Clasificación de números de permutación

A partir de N elementos diferentes, cualquier m (m≤n) elementos se organiza en un orden determinado en una columna, lo que se denomina disposición de M elementos entre N elementos diferentes tomados de n; El número de todas las permutaciones de m (m ≤ n) elementos de n elementos diferentes se denomina número de permutaciones de m elementos tomados de n elementos diferentes, representado por el símbolo A (n, m) o P (n, m).

A(n,m)= n(n-1)(n-2)......(n-m 1)= n! /(Nuevo Méjico)! (Cuando n=m, el denominador de la fórmula anterior es 0!=1).

Fórmula de combinación y cálculo

Tome cualquier m de N elementos diferentes (m≤n ) elementos y agruparlos se llama combinación de M elementos tomados de N elementos diferentes el número de todas las combinaciones de m (m ≤ n) elementos tomados de n elementos diferentes se llama combinación tomada de n elementos diferentes El número de combinaciones de m elementos; del elemento. Utilice símbolos.

C(n,m) representa. (c es combinación).

C(n,m)=A(n,m)/m! =n! /((n-m)!*m!);C(n,m)=C(n,n-m);

3. Otras fórmulas de permutación y combinación

R entre N elementos El número de permutaciones cíclicas de elementos =A(n,r)/r=n! /r(n-r)! .

Los n elementos se dividen en K categorías, y el número de cada categoría es n1, n2,...nk. ¡El número total de disposiciones de estos N elementos es

n! /(n1!*n2!*...*nk!).

El número de elementos de tipo k es infinito y el número de combinaciones de M elementos es C(m k-1 , M ).

Dos principios básicos de conteo y sus aplicaciones

(1) Principio de suma y método de conteo de clasificación

1 Principio de suma

2. Forma de recopilación del principio de suma

Requisitos de clasificación

Cada método en cada clase puede completar esta tarea de forma independiente, los métodos específicos en los dos métodos diferentes son diferentes entre sí (es decir, la clasificación; no es pesado); cualquier método para completar esta tarea pertenece a una determinada categoría (es decir, no falta la clasificación)

(2) Principio de multiplicación y método de conteo de pasos.

1. Principio de multiplicación

2. Requisitos razonables paso a paso

Un método en cualquier paso no puede completar esta tarea solo completando estos n. los pasos pueden completar esta tarea continuamente; cada paso es independiente entre sí; siempre que el método utilizado en un paso sea diferente, el método correspondiente para completarlo también es diferente.

[Análisis de ejemplos] Conferencias seleccionadas sobre métodos de pensamiento de permutación y combinación

1.

Ejemplo 1. Una secuencia aritmética se forma a partir de 1, 2, 3,... y 20, y secuencias aritméticas tan diferentes son _ _ _ _ _ _.

Análisis: Primero, los antecedentes complejos de la vida u otros antecedentes matemáticos deben transformarse en problemas claros de permutación y combinación.

Supongamos que a, b, c son iguales, ∴ 2b=a c, sabemos que b está determinado por a, c

Y ∵ 2b es un número par, ∴ a, c son números pares o impares, es decir, seleccione dos números de los diez números 1, 3, 5, ..., 19 o 2, 4, 6, 8, ..., 20 para ordenarlos, de modo que los Se puede determinar la secuencia aritmética.

Ejemplo 2. Una ciudad tiene cuatro calles de este a oeste y seis calles de norte a sur, con el mismo espaciamiento entre calles, como se muestra en la figura. Si se estipula que sólo se puede ir en dos direcciones a lo largo de la ruta de la figura, ¿cuántas maneras diferentes hay de M a N?

Análisis: El análisis del fondo real se puede realizar capa por capa.

(1) De M a N, debes subir tres pasos, cinco pasos hacia la derecha y ocho pasos hacia * * *.

(2) Que cada paso sea ascendente o correcto determina los diferentes caminos a seguir.

(3) De hecho, cuando se decide el paso hacia arriba, los pasos restantes solo pueden moverse hacia la derecha.

Entonces, la tarea se puede describir como: elija qué tres pasos subir de los ocho pasos, y luego podrá determinar el número de pasos.

La respuesta a esta pregunta es: 56.

2. Presta atención a las características del principio de suma y del principio de multiplicación, y analiza si es clasificación o paso a paso, permutación o combinación.

Ejemplo 3. En un campo de lado a lado con 10 caballones, elija dos caballones para plantar los cultivos A y B respectivamente, y un caballon de cada tipo. Para facilitar el crecimiento del cultivo, se requiere que el intervalo entre dos cultivos sea de al menos 6 crestas. Existen _ _ _ _ _ _ diferentes métodos de selección.

Análisis: La condición de que "la distancia entre los cultivos A y B no sea inferior a 6 crestas" no se puede expresar fácilmente mediante una fórmula que incluya el número de filas y combinaciones, por lo que se adopta un método de clasificación.

La primera categoría: A está en la primera cresta y B tiene tres opciones;

La segunda categoría: A está en la segunda cresta y B tiene dos opciones;

La tercera categoría: A está en la tercera cresta y B tiene una opción.

De manera similar, las posiciones de A y B se intercambian, hay 12 maneras.

Ejemplo 4. Elija 4 pares de guantes de 6 pares de guantes de diferentes colores, uno de los cuales es del mismo color _ _ _ _ _ _ _ _ _.

240(B)180(C)120(D)60

Análisis: Obviamente este problema debe resolverse paso a paso.

(1) Hay seis formas de seleccionar un par de guantes del mismo color entre seis pares de guantes, C(6, 1) = 6

(2) De; el resto Elija un guante entre diez. Hay métodos C(10,1)=10.

(3) Hay ocho formas de seleccionar un guante de los ocho guantes, excepto los dos pares de guantes anteriores: C(8, 1) = 8

(4 ) Porque; la selección no tiene nada que ver con el orden, los métodos de selección en (2) y (3) se repiten una vez, por lo que hay ***240 tipos.

Ejemplo 5. Seis personas de diferentes alturas están dispuestas en 2 filas y 3 columnas. Todos los de la primera fila son más bajos que las personas de detrás de la misma fila, por lo que el número de todos los arreglos diferentes es. _ _ _ _ _.

Análisis: Siempre que se seleccionen dos personas en cada columna, solo hay una forma de ubicarse, por lo que el método de cola en cada columna solo está relacionado con el método de selección de esta persona. * * *Hay tres columnas, por lo que hay 90 tipos de C(6.2)* C(4.2)* C(2.2)= C

Ejemplo 6. Entre los 11 trabajadores, 5 solo pueden ser cerrajeros , y 4 Solo puede ser torno, los otros 2 pueden ser cerrajero y torno. Ahora, entre las 11 personas, 4 son seleccionadas como instaladores y 4 como tornos. ¿Cuántos métodos de selección diferentes existen?

Análisis: Utilizando el principio de la suma, primero debemos asegurarnos de que no se pierda ningún punto sin sopesar. ¿Cómo hacer esto? Los criterios de clasificación deben ser consistentes.

Tome dos trabajadores generales como objeto de clasificación y considere utilizar a varios de ellos como cerrajeros como estándar de clasificación.

Categoría 1: Ambas personas trabajan como cerrajeros, tipos C(7,4)=35

Categoría 2: Una de las dos personas trabaja como cerrajero. Hay 75; tipos de ajustadores: C (6, 4) * C (5, 4);

La tercera categoría: ninguno de los dos son ajustadores, C (5, 4) * C (6, 4) Hay 75 especies en total.

Entonces hay 185 tipos**.

Ejemplo 7. Hay seis tarjetas impresas con 0, 1, 3, 5, 7 y 9. Si se permite usar el 9 de 6 maneras, ¿cuántos números diferentes de tres dígitos se pueden formar sacando tres cartas al azar?

Análisis: Algunos estudiantes piensan que simplemente multiplican el número de permutaciones de 0, 1, 3, 5, 7 y 9 por 2, pero en realidad, si hay 9 en los tres números, hay Tal vez utilice 6 en su lugar, así que asegúrese de ordenarlos.

Los tres números extraídos contienen 0 y 9, hay 4*4*2=32 formas;

Los tres números extraídos contienen 0 pero no 9, hay 6* 4= 24 formas;

Los tres números extraídos contienen 9 pero no 0, hay 6*6*2=72 formas;

Los tres números extraídos no contienen 9 ni incluyen 0, hay 4×6=24 formas.

***152 especies.

Ejemplo 8. El estacionamiento tiene una fila de 12 espacios de estacionamiento. Hoy hay 8 coches por aparcar y las plazas de aparcamiento vacías deben conectarse entre sí. Las diferentes formas de aparcar son _ _ _ _ _ _.

Análisis: trate el espacio de estacionamiento vacío como un elemento y organícelo con ocho automóviles y nueve elementos, por lo que * * * existen métodos de estacionamiento P (9.8).

3. Se debe dar prioridad a los elementos especiales; posiciones especiales, prioridad

Ejemplo 9. Seis personas estaban en fila pidiendo limosna.

(1) El número de permutaciones en las que A no está al principio y B no está al final.

(2) El número de líneas en las que A no está al principio, B no está al final y A y B no son adyacentes.

Análisis: (1) Primero considere la primera fila y la última fila, pero estos dos requisitos se afectan entre sí, así que considere la clasificación.

La primera categoría: B está a la cabeza y existe un método de stop loss p (5,5).

La segunda categoría: B no está en la primera fila y, por supuesto, no puede estar en la última fila. También existe un método de parada 4X4XP (4, 4).

***p(5,5) 4X4XP(4,4)=504 método de estación.

(2) La primera categoría: A está en la cola, B está en la cabeza y hay un método P (4, 4).

Categoría 2: A está al final de la cola y B no está a la cabeza. Existen métodos 3XP (4, 4).

Categoría 3: B es pionero, A no es pionero. Existe el método 4XP (4, 4).

Categoría 4: A no está al final de la cola y B no está a la cabeza. Existe el método P(3,3)XP(4,4).

* * * p (4, 4) 3xp (4, 4) 4xp (4, 4) p (3, 3) xp (4, 4) = 312 especies.

Ejemplo 10. Se prueban uno por uno seis productos auténticos diferentes y cuatro productos defectuosos diferentes de un producto hasta que se identifican todos los productos defectuosos. Si la quinta prueba encuentra todos los productos defectuosos, ¿cuántos métodos posibles de prueba existen?

Análisis: El significado de esta pregunta es que el producto probado por quinta vez debe estar defectuoso, y también es la última vez, por lo que la quinta prueba debe usarse como una posición especial y completarse paso a paso. paso.

El primer paso: La quinta prueba tiene posibilidades C (4.1);

El segundo paso: Las primeras cuatro veces hay posibilidades C (6.1) para productos genuinos.

Paso 3: Hay posibilidades P (4.4) en los primeros cuatro tiempos.

C(4.1)* C(6.1)* P(4.4)

Encuadernación e inserción

Ejemplo 11. 8 personas en fila.

(1) A y B deben ser adyacentes (2) A y B no son adyacentes.

(3) A y B deben ser adyacentes y C no debe ser adyacente. (4) A y B deben ser adyacentes y C debe ser adyacente.

(5) El Partido A y el Partido B no son adyacentes, y el Partido B y el Partido D no son adyacentes.

(1) A y B deben ser adyacentes, es decir, A y B están unidos (A y B se pueden intercambiar) y 7 personas están dispuestas en P (7.7) *2.

(2) Las partes A y B no son adyacentes P(8.8)-P(7.7)*2

(3) Las partes A y B deben ser adyacentes y no pueden ser adyacente al Partido C.

1. El Partido A y el Partido B deben ser adyacentes y adyacentes al Partido C, P(6.6)*2*2.

El Partido A y el Partido B deben ser adyacentes y no adyacentes al Partido C P(7.7)*2-P(6.6)*2*2.

(4) La Parte A y la Parte B deben ser adyacentes, y la Parte B debe ser adyacente a P(6.6)*2*2.

(5) El Partido A y el Partido B no son adyacentes, y el Partido B y el Partido D no son adyacentes.

P(8.8)-P(7.7)*2*2 P(6.6)*2*2

Ejemplo 12. Alguien disparó 8 tiros, 4 tiros y exactamente 3 tiros seguidos. ¿Cuántas situaciones diferentes hay?

Análisis: ∵Tres hits consecutivos no pueden ser adyacentes a un solo hit, por lo que este es un problema de inserción de espacios. Además, no hace ninguna diferencia si no peleas, por lo que no es necesario contar. Es decir, la disposición de dos de los cinco cañones de aire comprimido se formó entre los cuatro cañones vacíos, es decir, P(5,2).

Ejemplo 13. Hay diez farolas, numeradas 1, 2, 3,..., 10 en la carretera. Para ahorrar energía y ver la carretera con claridad, puede apagar tres luces, pero no se pueden apagar dos o tres luces adyacentes al mismo tiempo.

¿Cuántas formas hay de apagar una luz calificada?

Análisis: Las luces que se apagan no pueden ser contiguas ni en ambos extremos. Como no hay diferencia entre las luces, el problema es elegir las tres luces vacías para apagarlas en los seis espacios formados por las siete luces sin incluir los dos extremos.

∴ * *c (6.3) = 20 métodos.

4. Método de conteo indirecto. (1) Método de eliminación

Ejemplo 14. Tres filas y tres columnas con nueve puntos. ¿Cuántos triángulos se pueden formar con estos puntos como vértices?

Análisis: Algunos problemas son difíciles de resolver directamente y se pueden utilizar métodos indirectos.

El número de métodos de resolución de problemas = el número de combinaciones de tres puntos cualesquiera - el número de métodos de tres puntos en la línea recta * * *,

* * * especies .

Ejemplo 15. ¿Cuántos tetraedros se pueden formar tomando cuatro de los ocho vértices del cubo?

Análisis: el número de métodos de resolución de problemas = el número de combinaciones de cuatro puntos cualesquiera -* * *El número de métodos de cuatro puntos en el plano,

* * * -12 = 70-12 = 58.

Ejemplo 16. l, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 1

Análisis: Porque la base no puede ser 1.

(1) Al seleccionar 1, 1 debe ser un número real.

(2) Cuando no se selecciona 1, elija dos de 2-9 como base, números reales y * * *, donde log24=log39, log42=log93, log23=log49, log32=log94.

Entonces un * * * tiene 53.

(3) Inventa un escenario ficticio y conviértelo en un problema familiar.

Ejemplo 17. Se alinean seis personas y se requiere que A esté frente a B (no necesariamente adyacente). ¿Cuántas formas diferentes hay? ¿Qué pasa si se requiere que los partidos A, B y C se organicen de izquierda a derecha?

Análisis: (1) De hecho, A está delante de B y A está detrás de B. Son simétricos y tienen el mismo número de disposiciones. Entonces hay = 360 especies.

(2) Primero, considere la disposición completa de seis personas; en segundo lugar, A, B y C solo pueden estar en un orden, por lo que los números de la fila anterior se repiten, ∴ ***120.

Ejemplo 18.5 Los equipos de voleibol masculino y femenino forman una fila, y los niños deben ordenar del más alto al más bajo. ¿Cuántas formas diferentes hay?

Análisis: En primer lugar, independientemente de los requisitos de posición de los niños, hay * * * tipos, solo hay un método de posición para los niños de izquierda a derecha en orden de alto a bajo, por lo que lo anterior El método de pie se repite varias veces. Entonces hay =9×8×7×6=3024 tipos.

Si los niños van de derecha a izquierda en orden del más alto al más bajo, solo hay una manera de pararse, y hay 3024 maneras de la misma manera, por lo que hay 6048 maneras.

Ejemplo 19. Se alinean tres bolas rojas idénticas y dos bolas blancas diferentes. ¿Cuántas formas * * * diferentes hay?

Análisis: Primero, se cree que las tres bolas rojas son diferentes entre sí, y existen * * * métodos. Debido a que las tres bolas rojas ocupan la misma posición, * * * cambia, entonces *** = 20 tipos.

Uso de deflectores

Ejemplo 20.10 Las cuotas se asignan a ocho clases, y cada clase tiene al menos una cuota. ¿Cuántos métodos de asignación diferentes existen?

Análisis: Trate las 10 posiciones como diez elementos. En los nueve espacios formados entre estos diez elementos, seleccione siete posiciones para colocar el deflector, de modo que cada método de colocación sea equivalente a un método de asignación. Entonces ***36 tipos.

6. Preste atención a las diferencias y conexiones entre permutaciones y combinaciones: se puede considerar que todas las permutaciones toman la combinación primero y luego hacen la disposición general de manera similar, como agregar una etapa (clasificación); , se puede transformar en un problema de permutación.

Ejemplo 21. Elija dos números pares y tres números impares de 0, L, 2

Análisis: seleccione primero y luego clasifique. Además, se debe considerar la selección de elementos especiales 0.

(1) Si los dos números pares seleccionados contienen 0, hay una semilla.

(2) Si los dos números pares seleccionados no contienen 0, hay una semilla.

Ejemplo 22. El ascensor tiene capacidad para 7 pasajeros y se detiene en cada piso del edificio de 10 pisos. Si salen tres pasajeros del mismo piso, otros dos salen del mismo piso y los dos últimos salen de un piso diferente, ¿cuántas maneras diferentes hay?

Análisis: (1) Primero divida a los siete pasajeros en cuatro grupos: tres pasajeros, dos pasajeros, un pasajero y una persona.

(2) Selecciona cuatro de los 10 pisos y baja.

* * *Tienes agallas.

Ejemplo 23. Usa los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5 para formar un número de cuatro dígitos sin repetir números.

(1) ¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar?

(2)¿Cuántos números pares diferentes de cuatro cifras se pueden formar?

(3) ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden dividir entre 3?

(4) Ordena los cuatro dígitos en (1) de pequeño a grande ¿Cuáles son los 85 elementos?

Análisis: (1) Hay 5*5*4*3=300.

(2) se divide en dos categorías: 0 en la parte inferior, hay semillas; 0 no está en la parte inferior, hay semillas.

* * * * *Especie.

(3) Primero, enumera los cuatro números cuya suma puede ser divisible por 3 de menor a mayor, es decir, elige primero.

0, 1, 2, 3

0, 1, 3, 5

0, 2, 3, 4

0 , 3, 4, 5

1, 2, 4, 5

Los números que ordenan deben ser divisibles por 3, y luego ordenados quedan: 4×() = 96 tipos.

(4) El primero con 1 tiene = 60.

Los dos primeros dígitos son 20 =12.

Los dos primeros dígitos son 21 =12.

Por lo tanto, el elemento 85 es el número más pequeño cuyos dos primeros dígitos son 23, que es 2301.

7. Problema de agrupación

Ejemplo 24. 6 libros diferentes

(1) Reparta dos libros a tres personas A, B y C. ¿Cuántas formas diferentes hay?

(2) Divídelo en tres montones, con dos libros en cada montón. ¿Cuántas formas diferentes hay?

(3) Dividido en tres montones, un montón, dos montones y tres montones, ¿cuántas formas diferentes hay?

(4) A, B, C, ¿cuántas formas diferentes hay?

(5) Dáselo a la Parte A, a la Parte B y a la Parte C, uno para cada persona, dos para cada persona y tres para la tercera persona. ¿Cuántas formas diferentes hay?

Análisis: (1) Moderado.

(2) es quitar el orden basado en (1) y tener semillas.

(3) Hay semillas. Debido a que se trata de una agrupación desigual, no se incluye ningún orden.

(4) Hay uno. Al igual que (3), la razón es que las tenencias de A, B y C son ciertas.

(5) Hay semillas.

Ejemplo 25. Seis personas se sientan en dos autos diferentes. Cada auto tiene capacidad para cuatro personas, por lo que las diferentes formas de viajar son _ _ _ _ _ _.

Análisis: (1) Considere dividir 6 personas en 2 y 4 personas, y 3 y 3 personas en dos grupos respectivamente.

Categoría 1: Dividir equitativamente en grupos de 3 personas. Hay una manera.

Categoría 2: Dividir en grupos de 2 y 4 personas. Hay una manera.

(2) Considere dos autos diferentes.

Integral ①②, hay semillas.

Ejemplo 26.

Cinco estudiantes fueron asignados a cuatro grupos de tecnología diferentes para participar en las actividades. Cada grupo de tecnología tiene al menos un estudiante participando, por lo que hay _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Análisis: ( 1) Primero divida a los cinco estudiantes en dos grupos. , una persona en cada grupo y una persona en cada grupo.

Implica dividir en cuatro grupos por igual, y existen tipos de métodos de agrupación.

(2) Considere asignarlos a cuatro grupos de tecnología diferentes. Hay un tipo,

Según (1) y (2), ***=240 tipos.