Partitura egipcia

Incluso los estudiantes de primaria conocen fracciones, como 1/2, 3/5. Pero ¿sabías que también existe una fracción de un solo numerador, es decir, el numerador es 1 y el denominador es cualquier número? Esta fracción se llama fracción egipcia o fracción de una sola molécula.

Al igual que China, Egipto también es una civilización antigua famosa en el mundo. Al examinar la historia del antiguo Egipto, la gente notó que los maestros matemáticos como Arquímedes en realidad estudiaban fracciones egipcias. Algunos de los matemáticos más importantes de este siglo también estudiaron las fracciones egipcias. Por ejemplo, Paul Oudes, ganador del Premio Wolf de Matemáticas, propuso la famosa conjetura 4/n = 1/x 1/y 1/z, que dejó perplejos a los principales matemáticos del mundo. Cuando se debían dividir 9 hogazas de pan en partes iguales entre 10 personas, los antiguos egipcios no sabían que cada persona podía obtener 9/10, sino que cada persona podía obtener 1/3, 1/4, 1/5, 1/12650. . Es difícil de imaginar. Ni siquiera conoces el 10/9. ¿Cómo sabes que 9/10 = 1/3 1/4 1/5 1/12 65444? Por eso, durante miles de años, los historiadores de las matemáticas han insistido en que los antiguos egipcios no utilizaban fracciones.

En 1858, el arqueólogo escocés Leyton compró un documento en papiro egipcio antiguo. Se identificó que estaba hecho de hierba que crecía exuberantemente en estanques y pantanos creados por el desbordamiento del río Nilo. El libro fue escrito alrededor del 1700 a.C.

Entonces, ¿cómo calculaban los antiguos egipcios? Primero divide los dos elementos en cuatro 1/2 partes, dale a cada persona 1 1/2 primero, luego divide el 1 1/2 restante en tres partes iguales, divide el resultado en partes iguales, cada persona obtendrá 1/2 más 1/2. . Este papiro "Leiden", que aún se conserva en el Museo Británico, registra el proceso de descomposición de fracciones verdaderas en fracciones de una sola molécula en grandes espacios. Este método de operación ha sido criticado por los matemáticos modernos, quienes creen que la complejidad de las operaciones con fracciones fue una de las razones por las que los egipcios no lograron desarrollar la aritmética y el álgebra a un nivel superior.

Las pirámides de Egipto son mundialmente famosas, lo que demuestra que los antiguos egipcios tenían una tecnología de construcción soberbia y una sabiduría extraordinaria. ¿No entiendes la notación musical moderna más simple? ¿Es "La Torre Dorada" una obra de mala calidad?

Las matemáticas modernas se han desarrollado hasta un nivel muy abstracto y complejo, pero las fracciones egipcias eran tan toscas que deberían haber desaparecido de la memoria de la gente. Sin embargo, los problemas que causó todavía hoy llaman la atención.

Ke Zhao, el difunto presidente de la Universidad de Sichuan, escribió una vez: "Algunos de los problemas causados ​​por las marcas egipcias se han convertido en problemas y conjeturas sin resolver, que han dejado perplejos a muchos matemáticos contemporáneos". El propio Ke Zhao no demostró esta conjetura hasta su muerte.

Cuenta una antigua leyenda:

Cuando el anciano murió, le dio 11 caballos a sus tres hijos, el mayor 1/2, el segundo 1/4 y el tercero 1 /6. La mitad de ellos eran cinco caballos y medio y no pudimos matarlos. Cuando estábamos desesperados, los vecinos trajeron sus propios caballos, y la mitad de ellos trajeron seis. El segundo cuarto trajo tres caballos; el tercer sexto tomó dos caballos. Un caballo ***11, después del reparto, el vecino recuperó su caballo. Eso es 11/12 = 1/2 1/4 1/6.

La maravillosa partitura egipcia moviliza finalmente su potencial dificultad, derrotando a quienes se atreven a despreciarla. Y dio respuestas embarazosas a quienes se reían de él.

Más de dos mil años después, los matemáticos finalmente descubrieron: 2/n = 1/[(n 1)/2] 1/[(n 1)n/2]; (n 1) 1/[n(n 1)]; En ese momento, me desperté del gran sueño. La notación musical egipcia se destaca en el mundo por su fuerte vitalidad, asombrando a los matemáticos 3.000 años después. Por ejemplo, ¿podemos diseñar (n-1)/n = 1/x 1/y 1/z... Después de más de 2.000 años de arduo trabajo, finalmente revelamos el secreto: hay seis posibilidades y siete formas de división. .

7/8=1/2 1/4 1/8; 11/12=1/2 1/4 1/6=1/2 1/3 1/12; 9; 19/20=1/2 1/4 1/5; 23/24=1/2 1/3 1/8; Al principio, la gente pensó que probablemente había infinitos tipos de situaciones de este tipo, pero continuaron persiguiendo pero no encontraron nada, lo cual era realmente impredecible. Se encontraron 43 casos de * * * en Guanchunhe, Heilongjiang. así es.

Cuando el denominador es un número impar, "1" se descompone en una fracción egipcia y el número de términos se limita a 9. * * * Hay 5 conjuntos de soluciones:

1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/35 1/45 1/231.

1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/21 1/135 1/10395.

1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/21 1/165 1/693.

1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/21 1/231 1/315.

1=1/3 1/5 1/7 1/9 1/11 1/15 1/33 1/45 1/385.

Los cinco conjuntos de soluciones anteriores no se encontraron hasta 1976. Cuando se limita a 11, se encuentra que el denominador mínimo de un conjunto de soluciones es 105. Si es mayor que 105, existen muchas soluciones.

La fracción tipo 1/n también se puede expresar como una fórmula de descomposición en serie:

1/n=1/(n 1) 1/(n 1)^2 1/ (n 1)^3 1/(n 1)^4 .... 1/(n 1)^k 1/n(n 1)^k.

La fracción egipcia se convirtió en una estrella en la ecuación indefinida Una perla deslumbrante.

La conjetura más famosa sobre las fracciones egipcias es la conjetura de Erods: 1950. Para enteros positivos n > 1, siempre existe 4/n = 1/x 1/y 1/z(1).

Donde x, y y z son todos números enteros positivos.

Stralss conjeturó además que cuando n≥2, las soluciones x, y, z de la ecuación satisfacen x≠y, y≠z, z ≠ x〈y〈z.

En 1963, Zhao Ke, Sun Qi y Zhang Xianjue demostraron que la conjetura de Erods es equivalente a la conjetura de Stralss. Unos años más tarde, Yamanot desarrolló el resultado hasta 10 elevado a la séptima potencia. Más tarde, algunos matemáticos impulsaron los resultados, pero nunca obtuvieron la solución fundamental. Para 4/n = 1/x 1/z, sólo necesitamos considerar el caso donde n=p es un número primo, porque si (1) se cumple, para cualquier entero m, m > 1,

4/pm = 1/XM 1/ym 1/zm, se aplica el mismo principio.

En 2002, alguien propuso una proposición más sólida: supongamos que x=AB, y=AC, Z=ABCp. (B)C)

4/P = 1/AB 1/AC 1/ABCP(2)

Todos los números primos impares se pueden expresar de dos tipos: 4R 1 y 4R 3 . Para la fórmula p=4R 3, la fórmula (2) es obvia, porque en este momento A=(p 1)/4, B=1. C=P1. .

Es decir: 4/P = { 1/[(P 1)/4]} { 1/[(P 1)(P 1)/4]} { 65438 }

Por ejemplo: 4/7 = 1/2 1/16 1/12.

Para números primos de tipo p=4R 1, la fórmula (2) se ordena como: 4ABC=PC PB 1 (4).

A = (PC PB 1)/4BC (5)

En la ecuación (5), para obtener B|(PC PB 1), debemos hacer B|(PC 1 ), sea PC 1 = TB; para obtener C|(PC PB 1), sea C|(PB 1), sea p b 1 = SC para la forma P=4R 1, si desea 4|p(C B ) 1] , requiere C B = 4K-1; para la forma P=4R 3, requiere 4|[P(C B) 1]. Por tanto, se forma un sistema de ecuaciones binarias lineales indefinidas:

-PC TB=1 (6)

SC (-P)B=1 (7)

Por ejemplo, cuando p=17, A=3, B=2, C=5, T=43, S=7, k=2.

4 /17=[1/(2×3)] [1/(3×5)] [1/(3×2×5×17 )]

Eso es 4/17 = 1/6 1/15 1/510.

Equivalente a la siguiente fórmula:

(-17)×5 43×2=1

7×5 (-17)×2=1

Porque tenemos un método para ecuaciones lineales indefinidas bidimensionales. Según el "Diccionario de álgebra" de Shanghai Education Press 1985 (376 páginas):

Ecuación: ax by=c

a'x b'y=c '

Las condiciones necesarias y suficientes para la solución pública* * *(solución entera) de x e y son (ab'-a'b) no igual a 0, (ab '-a ' b)|(BC '-b ' c)|(ab '-a ' b)|(ca '-c ' a). "

Tomemos C y B en (6) y (7) como X, y en (6) arriba. Siempre que (p, t) = 1; hay infinitos grupos de b y c Solución entera; en (7), siempre que (P, S) = 1, hay soluciones enteras para b y c. Según el teorema conocido de las páginas 13 a 17 (Ke Zhao, la ecuación indefinida). Se puede ver que las ecuaciones (6) y (7) deben tener una solución entera común (usando conocimientos de matriz, transformación de módulo unitario, etc.), es decir, ST-P*P≠0, (ST-P * P )|(P t); (ST-P). *P) | (P S). el caballero puede saltar a cualquier punto desde el punto de partida. Puedes retirarte desde cualquier punto.

Aquí hay algunas soluciones para los valores de p:

- |

-. p - | - A - | - B - | - C - | - T - | - S - | | - 1 - | - 2 - | - 11 - | - 39 - 283 - | - | - 11 - |

-37 - | - 2 - | - 5 - | - 62 - | - | - 2 - | - 7 - | - 124 - | - 8 - | 1243 - | - 3 - | - 43 - |

-173-| - 2 - |

-

Arriba Es la solución cuando P=4R 1 y r es un número impar.

En este momento, a = 2; S=3.

-

-17 - | - 3 - | | - 2 - |

-41 - | - 12 - | - 1 - | - 6 - | - 7 - | | - 6 - | - 3 - | - 4 - | - 55 - | - 21 - | - | - 7 - | - 6 - |

- 97 - | - 2 - |

-113-| - 5 - | - 6 - | - 97 - | - 2 - | 13 - | - 2659 - | - 63 - | - 5399 - 31 - |

-409-| - 11 - | - 11 - | - 60 - | - 2231 - | Arriba Es la solución cuando p=4R 1 yr es un número par.

41 tiene dos soluciones; 409 tiene tres conjuntos de soluciones. Es decir, 4/41 = 1/(12×1) 1/(12×6) 1/(12×65438

4/41=1/(6×3) 1/( 6× 4) 1/(6×3×4×41)=1/18 1/24 1/2952

-41×6 247×1=1

7. ×6 (-41)×1=1

Y el segundo conjunto de soluciones;

-41×4 55×3=1

31× 4 (- 41×3)=1

La fórmula (2) tiene soluciones para todos los valores de p, pero no para todas las soluciones (por ejemplo, 4/41 tiene siete conjuntos de soluciones, pero la fórmula (2) solo prueba 4/. p = 1/AB 1/AC 1/ABCP

Tenga en cuenta la diferencia entre la solución universal y todas las soluciones

En la década de 1970, la gente propuso 5. /. En el caso de P, todos los números primos P se pueden expresar como 5R 1. 5R 2; 5R 4 forma

Para P= 5R 4, 5/(5R 4)= 1. /(r 1. ) 1/[(5R 4)(r 1)]

Cualquiera: 1/n = 1/(n 1) 1/[n(n 1)]

Por ejemplo, 5/9=1/2 1/18 y 1/2 = 1/3 1/6 o 1/18 = 1/19 1/(18×19)

Para P=5R 3, 5/(5R 3)= 1/(r 1) 2/[(5R 3)(r 1)].

Cualquiera de ellos: 2/n =. 1/[(n 1) /2] 1/[n(n 1)/2]

Por ejemplo, 5/13=1/3 2/39, 2/39 = 1/[( 39 1)/2] 1/[ 39×(39 65438

Para P=5R 2, 5/(5R 2)= 1/(r 1) 3/[(5R 2)(). r 1)].

R debe ser un número impar, (R 1) debe ser un número par.

y: 3/[(5r 2)(r 1)]= 1/[(5r 2)(r 1)] 1/[(5r 2)(r 65438 )

Por ejemplo, 5/37 = 1/8 3/(37×8) y 3/(37×8) = 1/(37×8) 1/(37×4);

Para P=5R 1,

Supongamos 5/p = 1/AB 1/AC 1/ABCP(8).

5ABC=PC PB 1 (9)

A=(PC PB 1)/5BC (10).

También se puede organizar en (6) y (7), y hay soluciones. B C=forma 5K-1.

Las siguientes son algunas soluciones de los números primos p=5R 1.

5/11 = 1/3 1/9 1/99, A=3, B=1, C=3, T=34, S = 4; 31 = 1/7 1/56 1/1736, A=7, B=1, C=8, T=248, S = 4;

5/41 = 1/9 1/93 1 /11439, A=3, B=3, C=31, T=424, S = 4;

5/61 = 1/14 1/95 1/81130, A=1, B= 14, C=95, T=414, S = 9;

5/71 = 1/15 1/267 1/94785, A=3, B=5, C=89, T=1264 , S = 4;

5/101 = 1/21 1/531 1/375417, A=3, B=7, C=177, T=2554, S = 4;

5/131 = 1/27 1/885 1/1043415, A=3, B=9, C=295, T=4294, S = 4;

El método es el mismo que 4/P, complételo usted mismo.

¿Por qué las fórmulas (6) y (7) deben tener solución?

Dos ecuaciones binarias lineales indefinidas:

a1x b1y=1

a2x b2y=1.

La condición suficiente para la solución es (a 1 B2-a2 b 1)|(a 1-a2); (a 1 B2-a2 b 1)|(B2-b 1).

Examinemos una ecuación lineal indefinida en dos variables:

ax by=1. (14)

Según el teorema conocido, siempre que (a, b)=1, (14) tenga soluciones para los números enteros x, y, y haya infinitos conjuntos de soluciones.

Por ejemplo, 5x-2y=1.

x; y

-

1, 2

3, 7; ;

7, 17;

9, 22;

11, 27; p>15, 37;

17, 42;

19, 47;

.............

En otras palabras, en la fórmula (14), X e Y también son números primos. Esta es la base para que las ecuaciones simultáneas tengan soluciones públicas. Ahora reemplacemos a y b con x e y.

Tome el ejemplo anterior. Reemplace 5x-2y=1 con 5a-2b=1, x=5, y=2.

3x-7y=1

17x-42y=1

Formar una ecuación binaria lineal indefinida de dos variables.

5x-12y=1

19x-47y=1

7x-17y=1

Formar una ecuación indeterminada lineal binaria ternaria .

La fórmula (4) se puede expresar como una fórmula de número primo:

p=(4ABC-1)/(C B). Por ejemplo, cuando p=41, 41 =. (4x 6 x3 x 4-1)/(4 3) =(5x3x 3x 31-1)/(31 3); 41 =( 7x 1x7x 36-1)/(7 36 = (8x 6 x 1x 6-1)/(1 6 = (9x 1x6x 19-1)/(6 19); /p>

41 =(10x 1x6x 13-1)/(6 13 = (11x 1x4x 55-1)/(4 55);; );; 41 = (13x 1x4x 15-1)/(4 15

41 = (14x 1x3x 124-1)/(3 124); . Es válido hasta n = 15:41 =(nABC-1)/(B C).

La gente entonces preguntaba: ¿Es todo n

p=(nABC-1)/(B C).

La fórmula de números primos que contiene tres variables desconocidas puede encontrar todos los números primos:

P=(4ABC-1)/(B C). (15).

La ecuación (15) se puede aplicar a todos los números primos de la forma p=4r 1.

Por ejemplo 17. :17 =(4x3x2x 5-1)/(2 5).

La ecuación (15) es para todos los números primos en la forma de p=4r 3, A=(P 1)/4, B=1, C=P 1. Por ejemplo, 11 =(4x3x 1x 12-1)/(1 12).

Para el número complejo n=4r 3. n=(4xBXC-1)/(BC).

Por ejemplo, 51 = (4x 13x 664-1)/(13 664). B=(P 1)/4, C=n(n 1)/4 1.

De hecho, este problema está lejos de estar resuelto.

La partitura de música egipcia, este tema antiguo que alguna vez fue menospreciado por la gente, contiene un contenido rico y muchos misterios novedosos están esperando a que la gente lo descubra.