¿Cuál es la completitud de los números reales?
Teorema básico sobre la completitud del conjunto de números reales
Teorema de conjunto de intervalos y criterio de convergencia de Cauchy
Definición 1 Conjunto de intervalos: Supongamos que es un conjunto cerrado secuencia de intervalo. Si se cumple la condición
ⅰ) Sí, es decir,
El último intervalo cerrado se incluye en el intervalo cerrado anterior
;ⅱ) . Es decir, en ese momento, la longitud del intervalo tiende a cero
Entonces la secuencia de intervalo cerrado se denomina conjunto de intervalo cerrado, denominado conjunto de intervalo. p>El conjunto de intervalos también se puede expresar como:
.
Lo que queremos llamar la atención de todos es que se trata de dos sumas de secuencias, una de las cuales es creciente y otra de. que es decreciente.
Por ejemplo, la suma es un conjunto de intervalos,
Ni
Teorema del conjunto de intervalos
. Th7.1 (Teorema del conjunto de intervalos) Supongamos que es un conjunto de intervalos cerrados. Entonces hay un punto único en el sistema de números reales, por lo que Sí. En resumen, el conjunto de intervalos debe tener un punto común único.
Teorema del punto divergente y teorema de cobertura finita
Definición Supongamos que es un conjunto infinito de puntos Si en el punto (Hay infinitos puntos en cualquier vecindad a los que no pueden pertenecer), entonces el punto. se llama punto de grupo.
El conjunto de números = tiene un punto de grupo único, pero
Intervalo abierto El conjunto de todos los puntos de reunión es un intervalo cerrado; >Supongamos que el conjunto de todos los números racionales en una secuencia acotada debe tener una subsecuencia convergente
2. Principio del punto de reunión: Principio del punto de reunión de Weierstrass
Th 6 Cada punto infinito acotado. el conjunto debe tener un punto de reunión.
p>
La equivalencia de los tres teoremas básicos de completitud de números reales
Un método general para demostrar la equivalencia de varias proposiciones. >
En esta sección se demuestra la equivalencia de los siete teoremas fundamentales de los números reales por vía: La demostración se realiza según las siguientes tres vías:
Ⅰ: Principio determinista, principio monótono acotado, conjunto de intervalos. teorema, criterio de convergencia de Cauchy
Principio definido
Ⅱ: Teorema de anidamiento de intervalos, teorema de compacidad, criterio de convergencia de Cauchy
Ⅲ: Teorema de anidamiento de intervalos, Heine–; Teorema de cobertura finita de Borel, teorema de anidamiento de intervalos
1. Demostración de “Ⅰ”: (Se ha demostrado el "principio de cierto límite y el principio de límite monótono"). "cierto principio acotado" para probar el "principio acotado monótono":
La secuencia acotada monótona debe converger
2. teorema de conjuntos":
Supongamos que Th 3 es un conjunto de intervalo cerrado. Entonces hay un punto único, por lo que el par tiene .
Corolario 1 Si es un *** común punto determinado por el intervalo establecido, entonces sí,
En ese momento, siempre hay
Corolario 2 Si está determinado por el intervalo establecido
↗. , ↘ , .
3. Utilice el "Teorema del conjunto de intervalos" para demostrar el "Criterio de convergencia de Cauchy":
Th 4 La convergencia de la secuencia es una secuencia de Cauchy. p>
La secuencia del Lema Cauchy es una secuencia acotada (Prueba)
Prueba de Th 4: (Única prueba de suficiencia) Libro de texto P217-218 La prueba queda para lectura. de tres partes iguales para demostrar, lo cual es relativamente intuitivo.
Utilice el "Criterio de convergencia de Cauchy" para demostrar el "cierto principio ligado":
El 1 no es un conjunto de números. con un límite superior que no está vacío debe tener un límite superior; un conjunto de números que no está vacío y tiene un límite inferior debe tener un límite inferior
Prueba (solo prueba que "el conjunto de números. con un límite superior que no está vacío debe tener un supremo") Sea un conjunto de números no vacíos con un límite superior. Cuando es un conjunto finito, obviamente hay un supremo. Sea el conjunto inferior un conjunto infinito. Tome el límite superior de not y el límite superior de . Para el intervalo de partición, tome el límite superior de tal que not , sea el límite superior de . De acuerdo con esto, se obtiene la secuencia de intervalo cerrado.
La columna y converge según el criterio de convergencia de Cauchy; es fácil de ver ↘ .
Utilice la prueba por contradicción. el límite superior y la propiedad mínima
Demostración de "Ⅱ":
Utilice el "Teorema del conjunto de intervalos" para demostrar el "Teorema de la compacidad":
Th 5 (. Weierstrass) Cualquier secuencia acotada debe tener una subsecuencia convergente
Prueba (destacando las técnicas de extracción de subsecuencias)
Th 6 Todo conjunto de puntos infinito acotado debe tener un punto de reunión. p>2. Utilice el "Teorema de compacidad" para demostrar el "Criterio de convergencia de Cauchy":
La convergencia de la secuencia Th 4 es una secuencia de Cauchy
Prueba (sólo suficiencia) Idea de prueba: La. La secuencia de Cauchy está acotada. Verificación de subsecuencia convergente El límite de la subsecuencia convergente es el límite de
Demostración de "Ⅲ":
Utilice el "Teorema del conjunto de intervalos" para demostrar "Heine–. Teorema de cobertura finita de Borel":
Utilice el "teorema de cobertura finita de Heine-Borel" para demostrar el "teorema del conjunto de intervalos":