¿Qué es la función exponencial?

Fórmula de la función exponencial: y=a^x (a es una constante y agt; 0, a≠1). El dominio de la función es R. En la expresión de definición de la función exponencial, el coeficiente antes de a^x debe ser el número 1, la variable independiente x debe estar en la posición del exponente y no puede ser otras expresiones de x.

La forma de la función exponencial es y=a^x. La función exponencial es una de las funciones elementales básicas importantes. Generalmente, la función y=ax (a es una constante y agt; 0, a≠1) se llama función exponencial y el dominio de la función es R. En la expresión de definición de la función exponencial, el coeficiente antes de ax debe ser el número 1, la variable independiente x debe estar en la posición del exponente y no puede ser otras expresiones de x; de lo contrario, no es una función exponencial.

La función exponencial es una función importante en matemáticas. Esta función aplicada al valor e se escribe como exp(x). También se puede escribir de manera equivalente como ex, donde e es una constante matemática, que es la base del logaritmo natural, aproximadamente igual a 2. 718281828, también conocido como número de Euler.

La gráfica de la función exponencial es monótona, siempre en el primer y segundo cuadrante, pasando por el punto (0, 1); la función de potencia requiere un análisis específico de problemas concretos.

Función exponencial: La variable independiente x está en la posición del exponente, y=a^x (agt; 0, a no es igual a 1), cuando agt 1, la función es creciente; function, y ygt; 0 ;Cuando 0lt;alt;1, la función es una función decreciente, y ygt;0.

Función potencia: la variable independiente x está en la posición base, y=x^ a (a no es igual a 1). a no es igual a 1, pero puede ser positivo o negativo. Con diferentes valores, la imagen y las propiedades son diferentes.

2. Diferentes propiedades

Propiedades de la función de potencia:

(1) Propiedades de valor positivo

Cuando αgt;0, la función de potencia y=xα tiene las siguientes propiedades:

a. La imagen pasa por los puntos (1, 1) (0, 0);

b. el intervalo [0, ∞) Lo anterior es una función creciente;

c. En el primer cuadrante, cuando αgt 1, el valor de la derivada aumenta gradualmente cuando α=1, la derivada es una constante; cuando 0lt; αlt; 1, el valor de la derivada aumenta gradualmente, acercándose a 0;

(2) Propiedades del valor negativo

Cuando αlt;0, la función de potencia y=xα tiene la siguientes propiedades:

a. Todas las imágenes pasan por el punto (1, 1);

b. La imagen es una función decreciente en el intervalo (0, ∞); Suplemento de contenido: si es X-2, es fácil entender que es una función par. Usando simetría, el eje de simetría es el eje y y la imagen aumenta monótonamente en el intervalo (-∞, 0). Lo mismo ocurre con el resto de funciones pares).

c. En el primer cuadrante, hay dos asíntotas (es decir, ejes de coordenadas: la variable independiente se acerca a 0, el valor de la función se acerca a ∞, la variable independiente se acerca a ∞ y el valor de la función se acerca a 0). .

(3) Propiedad del valor cero

Cuando α=0, la función de potencia y=xa tiene las siguientes propiedades:

La imagen de y=x0 es la recta y =1 quita un poquito (0, 1).

Su imagen no es una línea recta.

Propiedades de la función exponencial:

(1) El dominio de la función exponencial es R. La premisa aquí es que a es mayor que 0 y no igual a 1. Para el caso en que a no es mayor que 0, inevitablemente hará que el dominio de la función sea discontinuo, por lo que no se considerará. Al mismo tiempo, la función sin sentido de a igual a 0 generalmente no se considerará.

(2) El rango de valores de la función exponencial es (0, ∞).

(3) Las gráficas de funciones son todas cóncavas hacia arriba.

(4) Cuando agt; 1, la función exponencial aumenta monótonamente; si 0lt;

(5) Se puede ver que cuando a va de 0 a infinito (no es igual a 0), las curvas de función tienden a disminuir monótonamente cerca del semieje positivo del eje y y la semieje negativo del eje x respectivamente. La posición de la función y la posición de la función que aumenta monótonamente. El semieje positivo del eje Y y el semieje negativo del eje X. La línea horizontal y=1 es la posición de transición de disminución a aumento.

(6) La función siempre tiende al eje X infinitamente en una dirección determinada y nunca se cruza.

(7) La función exponencial es ilimitada.

(8) La función exponencial no es par ni impar.

La función exponencial tiene una función inversa, y su función inversa es la función logarítmica, que es una función multivaluada.

El intervalo monótono de la función de 2 potencias

Cuando α es un número entero, la positividad, negatividad y paridad de α determinan la monotonicidad de la función:

①Cuando α es un número impar positivo, la imagen aumenta monótonamente dentro del dominio de definición R

② Cuando α es un número par positivo, la imagen disminuye monótonamente dentro del segundo cuadrante del dominio de definición y aumenta; monótonamente dentro del primer cuadrante;

③Cuando α es un número impar negativo, la imagen disminuye monótonamente en cada uno de los cuadrantes primero y tercero (pero no se puede decir que disminuye monótonamente en el dominio R);

④Cuando α es un número par negativo, la imagen aumenta monótonamente en el segundo cuadrante y disminuye monótonamente en el primer cuadrante.

Cuando α es una fracción (y el numerador es 1), la positividad y negatividad de α y la paridad del denominador determinan la monotonicidad de la función:

① Cuando αgt; 0, el denominador Cuando αgt;0 y el denominador es un número impar, la función aumenta monótonamente en el primer y tercer cuadrante;

③Cuando αlt;0 y el denominador es un número par, la función disminuye monótonamente en el primer cuadrante;

④Cuando αlt;0 y el denominador es un número impar, la función disminuye monótonamente en cada uno de los cuadrantes primero y tercero (Pero no se puede decir que disminuye monótonamente dentro del dominio R ).