¿El proceso de demostración del "conjunto infinito" del matemático alemán Cantor?

El tamaño de un conjunto finito es fácil de determinar, basta con contar el número de elementos, pero el tamaño de un conjunto infinito no es tan sencillo. De hecho, todavía hay una diferencia en el tamaño del "infinito". El conjunto infinito más pequeño es el conjunto de números naturales (su potencial se llama aleph-0). La equipotencialidad de los conjuntos se define de la siguiente manera: si hay una biyección del conjunto A al conjunto B, entonces se dice que A y B son equipotenciales. Es decir, para un conjunto infinito, si existe una correspondencia uno a uno entre sus elementos y los elementos del conjunto de números naturales, entonces es equivalente al conjunto de números naturales. Otra forma de expresarlo es que hay una manera de enumerar los elementos en el conjunto sin omitirlos (por supuesto, este proceso de enumeración también continúa infinitamente y solo necesita especificar un orden para asegurarse de que no se omita ningún elemento). por lo que este tipo de conjunto también se llama conjunto contable/contable. De esto podemos sacar algunas conclusiones que parecen raras (en realidad no lo es, pero no estamos acostumbrados a este tipo de pensamiento), como el conjunto de números enteros positivos y el conjunto de números pares positivos, ¿cuál es mayor? De hecho, los dos son iguales, porque obviamente existe un mapeo uno a uno de *2. De hecho, todos los números enteros también forman un conjunto contable. Podemos especificar este orden: {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...}. Además, todos los números racionales también forman un conjunto contable, porque los números racionales se pueden expresar en forma de fracciones. Podemos enumerarlos en orden de valores crecientes (numerador y denominador), como se muestra a continuación: 1/1 1/. 2 1/3 1/4...

2/1 2/2 2/3 2/4...

3/1 3/2 3/3 3/ 4 ...

4/1 4/2 4/3 4/4...

...enumerados en orden diagonal de arriba a la derecha a abajo a la izquierda (omita los que ya aparece): {1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1...} Aquí se omiten los números negativos, real Los números negativos superiores se pueden enumerar alternativamente con los números positivos correspondientes de acuerdo con el método anterior de enumerar todos los números enteros, de modo que se puede garantizar que cualquier número racional aparezca en una determinada posición. Entonces el conjunto de los números racionales también es un conjunto contable. Sin embargo, si se amplía aún más el alcance, el conjunto de números reales ya no es un conjunto contable. Cantor utilizó el "método diagonal" para hacer una gran prueba. Este método se expresa de la siguiente manera: Suponiendo que el conjunto de números reales es un conjunto contable, entonces debemos poder encontrar un método de enumeración, similar al siguiente: 0.489545684646...

0.334353564646...

0.576868767564 ...

0.389395896846...

...ignorando la parte entera, podemos construir un nuevo número real cuyo primer decimal sea diferente de la secuencia El primer decimal del primer número de la secuencia es diferente de (4), el segundo decimal es diferente del segundo decimal del segundo número de la secuencia (3), el tercer dígito es diferente de (6 ), y el cuarto dígito es diferente de (3)... El nuevo número obtenido de esta manera no debe ser igual a ningún número de la secuencia, pero es un número real. Según el supuesto, debería estar en a. determinada posición en la secuencia, por lo que se obtiene una contradicción. Por tanto, el conjunto de los números reales no es un conjunto contable.