Expresión matemática de la función de doble escala del paquete wavelet
4.1.2.1 Definición matemática de transformada de paquetes wavelet
La descomposición de paquetes wavelet se basa en un análisis de resolución múltiple. En el análisis de wavelets de resolución múltiple, el espacio cuadrado integrable muestra que el análisis de wavelets consiste en descomponer L2(R) en la suma ortogonal de todos los subespacios Wj(j∈Z) de acuerdo con diferentes factores de escala j, donde Wj es la función wavelet ψ Cierre (subespacio de ondículas) de (t). Una mayor subdivisión de frecuencia del subespacio wavelet Wj mediante binario puede mejorar la resolución de frecuencia. Un método natural es unificar el espacio de escala Vj y el subespacio wavelet Wj con un nuevo subespacio (Yang Chao et al., 2004).
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, j∈Z, luego la descomposición ortogonal VJ+1 = VJ ⊕ WJ, es decir, descomposición unificada en extracción de información de imágenes de detección remota hiperespectral tecnología.
El subespacio se define como el espacio cerrado de la función μn(t), pero como el espacio cerrado de la función μ2n(t). Se define la siguiente relación de recursividad, y μn(t) satisface la ecuación de doble escala de la relación de recursividad (Coifman et al., 1992; Sun Yu et al., 2005; Wang et al., 2005):
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Entre ellos: la función definida recursivamente μ n (n = 1, 2,...) se denomina paquete wavelet determinado por la función de escala ortogonal μ 0 (t) = ψ(t). Entre ellos, hk, gk y (k∈Z) se denominan coeficientes de filtrado de paso bajo y coeficientes de filtrado de paso alto, respectivamente. Gk = (-1) KH 1-k, es decir, los dos coeficientes también tienen una relación ortogonal. Cuando n = 0, μ 0 (t) = ψ (t), μ 1 (t) = ψ (t), que se obtienen a partir de la fórmula anterior:
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p>Donde: μ0(t) y μ1(t) son las ecuaciones de doble escala de la función de escala y la función wavelet respectivamente. Obviamente, μ0(t) y μ1(t) degeneran en la función de escala ψ(t) y la función de base wavelet ψ(t), respectivamente. La secuencia {μ n (t)} (n ∈ z+) se llama paquete wavelet determinado por la función de escala ortogonal μ 0 (t) = ψ (t), o la secuencia {μ n (t)} se trata de la secuencia Paquete de ondas ortogonales de {{hk }}.
Para cualquier entero no negativo n∈Z+ y cualquier entero j∈Z, representemos el subespacio cerrado de L2(R) sintetizado por la combinación lineal de la expansión binaria y la traducción del paquete wavelet μn, entonces:
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Donde: {{Vj}} es el análisis de resolución múltiple de L2(R) generado por la función de escala u0 = ψ; {{Wj}} es una secuencia subespacial de ondículas ortogonales generada por la ondícula U1 = ψ.
4.1.2.2 Algoritmo de descomposición y reconstrucción espacial de paquetes wavelet
Según la función de escala μ 0 (t) = ψ (t) y la función wavelet μ 1 (t) = ψ (t), la siguiente descomposición espacial se puede obtener utilizando las ecuaciones (4.2) y (4.3):
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Sea {μ n (t) )} n ∈ z es la familia de paquetes wavelet relacionada con el coeficiente del filtro de paso bajo hk, y la familia subespacial se genera mediante la siguiente fórmula. Supongamos que n = 1, 2,...; J = 1, 2,..., descomponga iterativamente la fórmula anterior para obtener la descomposición de Wj (Figura 4.2), incluyendo:
Figura 4.2 Wavelet completa espacio de paquetes en espacio wavelet Diagrama de descomposición
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En aplicaciones prácticas, generalmente nos preocupamos por la descomposición de wavelets y la descomposición de paquetes de wavelets del subespacio (R) (Wu et otros, 1996). La relación de descomposición de la descomposición de paquetes wavelet se muestra en la Figura 4.2. Puede haber diferentes descomposiciones y la señal f(t)∈VL en el VL correspondiente se puede representar mediante diferentes combinaciones de bases. Normalmente, la mejor representación de la señal se elige basándose en una función de coste de información. La función de costo de información tiene diferentes definiciones, pero debe reflejar la cantidad de cálculo y almacenamiento necesarios para expandir la señal (o función) bajo este conjunto de bases.
Recuerde que los coeficientes del paquete wavelet de la señal f(t) en el subespacio son l2 (r) espacios cuadrados de secuencia discreta integrable, entonces de la definición del paquete wavelet y la ecuación (4.6) podemos obtener el siguiente algoritmo rápido de reconstrucción y descomposición de paquetes Wavelet. Algoritmo de descomposición de paquetes wavelet;
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Realiza la descomposición del paquete wavelet en la imagen hiperespectral. Después de procesar el coeficiente de descomposición de la imagen, se restaurará a la imagen procesada. . La operación de reconstrucción de la transformada de paquetes wavelet es la operación inversa de la descomposición del paquete wavelet, es decir, los coeficientes procesados en el dominio de la frecuencia se recombinan en imágenes en el dominio del tiempo. Algoritmo de reconstrucción de paquetes wavelet;
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Entre ellos: Hong Kong-2L y GK-2L se denominan coeficientes de filtrado de paso bajo y coeficientes de filtrado de paso alto. respectivamente.