Comprensión preliminar del desarrollo de la teoría elemental de números.
La comprensión preliminar del desarrollo de la asignatura de teoría elemental de números es la siguiente:
La teoría elemental de números es un nivel teórico. El primer nivel se denomina conceptos matemáticos, que son formas de pensamiento que reflejan los atributos esenciales de los objetos. En el proceso de cognición, los seres humanos pasan de la cognición perceptiva a la cognición racional, abstraen las características más esenciales de las cosas que perciben y las resumen para convertirlas en conceptos. La forma lingüística que expresa un concepto es una palabra o frase.
Los conceptos científicos, especialmente los conceptos matemáticos, son más estrictos y deben cumplir al menos tres condiciones: especificidad, precisión y comprobabilidad. Por ejemplo: "Números primos gemelos" es un concepto matemático.
El segundo nivel se llama proposiciones matemáticas. Las proposiciones matemáticas son oraciones que juzgan la relación entre una serie de conceptos matemáticos. Una proposición es verdadera o no (esto está garantizado por la ley del tercero excluido en lógica). Las proposiciones verdaderas incluyen teoremas, lemas, inferencias, hechos, etc. Una proposición puede ser una proposición existencial (expresada como "hay...") o una proposición universal (expresada como "para todo...").
El tercer nivel se llama teoría matemática. La combinación de métodos, fórmulas, axiomas, teoremas y principios en un sistema se llama teoría matemática. Por ejemplo, la "teoría elemental de números" consta de axiomas (como el axioma de equivalencia), teoremas (como el pequeño teorema de Fermat), principios (como el principio del cajón, el principio de correspondencia uno a uno), fórmulas, etc.
En las pruebas matemáticas, las proposiciones universales a menudo no pueden juzgarse como verdaderas o falsas mediante la enumeración. Esto se debe a que las matemáticas a veces se enfrentan a infinitos objetos y nunca es posible enumerarlos uno por uno. La inducción incompleta no es factible en matemáticas, y las matemáticas solo reconocen la lógica deductiva (la inducción matemática, la inducción transfinita, etc. pertenecen todas a la lógica deductiva).
Información ampliada
La teoría de números elemental es una rama de las matemáticas que estudia las leyes de los números, especialmente las propiedades de los números enteros. Es una de las ramas más antiguas de la teoría de números. Utiliza métodos aritméticos como principal método de investigación y sus contenidos principales incluyen la teoría de la divisibilidad de números enteros, la teoría de la congruencia, la teoría de fracciones continuas y algunas ecuaciones indefinidas especiales. En otras palabras, la teoría de números elemental consiste en estudiar la teoría de números utilizando métodos elementales y simples. También existen la teoría analítica de números (el estudio de la teoría de números utilizando métodos analíticos) y la teoría algebraica de números (el estudio de la teoría de números utilizando estructuras algebraicas).