Principio del cajón

Principio del cajón Hay diez manzanas sobre la mesa. Debes colocar estas diez manzanas en nueve cajones. No importa cómo las coloques, algunos cajones pueden contener una, otros dos y otros. cinco, pero eventualmente descubriremos que al menos podemos encontrar un cajón con al menos dos manzanas dentro. Este fenómeno es lo que llamamos principio del cajón.

El significado general del principio del cajón es: "Si cada cajón representa un conjunto, cada manzana puede representar un elemento. Si hay n+1 o más de n+1 elementos colocados en n conjuntos, donde Debe haber al menos dos elementos en un conjunto. "

El principio del cajón a veces se llama principio del casillero ("Si hay cinco jaulas para palomas y el criador de palomas cría 6 palomas, entonces cuando las palomas vuelan). De vuelta a la jaula, al menos una jaula contiene 2 palomas"). Fue propuesto claramente por primera vez por el matemático alemán Dirichlet y utilizado para demostrar algunos problemas en la teoría de números. Por lo tanto, también se le llama principio de Dirichlet. Es un principio importante en combinatoria.

1. La forma más común del principio del cajón

Principio 1 Si se colocan más de n objetos en n cajones, al menos un cajón contendrá 2 o más objetos.

[Prueba] (Prueba por contradicción): Si cada cajón solo puede colocar como máximo un objeto, entonces el número total de objetos es como máximo n, no n+k (k≥1) como se establece en la pregunta. Esto no es cierto. Posiblemente.

Principio 2 Si se colocan más de mn objetos en n cajones, entonces al menos un cajón contiene m+1 o más de m+1 objetos.

[Prueba] (Prueba por contradicción): si cada cajón puede poner como máximo m objetos, entonces n cajones pueden poner como máximo mn objetos, lo cual es inconsistente con la pregunta, por lo que es imposible.

Los principios 1 y 2 son expresiones del principio del primer cajón

El principio del segundo cajón:

Coloque (mn-1) objetos en n cajones, entre los cuales hay debe haber como máximo (m-1) objetos en un cajón.

[Prueba] (Prueba por contradicción): si cada cajón tiene no menos de m objetos, entonces hay al menos mn objetos en total, lo cual es inconsistente con la pregunta, por lo que es imposible

2. Aplicar el principio del cajón para resolver problemas

El contenido del principio del cajón es conciso, simple y fácil de aceptar. Desempeña un papel importante en los problemas matemáticos. Con él se pueden resolver muchas pruebas de existencia.

Ejemplo 1: Al menos dos de las 400 personas tienen el mismo cumpleaños.

Solución: Piensa en los 366 días de un año como 366 cajones, y las 400 personas como 400 objetos. , según el Principio del Cajón 1, podemos saber que al menos dos personas tienen el mismo cumpleaños.

Otro ejemplo: si encontramos al azar 13 personas de la calle, podemos concluir que al menos dos de ellas. tienen el mismo signo del zodíaco.

"Elige 6 de 5 pares de guantes, al menos 2 de ellos son exactamente un par de guantes". números 1, 2,..., 10 Tome 6 números, al menos 2 de los cuales tengan números pares e impares diferentes ”

Ejemplo 2: El jardín de infantes compró un montón de conejos blancos, pandas y jirafas. juguetes de plástico, y cada niño seleccionó dos al azar, así que no importa cómo elijas, siempre habrá dos juguetes elegidos entre siete niños. Intenta explicar el motivo.

Solución: elige dos juguetes. de tres tipos de juguetes La única forma de combinarlos es la siguiente Seis especies: (conejo, conejo), (conejo, panda), (conejo, jirafa), (panda, panda), (panda, jirafa), (jirafa). , jirafa). Piense en cada método de combinación como un cajón y siete niños como objetos. Luego, según el principio 1, se deben colocar al menos dos objetos en el mismo cajón, es decir, al menos dos personas deben utilizar el mismo método de combinación al seleccionar juguetes. Los juguetes seleccionados son los mismos.

Los ejemplos anteriores parecen demostrar las cuestiones de "existir", "siempre tener" y "al menos tener". Sí, esta es la función principal del cajón. principio (Es necesario explicar. Lo extraño es que el uso del principio del cajón solo afirma "existencia", "siempre he tenido" y "al menos hay", pero no puede indicar con precisión cuántos existen en cada cajón).

Aunque el principio del cajón es simple, su aplicación es difícil. Es muy amplio y puede responder muchas preguntas interesantes, algunas de las cuales son bastante difíciles. Estudiemos algunos temas relacionados a continuación.

(1) Problema de divisibilidad

Divida todos los números enteros en m categorías según el resto después de dividir por un determinado número natural m, que se denomina categoría de resto o categoría de congruencia de m. Utilice [0], [1], [2],…, [m-1] significa. Cada clase contiene números infinitos. Por ejemplo, [1] contiene 1, m+1, 2m+1, 3m+1,… En el estudio de la división de enteros, al resolver problemas, la clase restante se utiliza a menudo como cajón. Según el principio del cajón, se puede demostrar que entre n + 1 números naturales, siempre hay dos números naturales cuya diferencia es. un múltiplo de n.

Ejemplo 1 Demuestra: Toma 8 números naturales cualesquiera, la diferencia entre dos números debe ser múltiplo de 7.

El análisis y las soluciones a problemas relacionados con la división de números enteros tienen esta propiedad. Si dos números enteros a y b tienen el mismo resto al dividirlos por el número natural m, entonces su diferencia a-b es múltiplo de m. Para esta propiedad, esta pregunta solo necesita demostrar que hay 2 números naturales entre estos 8 números naturales, y los restos cuando se dividen por 7 son iguales. Podemos dividir todos los números naturales entre 7 para obtener 7 restos diferentes: 0. , 1, 2, 3, 4, 5 y 6 se dividen en siete categorías, es decir, 7 cajones. Según el principio del cajón, debe haber dos números en el mismo cajón. los restos de dividirlos por 7 son iguales por lo tanto estos dos números la diferencia debe ser múltiplo de 7.

Ejemplo 2: Para cinco números naturales cualesquiera, demuestra que la suma de 3 de ellos debe ser divisible por 3.

Demuestra que ∵ el resto obtenido al dividir cualquier número entre 3 puede solo ser 0, 1 y 2 se pueden construir como 3 cajones respectivamente:

[0], [1], [2]

① Si estos cinco números naturales se dividen por 3, el resultado Los restos se distribuyen en estos 3 cajones respectivamente Si sacamos 1 de cada uno de estos tres cajones, la suma debe ser divisible por 3.

② Si estos 5 restos se distribuyen en dos de. los cajones, entonces debe haber un cajón que contenga 3 restos (principio del cajón), y la suma de estos tres restos es 0, 3 o 6, por lo que la suma de los tres números naturales correspondientes es 3 múltiplos.

③Si estos 5 restos se distribuyen en uno de los cajones, es obvio que la suma de 3 números naturales debe ser divisible por 3.

Ejemplo 2′: Para 11 enteros cualesquiera, demuestra que debe haber 6 números entre ellos, y su suma puede ser divisible por 6.

Demostración: Sean estos 11 números enteros: a1, a2, a3...a11 y 6=2 ×3

① Considere primero la situación de ser divisible por 3

Del ejemplo 2, sabemos que entre 11 enteros arbitrarios, debe haber:

3|a1+ a2+a3 , establezcamos a1+a2+a3=b1;

De manera similar, entre los 8 enteros arbitrarios restantes, del Ejemplo 2, debe haber: 3 | a4+a5+a6. b2;

De la misma manera, entre los cinco enteros arbitrarios restantes, hay: 3|a7+a8+a9, suponiendo: a7+a8+a9=b3

②Considere nuevamente que b1, b2 y b3 son divisibles por 2.

Según el principio del cajón, al menos dos de los tres enteros b1, b2 y b3 son homoimpares o homopares, y estos dos son homo-impares La suma de enteros impares (u homopares) debe ser par 2|b1+b2

entonces: 6|b1+b2, es decir: 6|a1+a2+a3. +a4+a5+ a6

∴Para 11 enteros cualesquiera, la suma de 6 números debe ser múltiplo de 6.

Ejemplo 3: Dados 7 números naturales diferentes, demuestra que hay deben ser dos números enteros, cuya suma o diferencia sea múltiplo de 10.

Análisis: observe que estos números se basan en el resto de 10, que es el dígito único, y 0, 1,. ..,9 se utilizan como estándar para hacer 10 cajones, marcados con [0], [1], ..., [9]. Si dos números caen en el mismo cajón, la diferencia es múltiplo de 10, pero. solo hay 7 números naturales. Parece inconveniente utilizar el principio del cajón y hacer ajustes: los cuatro cajones [6], [7], [8] y [9] se fusionan con [4], [3], [. 2] y [1] respectivamente. Se garantiza que al menos un cajón contenga dos números cuya suma o diferencia sea múltiplo de 10.

(2) Problema de área

. Ejemplo: cada una de las nueve líneas rectas divide el cuadrado en trapecios con una relación de área de 2:3. Prueba: al menos tres de estas nueve líneas rectas pasan por el mismo punto.

Prueba: como se muestra en. la figura, deja que la recta EF divida el cuadrado en dos trapecios, y traza la línea mediana MN. Como las alturas de los dos trapecios son iguales, la razón de sus áreas es igual a la razón de las longitudes medianas de las líneas, es decir, |MH|:|NH|. Entonces el punto H tiene una posición definida (está en la línea que conecta los puntos medios de un par de lados opuestos del cuadrado, y |MH|:|NH|=2:3, este punto tiene Cuatro (). es decir, H, J, I, K en la imagen). Cada una de las nueve rectas divisorias conocidas que cumplen las condiciones debe pasar por uno de los cuatro puntos H, J, I, K. Ponga H, J, If I y K. se consideran cuatro cajones y nueve líneas rectas se consideran nueve objetos, se puede concluir que debe haber tres líneas divisorias que pasen por el mismo punto.

(3) Problema de teñido

Ejemplo 1. Pintar cada cara del cubo con pintura roja o azul (cada cara sólo está pintada de un color), demostrando que deben haber tres caras del cubo del mismo color.

Demostración: Trate los dos colores como dos cajones, trate las seis caras del cubo como objetos, luego 6=2×2+2 Según el principio 2, al menos tres caras se pintan con el mismo color.

Ejemplo 2 Hay 5 niños, cada uno de ellos Saque 3 piezas de ajedrez al azar de la bolsa que contiene muchas piezas de Go blancas y negras. Demuestre que al menos dos de los 5 niños tienen la misma combinación de colores de las piezas de ajedrez extraídas.

Para analizar y responder, primero debemos determinar cuántos colores diferentes pueden tener las tres piezas de ajedrez. Hay 4 combinaciones posibles: 3 negras, 2 negras y 1 blanca, 1 negra y 2 blancas, 3 blancas. y así sucesivamente, la situación del grupo se considera como 4 cajones. Según el principio del cajón, los colores de las piezas de ajedrez extraídas por al menos dos niños están en el mismo cajón, es decir, la combinación de colores de las piezas de ajedrez que tomaron. es lo mismo.

Ejemplo 3: Supongamos que hay seis puntos en un plano y no hay una línea *** de tres puntos. Cada dos puntos están conectados con un segmento de línea rojo o azul. , pregunta si puedes. ¿No puedes encontrar un triángulo formado por estas líneas de modo que los tres lados del triángulo sean del mismo color?

Solución: Primero, puede elegir un punto de estos seis puntos y luego conectar cinco segmentos de línea desde este punto a los otros cinco puntos, como se muestra en la imagen, al menos entre estos cinco segmentos de línea. Tres segmentos de línea son del mismo tipo. El color, suponiendo que sea rojo, ahora estudiemos estas tres líneas rojas individualmente. Los otros extremos de estos tres segmentos de línea pueden ser de diferentes colores. Supongamos que uno de los tres segmentos de línea (línea discontinua) es rojo, entonces este segmento de línea roja y los otros dos segmentos de línea rojos forman el triángulo del mismo color que necesitamos. Si estos tres segmentos de línea son todos azules, entonces estos tres segmentos de línea también forman el triángulo del mismo color que necesitamos. Por lo tanto, no importa cómo esté coloreado, se puede encontrar al menos un triángulo del mismo color en todos los segmentos de línea entre estos seis puntos.

El ejemplo 3′ (Problema de reunión de seis personas) demuestra que en cualquier reunión de seis personas, hay tres personas que se conocen antes o tres personas que no se conocen antes. ”

Ejemplo 3”: Cada uno de los 17 científicos se comunica con las otras 16 personas. La comunicación entre ellos solo discute tres temas, mientras que la comunicación entre dos científicos cualesquiera discute el mismo tema. Prueba: Al menos tres científicos mantuvieron correspondencia sobre el mismo problema.

Solución: Supongamos que A es un científico que discute sólo tres temas con las otras 16 personas. Según el principio del casillero, discute el mismo tema con al menos 6 de ellos. Suponga que estos 6 científicos son B, C, D, E, F y G, y están discutiendo el problema A.

Si dos de estas seis personas también discuten el tema A, se establece la conclusión. De lo contrario, los seis sólo discutirían los temas B y C. De esta manera, sabemos por el principio del casillero que B al menos está discutiendo el mismo tema con otras tres personas. Supongamos que estas tres personas son C, D y E, y que están discutiendo el tema de B.

Si dos de C, D y E también discuten el tema B, se establecerá la conclusión. De lo contrario, sólo discuten el tema C, por lo que la conclusión también es válida.

3. Hacer cajones es clave para aplicar principios

Ejemplo 1 Toma 9 números cualesquiera de los 15 números pares 2, 4, 6,..., 30, y demuestra que la suma de dos de ellos debe ser 34 .

Análisis y Respuesta Usamos los 15 números pares de la pregunta para hacer 8 cajones:

Todos los cajones con dos números tienen la misma característica: esta La suma de los dos números es 34 . Ahora elija 9 números cualesquiera de los 15 números pares de la pregunta. Según el principio del cajón (porque solo hay 8 cajones), debe haber dos números en el mismo cajón. Debido a las características del cajón fabricado, la suma de. Estos dos números son 34.

Ejemplo 2: Selecciona al menos algunos números de los 20 números naturales 1, 2, 3, 4,..., 19 y 20, y puedes garantizar que deben incluir dos números, y su diferencia es 12.

Análisis y Solución Entre estos 20 números naturales, se encuentran los siguientes 8 pares con diferencia de 12: {20, 8}, {19, 7}, {18, 6}, {17, 5 }, {16, 4}, {15, 3}, {14, 2}, {13, 1}.

Además, hay 4 números que no pueden coincidir {9}, {10}, {11}, {12}, y finalmente se hacen 12 cajones (cada paréntesis se considera un cajón). Siempre que haya dos números extraídos del mismo cajón, su diferencia es igual a 12. Según el principio del cajón, puedes elegir al menos 13 números (toma 12 números: toma un número de cada uno de los 12 cajones (para ejemplo) Tome 1, 2, 3,...,12), entonces la diferencia entre dos números cualesquiera entre estos 12 números no debe ser igual a 12).

Ejemplo 3: Entre los 20 números del 1 al 20, si se toman 11 números cualesquiera, debe haber dos números, uno de los cuales es múltiplo del otro.

Para analizar y responder las preguntas que requiere la pregunta, debes considerar hacer cajones según el principio de que dos números cualesquiera en el mismo cajón tienen una relación múltiple. Divide estos 20 números en los siguientes diez números según. al grupo de números impares y sus múltiplos, considerados como 10 cajones (obviamente, tienen las propiedades anteriores):

{1, 2, 4, 8, 16}, {3, 6, 12}, { 5, 10, 20}, {7, 14}, {9, 18}, {11}, {13}, {15}, {17}, {19}.

Seleccione aleatoriamente 11 números de los 20 números en estas 10 matrices. De acuerdo con el principio del cajón, se toman al menos dos números del mismo cajón, ya que los dos números en el mismo cajón tienen una relación múltiple. entre estos dos números, uno debe ser múltiplo del otro.

Ejemplo 4: En el aniversario de una determinada escuela, n exalumnos vinieron y se saludaron con apretones de manos. Demuestre que, sin importar la situación, al menos dos de los n exalumnos se dieron la mano al mismo número de. veces.

Análisis y Respuesta*** Hay n ex alumnos El número de veces que cada persona da la mano es al menos 0 veces, es decir, esta persona nunca ha dado la mano a otros ex alumnos hay como máximo n; -1 veces, es decir, esta persona ha estrechado la mano de otros exalumnos. Sin embargo, si hay un exalumno que estrecha la mano 0 veces, entonces el número máximo de apretones de manos no puede ser más de n-2 veces; si hay un alumno que se da la mano n-1 veces, entonces el número mínimo de apretones de manos no puede ser inferior a 1. Ya sea el estado anterior 0, 1, 2,..., n-2 o el último estado 1 , 2, 3,..., n-1, el número de apretones de manos es solo n -1 situaciones. Piense en estas n-1 situaciones como n-1 cajones. Cada uno de los n alumnos presentes en la reunión se clasifica en. El "cajón" correspondiente según el número de apretones de manos. Según el principio del cajón, al menos dos personas pertenecen al mismo cajón. Si comparten el mismo cajón, las dos personas se dan la mano el mismo número de veces.

En algunos problemas, "cajón" y "objeto" no son obvios, y "cajón" y "objeto" deben fabricarse con cuidado. Puede ser difícil crear "cajón" y "objeto". Por un lado, es necesario analizar cuidadosamente las condiciones y problemas de las preguntas y, por otro lado, es necesario hacer más preguntas para acumular experiencia.

Principio del cajón

Coloca ocho manzanas al azar en siete cajones. No importa cómo las coloques, al menos un cajón contendrá dos o más manzanas. El principio del cajón a veces se denomina principio del casillero. Fue propuesto claramente por primera vez por el matemático alemán Dirichlet y utilizado para demostrar algunos problemas en la teoría de números. Es un principio importante en combinatoria. Extendiéndolo a situaciones generales tiene las siguientes formas.

Forma 1: Prueba: Suponga que n+1 elementos se dividen en n conjuntos A1, A2,..., An. Utilice a1, a2,..., an para representar el número de elementos correspondientes. en estos n conjuntos es necesario demostrar que existe al menos un ai mayor o igual a 2 (usando prueba por contradicción) Supongamos que la conclusión no se cumple, es decir, para cada ai, ai < 2, entonces. porque ai es un número entero, ai ≤ 1, entonces hay:

a1＋a2+…+an≤1+1+…+1=n

Forma 2: Suponga que n?m+1 elementos se dividen en n conjuntos A1, A2,..., An. Utilice a1, a2,..., an para representar el número de elementos correspondientes. en estos n conjuntos es necesario demostrar que existe al menos un ai mayor o igual a m+1. Usando prueba por contradicción) Supongamos que la conclusión no está establecida, es decir, para cada ai, ai

a1+ a2+…+an≤m+m+…+m=n? m＜n?m＋1

n m Esto es contradictorio con la pregunta. Por lo tanto, existe al menos una función gaussiana ai≥m+1

: para cualquier número real x, [x] significa "el mayor entero no mayor que x".

Para ejemplo: [3.5] =3, [2.9]=2, [-2.5]=-3, [7]=7,... Generalmente, tenemos: [x]≤x＜[x]+1

Forma 3: Prueba: Supongamos que n elementos se dividen en k conjuntos A1, A2,...,Ak. Sea a1, a2,...,ak el número correspondiente de elementos en estos k conjuntos. debe demostrarse que existe al menos un ai mayor o igual a [n/k]. (Utilice prueba por contradicción) Suponga que la conclusión no se cumple, es decir, ai<[n/k] para cada ai, por lo que existe:

a1+a2+…+ak<[n/k ]+[n/k]+… +[n/k] ＝k?[n/k]≤k?(n/k)＝n

k piezas [n/k] ∴ a1＋a2＋… ＋ak＜n Esto contradice la pregunta. Por lo tanto, debe existir un conjunto con el número de elementos mayor o igual a [n/k]

Forma 4: Prueba: Supongamos que los elementos q1+q2+…+qn-n+1 se dividen en n conjuntos A1, A2,…, An, use a1, a2,..., an para representar el número de elementos correspondientes en estos n conjuntos. Es necesario demostrar que hay al menos algún i tal que ai sea mayor. que o igual al qi. (Usa prueba por contradicción) Supongamos que la conclusión no se cumple, es decir, para cada ai, ai

Por lo tanto, la suposición no se cumple, por lo que debe haber una i, y el número de elementos en el i-ésimo conjunto ai≥qi

Forma 5: Prueba: (Usar prueba por contradicción) Poner infinito Los elementos se dividen en conjuntos finitos. Suponiendo que el número de elementos en este conjunto finito es finito, entonces la suma de números finitos debe ser un número finito. Esto entra en conflicto con la pregunta. no es cierto, por lo que debe haber un conjunto que contenga infinitos elementos.

Ejemplo 1: Al menos dos personas entre 400 personas tienen el mismo cumpleaños. Análisis: Los cumpleaños están organizados del 1 de enero al 31 de diciembre. Hay 366 cumpleaños diferentes. Ponemos 366 cumpleaños diferentes que se consideran 366 cajones. , y 400 personas se consideran 400 manzanas De la expresión 1, se puede ver que hay al menos dos personas en el mismo cajón, por lo que dos de las 400 personas tienen el mismo cumpleaños.

Solución: Considere 366 días en un año como 366 cajones y 400 personas como 400 manzanas. A partir de la expresión 1 del principio del cajón, podemos saber que al menos dos personas tienen el mismo cumpleaños.

Ejemplo 2: Tomemos. 5 números enteros cualesquiera, y debes poder seleccionar tres de ellos para que su suma sea divisible por 3.

Prueba: dado cualquier número entero, si se divide por 3, el resto puede ser 0, 1 , 2, clasificamos los números enteros cuyos restos después de la división por 3 son 0, 1 y 2 en las categorías r0, r1, r2. Al menos una categoría contiene al menos dos de los 5 números dados. Por lo tanto, son posibles dos tipos de situaciones: 1°. Una determinada categoría contiene al menos tres números; 2°. Dos categorías contienen cada una dos números y la tercera categoría contiene un número.

Si es el primer caso, entonces contiene al menos If. tres números cualesquiera se toman de la categoría de tres números, su suma debe ser divisible por 3; en el segundo caso, si se toma un número de cada una de las tres categorías, su suma también se puede dividir por 3. En resumen, Los La proposición original es correcta.

Ejemplo 3: Una escuela envió 204 estudiantes a plantar 15,301 árboles en la montaña. Al menos una persona plantó 50 árboles y como máximo una persona plantó 100 árboles. planté el mismo número de árboles.

Prueba: Dependiendo del número de árboles plantados, se pueden construir 51 cajones de 50 a 100 árboles, luego el problema se transforma en el número de árboles plantados por al menos menos 5 personas en el mismo cajón.

(Usando prueba por contradicción) Supongamos que no hay árboles plantados por 5 o más personas en el mismo cajón, entonces solo los árboles plantados por menos de 5 personas están en el mismo cajón. mismo cajón, y el número de personas que participan en la plantación de árboles es 204. Por lo tanto, cada cajón tiene como máximo 4 personas, por lo que el número máximo de árboles plantados es:

4(551+…+100 )=4× =15300<15301, lo que lleva a una contradicción Por tanto, al menos 5 personas plantan el mismo número de árboles.

Ejercicios: 1. Hay 5 puntos en un triángulo equilátero de lado 1, entonces entre esos 5 puntos debe haber dos puntos cuya distancia sea menor que 0,5.

2. En un triángulo equilátero con lado de longitud 1, si hay n2+1 puntos, hay al menos 2 puntos cuya distancia es menor que .

3. Demuestre: Entre cuatro números enteros cualesquiera, la diferencia entre al menos dos números enteros se puede dividir por 3.

4. Hay 50 estudiantes de primer año en una determinada clase de secundaria en una determinada escuela. Intenta demostrar que dos de ellos deben tener el mismo número de conocidos.

5. Hay 202 personas en un determinado grado que realizan el examen. La puntuación total es de 100 puntos y las puntuaciones son todas enteras. La puntuación total es de 10101 puntos. Entonces, al menos 3 personas tienen la misma puntuación. "Entre 367 personas, debe haber un cumpleaños. Las mismas personas."

"Elige 6 de 5 pares de guantes, al menos 2 de ellos son exactamente un par de guantes.

"Cuenta desde 1, 2,... 6 números cualesquiera de 10, de los cuales al menos 2 tienen paridades diferentes."

... ...

Todos pensarán que la conclusión anterior es correcta. ¿En qué principios se basan estas conclusiones? Este principio se llama principio del cajón. Su contenido se puede expresar en lenguaje figurado como:

"Pon m cosas en n cajones vacíos al azar (m>n), entonces debe haber al menos 2 artículos en un cajón. Algo

En la primera conclusión anterior, dado que hay como máximo 366 días en un año, al menos 2 personas de 367 nacen el mismo día en el mismo mes. Esto equivale a poner 367 artículos en 366 cajones, con al menos 2 artículos en el mismo cajón. En la segunda conclusión, también podrías imaginar que 5 pares de guantes están numerados respectivamente, es decir, hay dos guantes cada uno con los números 1, 2,..., 5, y dos pares del mismo número son un par. Toma 6 guantes cualesquiera. Tienen como máximo 5 números, por lo que al menos dos de ellos tienen el mismo número. Esto equivale a poner 6 artículos en 5 cajones, con al menos 2 artículos en el mismo cajón.

Una expresión más general del principio del cajón es:

"Si se colocan aleatoriamente más de kn cosas en n cajones vacíos (k es un entero positivo), entonces debe haber uno Hay al menos k+1 cosas en el cajón”

Es fácil demostrarlo usando el principio anterior: “La diferencia entre dos de 7 números enteros es un múltiplo de 3”. se divide por 3, sólo hay tres restos posibles: 0, 1 y 2. Por tanto, al menos 3 de los 7 enteros tienen el mismo resto al dividirse por 3, es decir, la diferencia entre dos cualesquiera de ellos es múltiplo de 3.

Si hay infinitos objetos discutidos en el problema, hay otra expresión del principio del cajón:

"Pon infinitas cosas en n cajones vacíos (n es un número natural) , entonces debe haber un número infinito de cosas guardadas en un cajón ".

El contenido del principio del cajón es simple, simple y fácil de aceptar, y juega un papel importante en los problemas matemáticos.

Con él se pueden resolver muchas pruebas de existencia.

Había una pregunta en el número de junio/julio de 1958 de "American Mathematical Monthly":

"Demuestre que en cualquier reunión de 6 o 3 personas se conocen antes , o hay tres personas que no se conocían antes ”

Este problema se puede demostrar de manera simple y clara de la siguiente manera:

Utilice 6 puntos A, B, C,. D en el avión, E y F representan respectivamente a 6 personas que participan en el mitin. Si las dos personas se conocían antes, conecte una línea roja entre los dos puntos que los representan; de lo contrario, conecte una línea azul; Considere cinco líneas de conexión AB, AC,..., AF entre el punto A y otros puntos. No tienen más de 2 colores. Según el principio del cajón, sabemos que al menos tres de las conexiones son del mismo color. Supongamos que AB, AC y AD son todas rojas. Si una de las tres líneas de conexión BC, BD y CD (tal vez establecida en BC) también es roja, entonces el triángulo ABC es un triángulo rojo y las tres personas representadas por A, B y C se conocían antes: Si BC, BD, CD Las tres líneas que las conectan son azules, entonces el triángulo BCD es un triángulo azul. Las tres personas representadas por B, C y D no se conocían antes. Cualquiera que sea el escenario que ocurra, es consistente con la conclusión del problema.

El problema del ensamblaje de seis personas es el caso especial más simple del famoso teorema de Ramsey en combinatoria. Las ideas de prueba de este simple problema se pueden utilizar para sacar otras conclusiones detalladas. Estas conclusiones constituyen un contenido importante de la matemática combinatoria: la teoría de Ramsey. De la prueba del problema del ensamblaje de seis personas, vemos una vez más la aplicación del principio del cajón.