figura 2-6, una roca con una grieta que penetra en el centro. longitud 2a Una placa plana infinita, con un par de fuerzas concentradas P por unidad de espesor actuando a una distancia x = b
Seleccione la función analítica compleja:
Fractura y daño de roca
3. Como se muestra en la Figura 2-7, una placa infinita con una grieta penetrante central de longitud 2a se somete a una carga uniforme en la superficie de la grieta dentro de la distancia x=±b, con una concentración de q
Figura 2 -6 Un par de fuerzas concentradas actúan sobre la superficie de la grieta de la placa plana "infinita"
Figura 2-7 Carga parcialmente distribuida que actúa sobre la superficie de la grieta de la placa plana "infinita" " placa plana
Utilizando el principio de superposición, de acuerdo con los resultados de la Figura 2-5, se puede obtener
Fractura y daño de la roca
Fractura de la roca y daño
Cuando toda la superficie está sujeta a una carga uniforme, como se muestra en la Figura 2 Como se muestra en -8, b→a, entonces
Fractura y daño de la roca
4 Como se muestra en la Figura 2-9, una placa plana infinita sometida a una fuerza de tracción uniforme bidimensional tiene una serie de grietas con una longitud de 2a y una distancia al centro de la grieta de 2b en el eje x. p>
Figura 2-8 Carga uniforme que actúa sobre la superficie de la grieta de la placa plana "infinita"
Figura 2-9 Placa plana infinita con una serie de grietas bajo una fuerza de tracción uniforme bidimensional
Las condiciones de contorno son periódicas:
Fractura y daño de la roca
Dentro de todas las grietas La tensión es cero. Es decir: y=0,, -a±2b Todos los frentes de fisura σy>σ. En el caso de una sola grieta: Fractura y daño de la roca Y Z debería ser una función periódica de 2b, por lo que Fractura y daños de la roca Introduciendo la variable ξ=z-a, obtenemos Fractura y daños de la roca Cuando ξ→0,, Fractura y daños de la roca Fractura y daños de la roca , denominada coeficiente de corrección, es mayor que 1, lo que indica el impacto de otras grietas en el factor de intensidad de tensión. Si la distancia entre las grietas es mucho mayor que el tamaño de la grieta misma (b ≥ 5a), la interacción se puede ignorar y calcular como una sola grieta. Para una placa de ancho finito con un ancho W y una grieta central bajo tensión uniforme, el coeficiente de corrección del factor de intensidad de tensión también se puede calcular aproximadamente de acuerdo con el valor anterior. En este caso, se utiliza W en lugar de. 2b: Fig. 2-10 Placa plana infinita con grietas periódicas bajo acción de corte Fractura y daño de la roca 5. Problemas de fisuras II y III en placas planas infinitas La forma de expresión universal del factor de intensidad de tensiones de fisura tipo II (placa infinita): Fractura y daño de roca Para tensión periódica en una placa infinita La grieta, como se muestra en la Figura 2-10, actúa sobre el límite infinito con fuerza cortante pura dentro del plano de la placa. Fractura y daño de la roca Introduciendo variables: ξ=z-a, obtenemos Fractura y daño de la roca De manera similar, para estrés infinito Factor de intensidad de grietas periódicas de placa tipo III: Fractura y daño de roca 6. Cálculo del factor de intensidad de tensiones de grietas profundamente enterradas El modelo de cálculo es un Grieta laminar en un cuerpo infinito En 1950, Green y Sneddon analizaron la tensión y la deformación en las proximidades de una grieta elíptica profundamente enterrada en un objeto elástico. Como se muestra en la Figura 2-11, obtuvieron cualquier punto en la superficie elíptica, a lo largo. El desplazamiento de apertura en la dirección y es Figura 2-11 Grieta de lámina elíptica profundamente enterrada Fractura y daño de la roca Donde: Γ es el segundo tipo de elipse integral. Sí Fractura y daños de la roca En 1962, Irwin utilizó los resultados anteriores para calcular el factor de intensidad de tensión en este caso: Fractura y daños de la roca Fractura y daño de la roca En la dirección del eje corto de la elipse, es decir, hay Fractura y daño de la roca Esta fórmula es el factor de intensidad de tensión de la parte peligrosa de la grieta enterrada profunda en forma de lámina elíptica. Cuando a?c, hay fractura y daño de la roca Cuando a=c, hay una grieta en forma de disco En este momento fractura de la roca. y daños 7. Cálculo de factores de intensidad de tensión para grietas superficiales semielípticas Las grietas superficiales se encuentran con mayor frecuencia en ingeniería y, a menudo, se consideran grietas superficiales semielípticas, pero hasta ahora no se ha evaluado rigurosamente. La solución analítica de se trata generalmente con una aproximación modificada basada en la solución de grietas de láminas elípticas en cuerpos infinitos. (1) Factor de intensidad de tensión de grietas poco profundas en la superficie: cuando a?B (espesor de la placa) se puede simplificar a una grieta poco profunda, entonces la influencia de la superficie libre posterior sobre el factor de intensidad de tensión de El punto N se puede ignorar, como se muestra en la figura. Como se muestra en 2-12, el factor de intensidad de tensión en N se obtiene aproximadamente. Figura 2-12 Grietas en escamas elípticas superficiales Fractura y daño de la roca (2) Factor de intensidad de tensión de las grietas superficiales profundas: Para grietas superficiales profundas, el La introducción de dos superficies libres en la parte delantera y trasera reduce las restricciones elásticas en la punta de la grieta y hace que la grieta se expanda fácilmente. El factor de intensidad de tensión está determinado por la siguiente ecuación. Fractura y daños de la roca Entre ellos: M1 es el coeficiente de corrección de la superficie libre delantera; M2 es el coeficiente de corrección de la superficie libre trasera. El coeficiente de corrección dado por Paris y Sih es Fractura y daño de la roca En la fórmula: B es el espesor de la placa; a es la profundidad de la grieta; c es la longitud de la grieta. Cuando a/c→0, está cerca de la muestra de incisión de un solo lado, M1=1,12. Cuando a/c→1, está cerca de una grieta superficial semicircular, M1=1. Cuando a?B, M2≈1, es decir, para fisuras poco profundas no se considera la influencia de la superficie libre posterior. Para problemas generales de ingeniería, el factor de intensidad de tensión en el punto más profundo de una grieta superficial es En el caso de grietas simples en placas planas, para componentes reales y varias muestras, cuando el tamaño de la grieta no es muy pequeño en comparación con otras dimensiones características de la componente o muestra, se debe considerar la influencia del límite libre sobre el factor de intensidad de tensión en la punta de la grieta. Es difícil obtener soluciones analíticas estrictas para este tipo de problemas y comúnmente se utilizan métodos numéricos para encontrar soluciones aproximadas. Los métodos numéricos comúnmente utilizados incluyen el método de configuración de límites (bit), el método de elementos finitos y el método de elementos de límite. Todos estos métodos obtienen la expresión aproximada del campo de tensiones o del campo de desplazamiento cerca de la punta de la grieta mediante análisis numérico y establecen la expresión del factor de intensidad de tensiones por definición. 1. Método de configuración de límites El método de configuración de límites expresa la función de tensión como una serie infinita de modo que satisface la ecuación biarmónica y las condiciones de contorno, pero no satisface todas las condiciones de contorno. En cambio, se seleccionan suficientes puntos en el límite de la placa de ancho finito para determinar la función de tensión, y luego el valor KⅠ se determina mediante la función de tensión que cumple las condiciones de contorno. El método de configuración de límites se utiliza principalmente para calcular problemas de grietas de un solo lado en problemas planos y se limita a discutir problemas de límites rectos. A continuación se toma la muestra de flexión de tres puntos que se muestra en la Figura 2-13 como ejemplo para su explicación. En 1957, Williams propuso una función de tensión representada por una serie infinita, llamada función de tensión de Williams: Figura 2-13 Muestra de flexión de tres puntos Fractura y daño de la roca Esta función satisface la ecuación biarmónica: ▽4ψ(r, θ)=0. Condiciones de contorno: las superficies izquierda y derecha de la grieta (θ=±π/2), σy y τxy son ambas cero y se cumple la fórmula anterior. La satisfacción de las condiciones de contorno en el límite exterior se determina de la siguiente manera: Seleccione suficientes puntos en el límite de la placa de ancho finito, como se muestra en la Figura 2-13, para que las condiciones de contorno de estos puntos están satisfechos, entonces podemos obtener Cj. Para facilitar el cálculo, se introduce una cantidad con una dimensión: Fractura y daño de la roca Donde: B es el espesor de la muestra W; es la altura del espécimen. Fractura y daños de la roca Para grietas tipo I: Fractura y daños de la roca Cerca de la punta de la grieta, θ=0, r→0. Fractura y daño de la roca Y porque cuando θ=0, cosθ=1, cuando j=1, no tiene nada que ver con r, y cuando j=2, 3, 4,… , está relacionado con r cuando ∞, y es cero cuando r→0. Fractura y daños de la roca Utilice condiciones de contorno para determinar D1, tome la mitad izquierda de la muestra de flexión de tres puntos que contiene grietas como objeto de investigación, tome m puntos para el análisis y use números de nivel finito de 2 m en lugar de series infinitas que sean lo suficientemente precisos. Fractura y daño de la roca S=4W es el espécimen estándar, y la fórmula (2-41) y la fórmula (2-42) son recomendadas por la norma americana ASTM-E399-72. fórmula de especificación. 2. Método de elementos finitos para determinar los factores de intensidad de tensiones El método de elementos finitos se basa en el principio de variación y discretiza el continuo en elementos finitos para analizar su deformación y tensiones, para luego analizarlos. Realice un análisis general para obtener el campo de tensión y el campo de desplazamiento del objeto estresado. El método de elementos finitos puede resolver los factores de intensidad de tensión de cuerpos fisurados con geometría y condiciones de carga complejas. La más madura es la aplicación de unidades singulares. Los factores de intensidad de tensión de diferentes cuerpos fisurados son diferentes en diferentes modos de fisuración. Algunos métodos experimentales y analíticos tienen sus propias limitaciones, y las soluciones numéricas como las de elementos finitos son muy efectivas para resolver los campos de tensión y desplazamiento de cuerpos elástico-plásticos. Los campos de tensión y desplazamiento están estrechamente relacionados con K, por lo que pueden resolverse. por el método de los elementos finitos. Utilice el método de desplazamiento para encontrar el factor de intensidad de tensión, como la grieta tipo I: Fractura y daño de la roca En la ecuación. El campo de desplazamiento cerca de la punta de la grieta se obtiene mediante el método de elementos finitos, se calcula (r, π) y luego se extrapola a la punta de la grieta. Este método es el método de extrapolación. El método de tensión también se puede utilizar para encontrar el factor de intensidad de tensión. En este caso, primero encuentre el campo de tensión: y luego encuentre el componente de tensión cuando θ=0, es decir. 3. Método de medición real Debido a la diversidad y complejidad de los problemas reales, los cálculos son difíciles, especialmente para problemas tridimensionales. Para problemas de fractura elástico-plástica y problemas de fractura dinámica, a menudo se utilizan métodos de medición reales intuitivos y simulados. Los métodos prácticos comúnmente utilizados incluyen el método de flexibilidad, el método de red, el método fotoelástico, el método de holografía láser, el método de moteado láser, el método muaré, etc. El principio básico para calcular el factor de intensidad de tensión de grieta mediante el método fotoelástico es el siguiente: Para grietas de tipo I, si se han obtenido σx, σy y τxy, se puede calcular la tensión de corte máxima según. al principio de fotoelasticidad, Fractura y daño de la roca En la fórmula: n es la serie marginal del modelo fotoelástico; f es el valor marginal del material; espesor de la muestra. Sustituyendo σx, σy y τxy en la fórmula anterior, obtenemos: Fractura y daño de la roca Ri, θi y ni se miden a partir del diagrama de franjas de isobaras e isoclinas del experimento fotoelástico. , Obtener y obtener la curva, extrapolar a r→0 para encontrar Fractura y daño de la roca IV Principio de superposición y su aplicación 1.KⅠ El. principio de superposición y su aplicación Principio de superposición elástica lineal: cuando n cargas actúan sobre un cuerpo elástico al mismo tiempo, la tensión y el desplazamiento causado por el grupo de carga en un punto determinado son iguales a la tensión y el desplazamiento causada por una sola carga en ese punto. La suma de los componentes de tensión y desplazamiento. El principio de superposición se aplica a KⅠ. Prueba: Fractura y daño de la roca Suponiendo que bajo la carga F1, hay Fractura y daño de la roca Supongamos que bajo la carga F2, hay rocas fracturadas y daños Según el principio de superposición, hay rocas fracturadas y daños Por lo tanto, el método para calcular el factor de intensidad de tensión bajo cargas complejas: descomponer las cargas complejas en cargas simples Los factores de intensidad de tensión bajo cargas simples se pueden calcular utilizando el método antes mencionado o consultando el manual de KⅠ. A continuación se utiliza el principio de superposición para calcular el valor KⅠ de la grieta de doble oreja en el borde del orificio del remache que se muestra en la Figura 2-14(a). Primero descomponga la Figura (a) en la Figura (b), Figura (c) - Figura (d). Figura 2-14 Cálculo del principio de superposición de fisuras binaurales en el borde del agujero del remache Según el principio de superposición:, porque, por lo tanto: Fractura y daños de la roca p> Puedes consultar el manual del factor de intensidad de tensiones. Fractura y daño de la roca En la fórmula: D es el diámetro del agujero redondo; W es el ancho de la placa; a es la longitud de la grieta de doble oreja. Determinar: Cuando una grieta de penetración central con ancho de placa infinito actúa sobre una fuerza concentrada P: Fractura y daño de la roca Considerar longitud efectiva de fisuras: get Fractura y daño de la roca Coeficiente de corrección del ancho finito de la placa: Fractura y daño de la roca Entonces Fractura y daño de la roca 2. Principio de superposición del campo de tensiones y su aplicación Principio de superposición del campo de tensiones: bajo la acción de restricciones externas complejas, el factor de intensidad de tensión en el frente de la grieta Significa que no hay restricción externa, pero el factor de intensidad de tensión causado por la tensión interna generada en la grieta por restricciones externas actúa de manera inversa sobre la superficie de la grieta. Como se muestra en la Figura 2-15(a), una placa plana con una grieta penetrante central está sujeta a una tensión de tracción uniforme en los límites superior e inferior. Se descompone en las Figuras (b) y (c). ). Figura (b) Además de la fuerza del borde de la placa, un conjunto de fuerzas de reacción también actúan sobre la superficie de la grieta para restaurar la grieta a su forma original, lo que equivale al hecho de que la grieta no existe. Por lo tanto, el problema de la figura (b) es un problema de mecánica elástica general. Su solución puede ignorarse al estudiar la singularidad de la tensión en la punta de la grieta. El problema representado en la Figura (c) es que la superficie de la grieta está sujeta a tensión pero el borde de la placa no está estresado. Figura 2-15 Aplicación del principio de superposición del campo de tensiones Fractura y daño de la roca En el sentido del problema del extremo de la grieta, la Figura (a) es equivalente en la figura (c). Por lo tanto, la tensión causada por la fuerza externa en la posición de la grieta en el componente libre de grietas - "tensión local" se puede utilizar para resolver el factor de intensidad de la tensión bajo diversas condiciones de tensión. Para las grietas Tipo II y Tipo III, como se muestra en la Figura 2-16, el problema de las grietas que están sujetas a carga en el infinito (borde de la placa) y la tensión en la superficie de la grieta es También se puede considerar libre (Problema A), transformado en la superposición de los problemas B y C. El problema B es equivalente a que, además de la fuerza del borde de la placa, también actúa un conjunto de fuerzas de reacción sobre la superficie de la grieta para restaurar la grieta a su forma original, lo que equivale a que la grieta no exista. El problema C es un problema en el que la superficie de la grieta está sujeta a tensión pero el borde de la placa no está estresado. Por lo tanto, el problema A es equivalente al problema C en el sentido de un problema de extremo de grieta. Figura 2-16 Aplicación del principio de superposición Las soluciones al problema C para los tres tipos de grietas tienen ***las mismas expresiones y las condiciones de contorno en la superficie de la grieta son p> Grieta tipo I: Grieta tipo II: Grieta tipo III: Función de tensión Z: Fractura y daños de la roca Factor de intensidad de tensión K: Fractura y daños de la roca La pregunta C tiene importancia práctica en geociencia. En los problemas de fallas, el campo de tensiones en la superficie de la falla se puede inferir basándose en mediciones de desplazamiento e inversión de ondas sísmicas, pero el estado de tensiones en el campo lejano aún no ha obtenido datos confiables. Por lo tanto, los cambios en el campo de tensiones y el campo de desplazamiento de la falla se pueden inferir a partir del campo de tensiones y se puede estudiar el proceso dinámico de la falla. Calcular los factores de intensidad de tensión de varios cuerpos fisurados es una tarea muy importante en la mecánica de fractura elástica lineal. Los datos del factor de intensidad de tensión para diversas condiciones de tensión y diferentes ubicaciones de grietas se han recopilado en un manual. Los datos de la mayoría de los factores de intensidad de tensión se pueden encontrar en el "Manual de factores de intensidad de tensión" editado por la Academia de Aeronáutica y Astronáutica de China. Las expresiones comunes de intensidad de tensión también se incluyen en los libros de texto de mecánica de fracturas generales, por lo que no se describirán en detalle aquí. .